高校数学C 内積の成分計算—座標による計算と分配法則を使って式を整理する｜武蔵野個別指導塾

直交する単位方向から内積の成分公式を導き、和と差の展開を成分計算へ戻して照合します。

よくあるのは、理系の高校生が2つのベクトルの成分を見て、内積の答えも2つの数で書きたくなる場面です。成分の組はベクトルを表しますが、内積の値は1つの実数です。横どうしと縦どうしの積を足す理由を押さえると、和や差を含む式でも、どの計算を先にするか選べます。

要点（結論から）

• 直交する単位方向を使うと、(x, y)・(u, v) = xu + yv です。
• 内積は1つの実数で、負や0になることもあります。
• 和・差は分配し、実数倍は内積の外へ出せます。

問題の形で計算の入口を選ぶ

1つ目は、2つの成分がそのまま与えられる形です。対応する成分の積を作り、最後に足します。例えば横の積が正でも縦の積が負なら、和の符号は両方を計算するまで決まりません。答えは成分の組ではなく数で返します。

2つ目は、和や差の内積です。各ベクトルの成分を先に求めても、内積を分配してから個々の値を求めても同じ結果になります。成分が簡単にまとまるなら前者、既知の内積を使い回せるなら後者が便利です。差の符号は括弧ごと扱います。

3つ目は、文字を含む成分から条件を満たす値を求める形です。内積を実数の式に直し、方程式を解きます。解いた後は文字を元のベクトルに戻し、与えられた内積になるか確認します。このページでは角度を逆算せず、成分と分配法則による計算に絞ります。

直交する2方向から公式を作る

以下、a、b、i、j はベクトルです。座標平面の横方向の長さ1のベクトルを i = (1, 0)、縦方向の長さ1のベクトルを j = (0, 1) とします。2方向は直角に交わります。図1のように、成分はそれぞれの方向に何倍進むかを表します。

図1では a = (3, 2) = 3i + 2j です。横の成分が負なら i と反対向きに進み、縦の成分が負なら j と反対向きに進みます。横と縦は互いに直交し、どちらも長さ1です。この直交する単位方向を使っていることが、次の公式の条件です。

内積の定義と分配法則から、i・i = 1、j・j = 1、i・j = j・i = 0 です。前の2つは同じ向きで長さが1、後の2つは直交することによります。一般に a = (x, y)、b = (u, v) と置くと、a = xi + yj、b = ui + vj です。実数倍を外に出し、4つの項に分けます。

a・b = (xi + yj)・(ui + vj)
     = xu(i・i) + xv(i・j) + yu(j・i) + yv(j・j)
     = xu + 0 + 0 + yv
     = xu + yv

したがって、内積は「横どうしの積 + 縦どうしの積」です。横と縦を交差させた積が残らないのは、直交する2方向の内積が0だからです。成分の組を単に覚えるのではなく、分配後にどの項が0になるか説明できるようにします。

零ベクトルもこの式で扱えます。例えば a = (0, 0) なら、どの b に対しても a・b = 0 です。角度の定義には向きのある2つの非零ベクトルが必要ですが、成分公式に代入するときは零ベクトルを除く必要はありません。また a・a = x² + y² = |a|² です。自己内積は負にならず、0になるのは両成分が0のときです。

和や実数倍にも同じ考えを使います。a・(b + c) = a・b + a・c、(ka)・b = k(a・b) が成り立ちます。差は負の実数倍を含む和ですから、a・(b − c) = a・b − a・c です。ここで k は実数であり、内積の結果はベクトルではありません。

基本例題：符号を含む2組の成分

【問題】a = (3, 2)、b = (2, -1) とします。a・b を整数で求めてください。

図2のように両方を同じ原点から描くと、b の縦成分は下向きです。座標を読む段階で -1 と書き、掛け算の符号を落とさないようにします。

横どうし、縦どうしを順に掛けます。

a・b = 3・2 + 2・(-1)
     = 6 - 2
     = 4

答えは 4 です。(6, -2) は途中の2つの積を並べたものにすぎず、内積の答えではありません。横の寄与と縦の寄与を足した1つの数にします。

別の計算でも確かめます。a + b = (5, 1) なので |a + b|² = 5² + 1² = 26 です。また |a|² = 3² + 2² = 13、|b|² = 2² + (-1)² = 5 です。分配法則で |a + b|² = |a|² + 2a・b + |b|² と展開すると、26 = 13 + 2a・b + 5 から a・b = 4 となります。元の成分の和と各長さに戻っても一致します。

この確認は、成分の積のうち片方の符号を間違えたときに役立ちます。ただし長さだけで各ベクトルを決めるわけではありません。ここでは与えられた a と b の和も使っていることに注意します。

標準例題：和と差を先に作るか

【問題】p = (1, -2)、q = (4, 3) とします。(2p − q)・(p + 3q) を整数で求めてください。

まず括弧の中を成分ごとに計算します。負号は q の両成分にかかります。

2p - q = (2, -4) - (4, 3)
       = (-2, -7)
p + 3q = (1, -2) + (12, 9)
       = (13, 7)
(2p - q)・(p + 3q) = (-2)・13 + (-7)・7
                    = -26 - 49
                    = -75

答えは -75 です。2p − q の縦成分は -4 − 3 であり、-4 + 3 ではありません。先に括弧を1組の成分にまとめると、最後は基本例題と同じ手順です。

次に、分配法則で同じ答えに戻します。内積の交換法則 p・q = q・p を使う前に、4項をそれぞれ書きます。

p・p = 1² + (-2)² = 5
p・q = 1・4 + (-2)・3 = -2
q・q = 4² + 3² = 25
(2p - q)・(p + 3q)
 = 2(p・p) + 6(p・q) - (q・p) - 3(q・q)
 = 2・5 + 6・(-2) - (-2) - 3・25
 = 10 - 12 + 2 - 75
 = -75

2つの方法は同じ分配法則を異なる順に使っています。特に中央の2項は 6(p・q) − (q・p) = 5(p・q) です。-q を掛けた項の符号を落とすと係数が7になってしまいます。元の成分に戻した結果とも照らすと、展開の誤りを見分けやすくなります。

発展例題：文字を含む成分と解の確認

【問題】実数 t に対して a = (t, 2)、b = (t − 3, 1) とします。a・b = 6 を満たす t をすべて求め、整数で答えてください。

成分公式は t の値に関係なく使えます。まず内積を1つの実数の式に変え、それを条件の6に等しくします。

a・b = t(t - 3) + 2・1
     = t² - 3t + 2
t² - 3t + 2 = 6
t² - 3t - 4 = 0
(t - 4)(t + 1) = 0
t = 4 または t = -1

答えは t = 4、-1 です。2つの解はどちらも実数であり、問題文の範囲に入ります。因数の積が0なら少なくとも一方が0なので、この2つ以外に解はありません。

逆に、元のベクトルへ代入して条件を確かめます。t = 4 のとき a = (4, 2)、b = (1, 1) で、a・b = 4・1 + 2・1 = 6 です。t = -1 のとき a = (-1, 2)、b = (-4, 1) で、a・b = (-1)・(-4) + 2・1 = 6 です。両方とも元の条件を満たします。

もし t(t − 3) の -3t を +3t と書けば、別の方程式になります。方程式の計算を正しく進めても、最初の立式の誤りは残ります。答えを元の2組の成分へ戻す確認は、計算の出発点まで含めて点検するためにあります。

誤答から直す：対応と負号を戻す

例えば c = (2, -3)、d = (4, 1) の内積を、2・1 + (-3)・4 = -10 とする誤答を考えます。横成分と縦成分を交差させて掛けており、成分公式と対応が違います。図3のように、横どうし、縦どうしを結び直します。

正しくは c・d = 2・4 + (-3)・1 = 8 − 3 = 5 です。各成分に横・縦の印を付けてから積を作れば、交差に気づきやすくなります。図3の2本の線は対応を示しており、2つの積を最後に足します。

別の誤りは、負の成分を二乗するときに負号を残すことです。c・c は 2² + (-3)² = 13 で、2² − 3² ではありません。自己内積が負になったら、平方と符号の扱いを見直します。ただし正になったことだけでは計算の正しさは保証されないため、各項も確認します。

さらに、(c − d)・(c + d) を c・c + d・d とするのも誤りです。分配すると c・c + c・d − d・c − d・d です。交換法則により中央の2項が消えても、最後の項には負号が残ります。元の成分からも (c − d) = (-2, -4)、(c + d) = (6, -2) なので、内積は -12 + 8 = -4 です。13 − 17 = -4 と一致します。

5問で計算の選び方を試す

次の5問は、答えを整数または指定された形で求めてください。問題を続けて読み、手を動かした後に解答で元の条件を確かめます。

1. a = (-2, 5)、b = (3, 4) のとき、a・b を整数で求めてください。
2. p = (2, 1)、q = (-1, 3) のとき、(p + q)・(p − q) を整数で求めてください。
3. u = (1, 4)、v = (3, -2) のとき、(3u − 2v)・v を整数で求めてください。
4. 実数 s に対し a = (s, -1)、b = (2, s + 3) です。a・b = 1 となる s を整数で求めてください。
5. a = (2, -1)、b = (1, 3) とします。実数 k について、(a + kb)・b = 0 となる k を既約分数で求めてください。

5問の解答と元の式への照合

1. 符号の異なる積

a・b = (-2)・3 + 5・4
     = -6 + 20
     = 14

答えは 14 です。別の確認として a + b = (1, 9) なので |a + b|² = 82 です。|a|² = 29、|b|² = 25 と合わせて 82 = 29 + 2・14 + 25 が成り立ちます。元の成分から作った和にも戻っています。

2. 和と差の順を保つ

p + q = (1, 4)
p - q = (3, -2)
(p + q)・(p - q) = 1・3 + 4・(-2)
                    = 3 - 8
                    = -5

答えは -5 です。分配法則では p・p − q・q に等しく、5 − 10 = -5 です。和と差を元の成分から再計算しても、2つの方法で一致します。

3. 実数倍を外に出す

u・v = 1・3 + 4・(-2) = -5
v・v = 3² + (-2)² = 13
(3u - 2v)・v = 3(u・v) - 2(v・v)
                = 3・(-5) - 2・13
                = -41

答えは -41 です。元の式の左側も確かめると、3u − 2v = (3, 12) − (6, -4) = (-3, 16) です。これと v の内積は (-3)・3 + 16・(-2) = -41 となります。-2 が v の両成分にかかる点も確認できます。

4. 文字を戻して条件を確かめる

a・b = s・2 + (-1)(s + 3)
     = 2s - s - 3
     = s - 3
s - 3 = 1
s = 4

答えは s = 4 です。元のベクトルは a = (4, -1)、b = (2, 7) となり、内積は 4・2 + (-1)・7 = 1 です。求めた値が元の条件を満たします。方程式は一次式なので、他の実数解はありません。

5. 分数の解を代入する

a・b = 2・1 + (-1)・3 = -1
b・b = 1² + 3² = 10
(a + kb)・b = a・b + k(b・b)
                  = -1 + 10k
-1 + 10k = 0
k = 1/10

答えは k = 1/10 です。係数10は0ではないため、両辺を10で割れます。元のベクトルへ戻すと a + kb = (21/10, -7/10) です。b との内積は (21/10)・1 + (-7/10)・3 = 0 で、問題の条件を満たします。

要点を短く整理

• 直交する単位方向を使うと、(x, y)・(u, v) = xu + yv です。
• 内積は1つの実数で、負や0になることもあります。
• 和・差は分配し、実数倍は内積の外へ出せます。
• 自己内積は長さの二乗であり、負にはなりません。
• 文字の解は元の成分に戻して条件を確かめます。

どこで止まったかを見分ける

答えが2つの数になったら、対応する2つの積を最後に足したか確認します。正負が合わなければ、負の成分を括弧に入れて縦どうしの積から計算し直します。和と差がある場合は、先に成分をまとめた式と、分配して得た式を並べると、符号が変わった場所を探せます。

個別指導で確認するときは、計算結果だけでなく「横と縦を交差させた項がなぜ0か」「負号がどの項にかかるか」を自分の言葉で説明してみてください。文字を含む問題なら、出した値で元の内積が指定値に戻るところまで書きます。成分の対応と分配の順序を確かめると、長い式も一行ずつ追えます。