高校数学III 有理関数の積分と整式除法—分子の次数を下げて計算の入口を作る｜武蔵野個別指導塾

次数を比べて商と余りを取り出し、分母との掛け算で分子を復元してから有理関数を積分します。

よくあるのは、分子の次数を見ず部分分数を当てようとして、係数が合わずに手が止まる場面です。分母の因数だけを見て分子の大きさを見落とすと、整式の項を作れません。まず割り算でその項を取り出し、残りを積分しやすい形にします。式の変形による積分方法を考える学習の中でも、ここでは有理関数の除法と復元に絞ります。

最初に次数を比べる

出方の1つは、分子と分母が同じ次数の分数です。先頭の係数を比べると定数の商が出ます。例えば、分子が2次、分母も2次なら、最初に定数を引くことで残りの分子の次数を下げられます。余りが0の場合は分数そのものが整式になり、分母に由来する除外点には注意しつつ整式を積分します。

もう1つは、分子の次数が分母より2以上高い場合です。商の最初の項を引いても、余りの候補の次数がまだ高いことがあります。そのときは筆算を続けます。途中でやめず、余りの次数が分母より低くなるまで進むことが条件です。

3つ目は、割った後の余りをさらに変形する場合です。余りの分母が一次式なら対数型につながります。分母が積に分かれるときは、その後に部分分数を使えることもあります。除法は積分を終わらせる魔法ではなく、次に扱う分数の形を整える操作です。

商と余りを式に戻す

整式P(x)を0でない整式Q(x)で割ると、商A(x)と余りR(x)を使って、次の形に表せます。Rが0でないとき、その次数はQの次数より小さくします。

P(x) = Q(x)A(x) + R(x)
P(x)/Q(x) = A(x) + R(x)/Q(x)

2行目はQ(x)が0でない点で成り立ちます。PとQが共通因子を持つ場合でも、元の式でQが0になる点を勝手に定義域へ加えません。図1のように、除法では商と余りを作り、掛け戻して元の分子に戻るかを点検します。

図1の関係は積分の前に成立する等式です。被積分関数が連続な1つの区間を選べば、和の各項の原始関数を足せます。異なる区間の間では積分定数を独立に選ぶ必要があります。分母の零点をまたぐ区間で、1つの原始関数があるかのように扱わないことが大切です。

筆算では、現在の分子の最高次の項をQの最高次の項で割り、その結果を商に書きます。商のその項とQの積を現在の式から引きます。引き算は括弧全体に負号を付けて行い、消えた最高次の次へ進みます。欠けた次数には係数0を補って考えると、項を取り違えにくくなります。

基本例題：二次式を一次式で割る

問題：x>2で、∫ (x²+3x+1)/(x-2) dx を求めてください。自然対数と積分定数Cを用いた正確な式で答えます。

分子の最高次は2次、分母は1次です。最初の商はxです。分母にxを掛けて引くと、まだ1次の項が残ります。

x²+3x+1 = x(x-2) + (5x+1)
5x+1 = 5(x-2) + 11
x²+3x+1 = (x-2)(x+5) + 11
(x²+3x+1)/(x-2) = x+5+11/(x-2)

1行目はx²を消し、2行目は残った5xを消します。最後の余り11は定数なので、1次の分母より次数が低くなっています。図2のように、商はx+5、余りは11です。

x>2では分母が0でなく、各項は連続です。x-2も正なので、対数をlog(x-2)と書けます。項ごとに積分すると次のとおりです。

∫ (x²+3x+1)/(x-2) dx
= ∫ (x+5+11/(x-2)) dx
= x²/2 + 5x + 11 log(x-2) + C

答えを微分するとx+5+11/(x-2)です。通分した分子は(x+5)(x-2)+11で、問題のx²+3x+1に戻ります。なおx<2なら対数はlog|x-2|と書けますが、x=2をまたいで積分定数を共通にする根拠にはなりません。

標準例題：分母の因数を使う前に割る

問題：x>3で、∫ (2x²+x-1)/((x-1)(x-3)) dx を求めてください。対数と積分定数Cを含む正確な式で答えます。

分母を展開するとx²-4x+3です。分子と同じ2次なので、商は先頭係数の比2です。その積を分子から引いて余りを出します。

2x²+x-1 = 2(x²-4x+3) + 9x-7
(2x²+x-1)/((x-1)(x-3))
= 2 + (9x-7)/((x-1)(x-3))

余りの分子は1次です。ここで初めて真分数部分を一次式の分母に分けます。係数をa、bとして通分し、分子を比べます。

9x-7 = a(x-3) + b(x-1)
9 = a+b
-7 = -3a-b
 a = -1
 b = 10

したがって被積分関数は2-1/(x-1)+10/(x-3)です。x>3では各分母は正で、各項は連続です。積分して次を得ます。

∫ (2x²+x-1)/((x-1)(x-3)) dx
= 2x - log(x-1) + 10 log(x-3) + C

微分後の分数部分を通分すると、分子は-(x-3)+10(x-1)=9x-7です。さらに2を元の分母に掛けて加えると2x²+x-1に戻ります。分解の前後と、積分の前後の2回で元の問題に戻している点が検算の要です。

発展例題：割る回数を見通す

問題：x>0で、∫ (x³+2x²+4x+5)/(x²+x) dx を求めてください。対数と積分定数Cを含む正確な式で答えます。

3次を2次で割るので、商は1次になる見通しです。まずx³を消し、次に残るx²を消します。各行の括弧を展開して引くことに注意します。

x³+2x²+4x+5 = x(x²+x) + (x²+4x+5)
x²+4x+5 = (x²+x) + (3x+5)
x³+2x²+4x+5 = (x²+x)(x+1) + 3x+5

余りは1次なので除法を終えます。分母はx(x+1)ですから、残りをa/x+b/(x+1)と置きます。通分後の分子はa(x+1)+bxです。

3x+5 = a(x+1)+bx
 a = 5
 a+b = 3
 b = -2

x>0ではxとx+1は正です。分解した各項が連続なので、項ごとに原始関数を求めます。

∫ (x³+2x²+4x+5)/(x²+x) dx
= ∫ (x+1+5/x-2/(x+1)) dx
= x²/2+x+5 log x-2 log(x+1)+C

この答えの導関数はx+1+5/x-2/(x+1)です。後ろの2項を通分すると(3x+5)/(x²+x)であり、商のx+1を掛け戻すと元の3次式に戻ります。除法の終了を確かめた後に係数を求めると、商の係数まで未知数に含めずに済みます。

誤答を復元で見つける

基本例題で、(x²+3x+1)/(x-2)をx+5+1/(x-2)とする誤答を考えます。商x+5は合っていますが、余りが1になっています。図3のように掛け戻すと、分子はx²+3x-9となり、元の定数項1に戻りません。

原因は、5(x-2)=5x-10を引くとき、-10を引く操作を落としたことです。正しくは(5x+1)-(5x-10)=11です。余りを11に直すと、(x-2)(x+5)+11=x²+3x+1となります。

別の失敗は、同じ次数の分数を一次分母の逆数の和だけで表そうとすることです。逆数の和を通分した分子は、分母の次数より低くなります。元の分子が同じ次数なら、そのままでは最高次の項を作れません。整式部分を先に取り出し、残った分数について係数を比べます。

また、分母と分子に共通因子が見えても、約分後に元の除外点が消えたわけではありません。たとえば分母がx(x+1)なら、元の式はx=0とx=-1で定義されません。原始関数を書く区間は元の式の定義域から選びます。

練習：商を出してから積分する

各問で、指定された区間上の不定積分を求めてください。答えは対数が必要なら自然対数を用い、積分定数Cを含む正確な式とします。

1. x>1で、∫ (x²+2)/(x-1) dx。
2. x>0で、∫ (3x²+2x+4)/x dx。
3. x>2で、∫ (x²+1)/(x²-2x) dx。
4. x>1で、∫ (x³+1)/(x²-1) dx。
5. x>0で、∫ (2x³+x²+3x+2)/(x²+x) dx。

問題を先に解くときは、各問で商と余りを別に記録してください。積分後は答えを微分し、通分した分子が問題の式に戻るか照合します。

練習の解答と照合

1

x²をxで割るとx、次に残るxをxで割ると1です。掛け戻して余りを確かめます。

x²+2 = (x-1)(x+1)+3
(x²+2)/(x-1) = x+1+3/(x-1)
∫ (x²+2)/(x-1) dx = x²/2+x+3 log(x-1)+C

x>1で各項は連続です。答えの導関数を通分すると分子は(x+1)(x-1)+3=x²+2で、与えられた式に戻ります。

2

分母がxなので各項を割れます。これは整式部分3x+2と真分数部分4/xに分ける除法です。

3x²+2x+4 = x(3x+2)+4
(3x²+2x+4)/x = 3x+2+4/x
∫ (3x²+2x+4)/x dx = 3x²/2+2x+4 log x+C

x>0でlog xが定義され、各項は連続です。微分した3x+2+4/xにxを掛けると3x²+2x+4となり、元の分子を得ます。

3

同次数の先頭係数はどちらも1なので、商は1です。残りをxとx-2の逆数に分けます。

x²+1 = (x²-2x)+(2x+1)
2x+1 = a(x-2)+bx
-2a = 1
 a = -1/2
 b = 5/2

x>2では分母と対数の中身が正です。したがって項ごとに積分できます。

∫ (x²+1)/(x²-2x) dx
= ∫ (1-1/(2x)+5/(2(x-2))) dx
= x-(1/2) log x+(5/2) log(x-2)+C

導関数の分数部分は、通分すると分子が-(x-2)/2+5x/2=2x+1です。商1の分子x²-2xを足すとx²+1に戻ります。

4

3次の分子からx倍の分母を引きます。残るx+1は分母より低次です。

x³+1 = x(x²-1)+(x+1)
(x³+1)/(x²-1) = x+1/(x-1)
∫ (x³+1)/(x²-1) dx = x²/2+log(x-1)+C

2行目ではx>1なのでx+1が0でなく、約分できます。答えを微分するとx+1/(x-1)で、元の分母に戻せばx(x²-1)+(x+1)=x³+1です。約分後も元の式の除外点を変えず、指定区間で答えます。

5

最初に2x、次に-1を商に置きます。残りの分子は1次になります。

2x³+x²+3x+2 = 2x(x²+x)+(-x²+3x+2)
-x²+3x+2 = -(x²+x)+(4x+2)
2x³+x²+3x+2 = (x²+x)(2x-1)+(4x+2)
4x+2 = 2(x+1)+2x

最後の行から真分数部分は2/x+2/(x+1)です。x>0では各項が連続なので、積分できます。

∫ (2x³+x²+3x+2)/(x²+x) dx
= ∫ (2x-1+2/x+2/(x+1)) dx
= x²-x+2 log x+2 log(x+1)+C

微分して得る2x-1+2/x+2/(x+1)を通分します。余りの分子は2(x+1)+2x=4x+2で、商を掛け戻すと問題の分子に一致します。

持ち帰る要点

• 分子の次数が分母以上なら、まず整式除法を考えます。
• 余りが0でないとき、余りの次数を分母より低くします。
• 分母と商の積に余りを足して、元の分子を復元します。
• 元の分母が0になる点を除き、選んだ区間で原始関数を微分します。

どこで止まったかを見る

商の最初の項が出ないときは、分子と分母の最高次の項だけを指で追い、何を掛ければ先頭が消えるかを確かめます。商は出るのに余りが合わないときは、積を引く行の括弧と符号を見ます。個別指導では、復元を本人の手で書いてもらい、次数の判定、引き算、積分後の微分のどこで元の式から離れたかを順に調べます。商と余りが元の分子を再現すれば、積分への入口が見えます。