高校数学C ベクトルの係数と面積比—底辺と高さの比から分割した面積を結び付ける｜武蔵野個別指導塾

内点と外点の係数を底辺からの高さに対応させ、符号と絶対値を使い分けて面積比を求めます。

よくあるのは、理系の高校生が三角形の外にある点についても、位置ベクトルの係数をそのまま面積比として書く場面です。係数に負の数が現れると、面積まで負になってしまいます。線のどちら側に点があるかを先に調べ、面積には正の大きさを使えば、この食い違いを解消できます。底辺と高さに戻って、係数と面積の関係をたどります。

面積を聞かれたときの入口

三角形ABCを基準にすると、点Pの位置は、AからBへの移動とAからCへの移動の組合せで表せます。面積の問題では、この2つの係数を求めるだけで終わらず、どの係数がどの辺への高さに対応するかを見る必要があります。基準の三角形は3点が一直線上にないものとします。そうすれば面積は正であり、面積比を取れます。

出方の1つは、内点Pの係数から3つの三角形の面積比を求める問題です。このとき3つの領域は重ならず基準三角形を埋めます。逆に面積比から係数を復元する問題もあります。もう1つは外点を含む問題です。外点では3つの面積の和が基準の面積と一致するとは限りません。各係数の符号と絶対値を確かめることが入口です。

係数が高さを表す理由

Aを基準に、aをベクトル AB、bをベクトル ACとします。aとbは平行でなく、点Pに対してベクトル AP = sa + tbと一通りに表せます。三角形XYZの面積を [XYZ] と書くことにします。ここで面積は向きを持たない0以上の数です。

図1のように、Pから辺ABに平行な直線を引き、直線ACとの交点をQとします。ベクトル AQ = tbです。PとQの直線ABからの距離は等しく、Qの距離はCの距離の|t|倍です。tが負ならQはAを挟んでCと反対側にありますが、距離は負になりません。共通の底辺ABで比べると [ABP]/[ABC] = |t| です。t = 0ではPが直線AB上にあり、面積も0です。

同様に底辺ACからの高さを比べると [CAP]/[ABC] = |s| です。残る辺BCについては、Pの位置をA、B、Cの位置ベクトルの係数の和が1になる形で表すと見通しが立ちます。原点をOとし、それぞれの位置ベクトルを文で表すと、ベクトル OP = (1 − s − t)ベクトル OA + sベクトル OB + tベクトル OCです。

係数1 − s − tをuと置きます。BC上の点Dを、ベクトル OD = ベクトル OB + t(ベクトル OC − ベクトル OB)で定めます。するとベクトル DP = u(ベクトル OA − ベクトル OB)です。DPはBAに平行です。DとBは直線BC上にあるため、PからBCまでの距離は、AからBCまでの距離の|u|倍になります。したがって [BCP]/[ABC] = |1 − s − t| です。この説明はDが辺BCの延長上にある場合やu = 0にも使えます。

Pが三角形の内部にある場合は、s > 0、t > 0、s + t < 1です。逆にこの条件なら、s + tで割ってBC上の点を作ることでPが内部にあると確認できます。辺上や頂点を含む場合は不等号を非負にします。内部では3係数が正なので [BCP] : [CAP] : [ABP] = (1 − s − t) : s : tです。外部では、この等式の各項を絶対値に変えて使います。比の順番は、対応する頂点A、B、Cの順番とそろえます。辺上の点では対応する係数が0となり、比の項にも0が現れます。基準の面積が0なら割合は定義できないので、最初の非退化の条件が欠かせません。

基本例題：内側の点を3つに分ける

三角形ABCで、aをベクトル AB、bをベクトル ACとします。点Pはベクトル AP = (1/4)a + (1/3)bを満たします。[BCP] : [CAP] : [ABP]を整数の比で求めてください。

図2のように係数は正で、その和は1より小さいのでPは内部にあります。Aに対応する係数から順に計算します。

s = 1/4
 t = 1/3
1 - s - t = 1 - 1/4 - 1/3
              = 5/12
[BCP] : [CAP] : [ABP] = 5/12 : 1/4 : 1/3
                              = 5 : 3 : 4

比の各項はそれぞれA、B、Cに対応し、和は12です。元の三角形の面積を12と仮に置けば、3つの面積は5、3、4となり、和が12に戻ります。逆にBとCに対応する面積の割合は3/12、4/12なので、与えられた係数1/4、1/3にも戻ります。図2では面積の値ではなく、面積比を記しています。

標準例題：面積から点の位置を戻す

三角形ABCの内部にPがあり、[BCP] : [CAP] : [ABP] = 2 : 5 : 3です。aをベクトル AB、bをベクトル ACとするとき、ベクトル APをa、bで表してください。また、PからBCに平行な直線とABの交点をEとして、AE : EBを整数の比で求めてください。

内部という条件があるので、面積の割合を符号付き係数としてそのまま使えます。比の和をまず求め、BとCに対応する割合を読みます。

2 + 5 + 3 = 10
s = 5/10 = 1/2
t = 3/10
ベクトル AP = (1/2)a + (3/10)b

EはAB上なので、ある実数xでベクトル AE = xaと書けます。またEPはBCに平行です。ベクトル BC = b − aなので、ある実数kについてベクトル AP = xa + k(b − a)です。aとbは平行でないため係数を比較できます。

x - k = 1/2
k = 3/10
x = 1/2 + 3/10
  = 4/5
AE : EB = 4/5 : 1/5
        = 4 : 1

0 < x < 1なのでEは線分ABの内部です。逆にEを4 : 1に内分する点とし、そこからBCに平行に引いた直線上でbの係数が3/10となる点を取ると、aの係数は4/5 − 3/10 = 1/2です。Aに対応する係数は1 − 1/2 − 3/10 = 1/5なので、面積比は2 : 5 : 3に戻ります。もし面積比の順を読み違えればEの位置も変わるため、答えを元の3領域に戻して調べます。

発展例題：外側で符号を決める

三角形ABCで、点Pは直線BCについてAと反対側、直線ACについてBと同じ側、直線ABについてCと同じ側にあります。[BCP] : [CAP] : [ABP] = 1 : 2 : 3のとき、aをベクトル AB、bをベクトル ACとしてベクトル APを表してください。さらに [ABC] に対する [ABP] の比を分数で求めてください。

3つの係数を順にu、s、tとします。係数の和は1です。直線BCを境にAと反対側にあるのでuは負です。同じ側という残りの条件からs、tは正です。面積比は絶対値の比なので、正の数kを使って次のように置けます。

u = -k
s = 2k
t = 3k
u + s + t = 1
-k + 2k + 3k = 1
4k = 1
k = 1/4

したがってu = -1/4、s = 1/2、t = 3/4です。求める答えはベクトル AP = (1/2)a + (3/4)b、[ABP]/[ABC] = 3/4です。分母4は0でないため計算できます。

逆の確認も必要です。係数の和は -1/4 + 1/2 + 3/4 = 1で、uが負、sとtが正です。高さの向きからPは指定された3つの側にあります。面積の割合は順に1/4、1/2、3/4なので、その比は1 : 2 : 3です。3つを足すと3/2となり、基準の面積の1を超えます。外側では三角形が重なるため、和が1を超えても矛盾しません。

側の条件を消して面積比だけを与えると、絶対値を外す符号が決まりません。例えば各係数が正の場合もあり、その場合は係数の和からk = 1/6です。外側の答えとは別の点になるため、面積比だけで上の答えを断定してはいけません。

負の係数を面積にしない

図3の点Pはベクトル AP = (3/2)a + (1/4)bを満たします。Aに対応する係数は1 − 3/2 − 1/4 = -3/4です。ここで [BCP] : [CAP] : [ABP] = -3 : 6 : 1 とするのが誤答です。面積には負の値がないため、負の項をそのまま面積の比に使うことはできません。

直線BCに対してPはAの反対側にあります。符号は位置の情報として保存し、高さの大きさを取る段階で絶対値を使います。正しくは3/4 : 3/2 : 1/4 = 3 : 6 : 1です。3つの割合の和は5/2であり、外点ではこれを1にするために割り直す必要はありません。各割合の分母はすでに基準三角形の面積です。

自分で手を動かす5問

各問で三角形ABCは一直線上にない3点からなり、aをベクトル AB、bをベクトル ACとします。比は整数の比、係数と割合は分数で答えてください。

1. ベクトル AP = (2/7)a + (1/7)bです。[BCP] : [CAP] : [ABP]を求めてください。
2. Pは三角形ABCの内部にあり、[BCP] : [CAP] : [ABP] = 4 : 3 : 2です。ベクトル APを表してください。
3. ベクトル AP = -(1/5)a + (2/5)bです。3つの面積比をA、B、Cに対応する順で求め、Pが直線ACのBと同じ側か反対側かを答えてください。
4. ベクトル AP = xa + (1/6)bで、Pは内部にあり、[CAP] = 2[ABP]です。xと [BCP]/[ABC]を求めてください。
5. Pは直線BCについてAと反対側、他の2辺の直線についてはそれぞれ向かいの頂点と同じ側です。面積比 [BCP] : [CAP] : [ABP] = 2 : 4 : 5のとき、ベクトル APを表してください。

解答と元の条件への確認

1. Aに対応する係数は次の値です。

1 - 2/7 - 1/7 = 4/7
[BCP] : [CAP] : [ABP] = 4/7 : 2/7 : 1/7
                              = 4 : 2 : 1

3係数は正で和が1なのでPは内部です。比の和7で割るとB、Cの割合は2/7、1/7となり、元の位置に戻ります。

2. 比の和は4 + 3 + 2 = 9です。内部では面積の割合が正の係数に一致します。

s = 3/9 = 1/3
t = 2/9
ベクトル AP = (1/3)a + (2/9)b

Aの係数は1 − 1/3 − 2/9 = 4/9です。3つの係数は正で、その比は4 : 3 : 2に戻ります。

3. Aに対応する係数は1 + 1/5 − 2/5 = 4/5です。各係数の絶対値を取ります。

[BCP] : [CAP] : [ABP] = 4/5 : 1/5 : 2/5
                              = 4 : 1 : 2

s = -1/5なのでPは直線ACについてBと反対側です。直線ACからの距離はBの距離の1/5倍、直線ABからの距離はCの距離の2/5倍です。与えられた負の係数の向きと面積の大きさを両方確認できます。

4. 内部なのでxは正です。底辺ACとABに対応する面積の割合はそれぞれxと1/6です。

x = 2(1/6)
  = 1/3
[BCP]/[ABC] = 1 - 1/3 - 1/6
                    = 1/2

係数1/3、1/6と残りの1/2はいずれも正です。割合1/3は1/6の2倍であり、指定された面積の条件に戻ります。

5. Aに対応する係数は負、BとCに対応する係数は正です。正の数kを用いて係数を -2k、4k、5kと置きます。

-2k + 4k + 5k = 1
7k = 1
k = 1/7
ベクトル AP = (4/7)a + (5/7)b

Aの係数は1 − 4/7 − 5/7 = -2/7です。符号は指定の側を満たし、絶対値の比は2 : 4 : 5です。負の係数を含めた和が1に戻ることも確かめられます。

手元に残す要点

• 非退化な三角形で、係数の和を1にそろえます。
• A、B、Cの係数は、それぞれ対辺BC、CA、ABを底辺とする高さに対応します。
• 面積比には係数の絶対値を使います。
• 内点では係数が正で、3つの面積の和は基準の面積に一致します。
• 外点では符号から辺の直線のどちら側かを判断します。

どこで判断が止まったか

係数の順序で迷う場合は、まずPを頂点Bに置いてみます。このときBの係数は1で、[CAP]は基準の面積に等しく、他の2つは0です。この対応を図に書けば、Bの係数が辺CAを底辺とする面積に結び付く理由を確かめられます。

負の係数で止まる場合は、面積を求める前に、各辺の直線を挟んで向かいの頂点と同じ側か反対側かを言葉で説明してみます。個別指導の場でも、1 − s − tの計算と、絶対値を取る前後の意味を順に確かめると、計算違いと図形の読み違いを区別できます。係数の符号は位置を示し、絶対値は高さの大きさを示します。