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高校数学III 定積分の置換—変換した端点と積分方向を対応表でそろえる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学III 積分法を掘り下げる

減少する置換の微分と端点交換を別々に記録し、元の端点を残した誤答を対応表で修正する手順をたどれます。

よくあるのは、置換後の式に元の端点を入れるという場面です。例えば積分の中身をtの式に直せても、上下端にxの値を残すと、どの区間の積分かが変わってしまいます。式の変形が正しくても、最後に別の値を計算しているかもしれません。端点を表にして、変数、微分、進む向きを一緒に移す練習をしましょう。

端点を動かす3つの場面

1つ目は、xが増えると新しい変数も増える置換です。例えばt=2x+1では、xの下端と上端をそれぞれ代入すると、tの下端と上端が決まります。積分する式、微分、端点を一組として書き換えます。端点だけを後回しにすると、tの原始関数にxの数値を代入しやすくなります。

2つ目は、xが増えると新しい変数が減る置換です。t=5-xなら、xが左から右へ進む間にtは大きい値から小さい値へ進みます。上端が下端より小さい定積分も意味を持ちます。見慣れた順に直したいときは端点を交換して積分全体に負号を付けます。微分に含まれる負号とは別の操作なので、両方を記録します。

3つ目は、いったん不定積分として置換し、原始関数をxに戻してから元の端点を代入する方法です。変換後の端点を使う方法とどちらでも同じ値に至ります。ただしtの式にxの端点を入れる、あるいはxに戻した式にtの端点を入れるという混合はできません。ここでは定積分の置換に焦点を当て、面積や体積の問題には進みません。

置換の公式と対応表

fが必要な区間で連続で、x=g(t)が対応する区間で連続な導関数を持つとします。g(α)=a、g(β)=bなら、定積分の置換公式は次の形です。

∫[a→b] f(x) dx = ∫[α→β] f(g(t))g′(t) dt

右辺のαからβという順序は、数の大小で並べたものではなく、元のaからbに対応する順序です。α>βでも公式はそのまま使えます。原始関数をFとすると、合成関数の微分からF(g(t))の導関数はf(g(t))g′(t)です。したがって右辺はF(g(β))-F(g(α))、すなわちF(b)-F(a)となり、左辺と一致します。

実際の計算ではt=h(x)と置くことも多いでしょう。その場合は端点に直接hを適用し、dt=h′(x) dxを式に組み込みます。hに連続な導関数があり、変換後に連続な関数へ書き換えられることを確かめます。単調でない置換では、逆向きにxを求める必要があるとき、同じtに複数のxが対応する場合があります。区間を単調な部分に分け、各部分の端点と符号を調べてから変換します。

図1ではa<bとして、始点と終点をそれぞれ対応させます。矢印は数直線の大小ではなく、積分の順序を表します。減少する置換では新しい変数の矢印が逆を向きますが、それを無理に正の向きに直す必要はありません。

図1の対応を見たら、元の積分から持っていくものを点検します。被積分関数、dxを含む微分の部分、2つの端点です。定積分には積分定数を付けません。原始関数に定数を加えても上端と下端の差で消えるためです。

基本例題：一次式で端点を移す

次の値を整数で求めます。

I = ∫[0→2] 3(3x+1)² dx

被積分関数は全区間で連続です。括弧の中をt=3x+1とすると、その導関数3が外側にあるので、全体をtの式にできます。図2のように、始点と終点を置換式に入れます。

t = 3x+1
 dt = 3 dx
x=0 のとき t=1
x=2 のとき t=7
I = ∫[1→7] t² dt
  = [t³/3] の1から7までの差
  = 343/3 - 1/3
  = 114

最初の等式で3 dxをdtへ移し、次の行ではt²の原始関数を使いました。最後は上端の値から下端の値を引いています。図2の2つの矢印は、0を1へ、2を7へ移すという対応です。元の0と2をtの原始関数に入れてはいけません。

別の照合として、t³/3をxに戻すと(3x+1)³/3です。これを微分すれば3(3x+1)²となり、元の被積分関数に戻ります。x=2とx=0を代入して差を取ると、再び114です。区間内で元の式は正なので、結果が正であることも向きの点検になります。

標準例題：減少する置換で向きを保つ

次の値を分数で求めます。

J = ∫[1→3] (5-x)² dx

連続な式なので、区間内の各点で置換できます。t=5-xと置けば、xが増えるとtは減少します。端点を交換する前の向きを残して進めます。

t = 5-x
 dt = -dx
x=1 のとき t=4
x=3 のとき t=2
J = ∫[4→2] -t² dt
  = -∫[4→2] t² dt
  = ∫[2→4] t² dt
  = [t³/3] の2から4までの差
  = 64/3 - 8/3
  = 56/3

4から2の積分を2から4へ交換するときに負号が1つ現れ、外側の負号と打ち消し合います。dt=-dxから生じる負号と、端点交換による負号は、それぞれ別の理由を持ちます。端点を交換しなければ、-t³/3に2と4を順に代入して同じ答えに到達します。

原始関数を元に戻しても確かめられます。-t³/3はxの式では-(5-x)³/3で、その導関数は(5-x)²です。x=3で-8/3、x=1で-64/3なので、差は56/3です。元の区間で被積分関数は正であり、負の答えなら向きか符号を再確認できます。ただし正の答えという条件は必要な点検であって、正確な値の証明ではありません。

発展例題：折り返す置換を分けて追う

次の値を分数で求めます。

K = ∫[-1→2] 2x(x²+1)² dx

t=x²+1は区間全体では単調ではありません。x=0を境に減少から増加へ変わります。今回の式は2x dxがdtになり、tの原始関数を合成して評価できるので一度に端点を対応させても計算できます。それでも折り返しを見落とさないため、まず0で区切り、それぞれの向きを確認します。

t = x²+1
 dt = 2x dx
x=-1 のとき t=2
x=0 のとき t=1
x=2 のとき t=5
K = ∫[-1→0] 2x(x²+1)² dx + ∫[0→2] 2x(x²+1)² dx
  = ∫[2→1] t² dt + ∫[1→5] t² dt
  = (1/3 - 8/3) + (125/3 - 1/3)
  = -7/3 + 124/3
  = 39

前半はxが負で元の被積分関数が負です。tは2から1へ減るので、変換後の積分も負です。後半は正の値になり、両者を合わせて39になります。分けずに書けば∫[2→5] t² dtで、区間のつなぎ目である1までの往復が相殺された形です。

この例では、xをtの式に逆算せず、被積分関数全体をt² dtと書けます。一方、逆算してx=√(t-1)と一律に置けば、負のxに対応する前半を取り違えます。使う置換が単調か、逆関数が必要かは別々に考えてください。原始関数(x²+1)³/3を微分すると2x(x²+1)²に戻り、元の端点での差も(125-8)/3=39です。

誤答を端点までたどって修正する

基本例題でt=3x+1とした後、次の計算をしたとします。

誤り：∫[0→2] t² dt = 8/3

式と微分はtに変わったのに、端点はxの0と2のままです。0と2はtの値としては別の場所を指すので、もとの積分を表しません。図3のように、端点にも置換式を通してから原始関数に代入します。

修正：x=0 → t=1、x=2 → t=7
      ∫[1→7] t² dt = 114

図3で矢印の出発点はx、到着点はtです。式に現れる変数と端点の値が同じ列にあるかを確かめると、混在を見つけられます。もう1つの失敗は、減少する置換で端点を小さい順に並べ替え、符号を付け忘れることです。並べ替える前の順序を書き、交換する行に負号を添えれば、原因を追えます。

置換後に計算が止まったときも、元の式に戻って点検します。例えばdtの中に必要なxが残り、tだけで表せないなら、その置換は今の形では完了していません。別の式変形を探すか、単調な区間に分けて関係を調べます。変形できない式に元の端点を押し込んで計算を続けることは避けます。

手を動かす5問

次の定積分を求めてください。答えは1、2、4、5を分数または整数で、3をeを含む正確な式で表します。各問で端点の対応も記録します。

∫[1→3] 2(2x+3)² dx
∫[0→2] (4-x)³ dx
∫[0→1] 2e²ˣ dx
∫[0→2] x(x²+2) dx
∫[-2→1] 2x(x²+3) dx

解答と、元の区間への照合

1. 増加する一次式

t = 2x+3、dt = 2 dx
x=1 → t=5、x=3 → t=9
∫[1→3] 2(2x+3)² dx = ∫[5→9] t² dt
  = [t³/3] の5から9までの差
  = (729-125)/3
  = 604/3

t³/3を元に戻して微分すると2(2x+3)²です。xの両端での差は同じく604/3となり、増加する対応で下端と上端の順序も保たれています。

2. 減少する一次式

t = 4-x、dt = -dx
x=0 → t=4、x=2 → t=2
∫[0→2] (4-x)³ dx = -∫[4→2] t³ dt
  = ∫[2→4] t³ dt
  = [tの4乗/4] の2から4までの差
  = (256-16)/4
  = 60

元に戻した原始関数は-(4-x)の4乗/4です。微分すると(4-x)³となり、x=2で-4、x=0で-64です。上端から下端を引けば60で、元の正の被積分関数とも整合します。

3. 指数関数の内側

t = 2x、dt = 2 dx
x=0 → t=0、x=1 → t=2
∫[0→1] 2e²ˣ dx = ∫[0→2] eᵗ dt
  = [eᵗ] の0から2までの差
  = e²-1

eᵗをe²ˣに戻して微分すると2e²ˣです。x=1とx=0での値はe²と1なので、元の端点による差も一致します。

4. 微分の係数を補う

t = x²+2、dt = 2x dx
x=0 → t=2、x=2 → t=6
∫[0→2] x(x²+2) dx = (1/2)∫[2→6] t dt
  = (1/2)[t²/2] の2から6までの差
  = (36-4)/4
  = 8

dtは2x dxなので、外に1/2が必要です。原始関数を(x²+2)²/4と戻して微分すればx(x²+2)です。元の端点に代入した値は9と1で、その差も8です。

5. 折り返しを区切る

t = x²+3、dt = 2x dx
x=-2 → t=7、x=0 → t=3、x=1 → t=4
∫[-2→1] 2x(x²+3) dx = ∫[7→3] t dt + ∫[3→4] t dt
  = (9-49)/2 + (16-9)/2
  = -20 + 7/2
  = -33/2

前半は負、後半は正です。原始関数(x²+3)²/2の導関数は2x(x²+3)で、x=1とx=-2での値の差は(16-49)/2です。負になったのは前半の寄与が大きいためで、端点の大小を勝手に並べ替えた結果ではありません。

途中で判断がつかなくなったら

置換後に端点が等しくなること自体は、積分値が必ず0という意味ではありません。元の式が新しい変数の連続関数とその導関数の積として区間全体で表せる場合には、合成した原始関数の両端の値が等しくなります。しかし、途中で逆関数の枝を変える必要がある式では、その表し方が区間全体で成立しているかを先に確かめます。端点の数字だけで判断せず、区間の内部も含めた変形の条件を確認してください。

計算の途中で負号が2つ現れた場合も、先に消すより、どちらが微分から生じ、どちらが端点交換から生じたかを書いておきます。逆向きの積分をそのまま評価すれば端点交換は不要です。2つの方法を同時に混ぜず、最後の差が同じになるかで確かめられます。