武蔵野個別指導塾の特徴

高校数学C ベクトルの和と差—折れ線のつなぎ方から引き算の向きを判断する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学C 平面ベクトルを掘り下げる

折れ線と平行四辺形で和と差の矢印をたどり、閉じた経路に戻して引き算の向きを確かめます。

よくあるのは、理系の高校生がベクトルの引き算を足し算と同じように見て、引く矢印の向きを変えずにつないでしまう場面です。紙の上では2本とも右向きに見えても、一方を引くときにたどる向きは逆になります。どちらの端からどちらの端へ進むのかを先に決めると、式と図のずれを見つけやすくなります。

ここでは矢印を平行移動してつなぐ考え方から始め、三角形や平行四辺形の辺をたどります。最後に閉じた経路へ戻して、出した式が出発点と終点に合っているかを調べます。

どの道をたどる問題か

和と差は、同じ計算に見えても、問題が求める道によって着眼点が変わります。次の3つを区別すると、いきなり図形の名前を探さずに済みます。

1つ目は、途中の点を経由する移動を1本にまとめる型です。AからBへ、続いてBからCへ進めば、最初のAと最後のCを結ぶ矢印が和です。経由地を変えても出発点と到着点が同じなら、得られる移動は同じです。

2つ目は、同じ点から出る2本の矢印の先端どうしを結ぶ型です。AからB、AからCへの矢印が与えられたとき、BからCへの矢印を求めるには、AからBへの移動を取り消してからAからCへ進みます。どちらを引くかは、求める矢印の始点によって決まります。

3つ目は、いくつかの辺を一周して式を確かめる型です。閉じた経路では出発点に戻るため、移動の和は零ベクトルです。この事実から未知の辺を求める際にも、逆向きの辺は元の辺に負号を付けて扱います。図に見える辺を全部足すだけでは、周回する向きがそろわないことがあります。

矢印をつなぐ前に決めること

ベクトル AB は、点Aから点Bへの向きと大きさを持つ矢印です。位置を変えずに描く必要はなく、向きと大きさを保って平行移動した矢印は同じベクトルを表します。始点と終点が同じときの移動は零ベクトルで、0（ベクトル）と書きます。以下では a、b などの小文字もベクトルを表します。

図1のように、ベクトル AB を a、ベクトル BC を b とします。a の終点Bに b の始点を合わせると、AからBを経てCに至ります。この2本の和 a + b は、AからCへのベクトル AC です。これが三角形則です。矢印を平行移動するときには、長さと向きを変えないという条件が付いています。

一方、Aを共通の始点として a、b を描き、それらを隣り合う辺とする平行四辺形を作ることもできます。a の先端から b と同じ矢印を描けば、その先端は Aから見て a + b の位置です。反対に b の先端から a をつないでも同じ頂点に到着するので、a + b = b + a です。2本が同じ直線上にある場合は普通の平行四辺形の形を描けませんが、折れ線を使った和の定義はそのまま使えます。

差 a − b は、a に b と逆向きで同じ大きさのベクトル -b を加えたものです。a と b の始点をそろえ、a の先端をP、b の先端をQとすれば、QからPへのベクトル QP が a − b です。実際、Qから共通の始点へ戻る移動が -b、その後にPへ進む移動が a なので、-b + a = a − b となります。

図1の下側では、共通の始点をO、a の先端をP、b の先端をQとして、差をQからPへ描いています。逆のPからQへの矢印は b − a です。式の後ろにある b の先端から、前にある a の先端へ向かうと読めます。a と b が等しい場合、先端は重なり、差は零ベクトルです。零ベクトルに矢印の向きを無理に付ける必要はありません。

閉じた道も同じ原理で説明できます。AからB、BからC、CからAと進むと、全体の移動は AからAへの零ベクトルです。したがってベクトル AB + ベクトル BC + ベクトル CA = 0 です。最後をベクトル AC と書けば逆方向になり、一周にはなりません。辺の名前を眺めるより、文字の並びを声に出して道をたどると確認できます。

基本例題：2通りの道から差を読む

【問題】三角形ABCで、ベクトル AB = a、ベクトル AC = b とします。ベクトル BC とベクトル CB を、それぞれ a と b を使って表してください。答えは和と差の式で示してください。

図2のように、Aから出る2本の矢印を使い、BからCへの道を考えます。BからAへ戻ってからCへ行く道を選ぶと、与えられた2本を使えます。BからAへの矢印は、ベクトル AB と大きさが等しく逆向きなので -a です。

ベクトル BC = ベクトル BA + ベクトル AC
             = -a + b
             = b - a

反対向きのベクトル CB も、CからAを経てBへ進めば求まります。途中のAは図にある点なので、どちらの矢印も問題の条件から読めます。

ベクトル CB = ベクトル CA + ベクトル AB
             = -b + a
             = a - b

答えは順に b − a、a − b です。前者を逆向きにしたものが後者になっており、2つの結果は整合します。さらに、ベクトル AB + ベクトル BC = a + (b − a) = b なので、AからBを経てCに行くと、与えられたベクトル AC に戻ります。逆向きも b + (a − b) = a とたどれます。

ここで b − a を「b の先端から a の先端」と読んでしまうと、CからBへの道になります。前にある b の先端が到着点、引く a の先端が出発点です。答えを書いた後に、式の順序と求める矢印の方向を照合してください。

標準例題：平行四辺形を回る

【問題】平行四辺形ABCDの頂点をこの順に並べ、ベクトル AB = p、ベクトル AD = q とします。ベクトル AC とベクトル BD を p、q の和と差で表してください。また、AからB、C、Dを経てAに戻る経路の和が零ベクトルになることを示してください。

AからCへはBを経由できます。平行四辺形の向かい合う辺は長さが等しく平行で、BからCへの向きはAからDへの向きと同じです。したがってベクトル BC = q です。これを使うと、対角線を三角形則で表せます。

ベクトル AC = ベクトル AB + ベクトル BC
             = p + q

もう一方の対角線はBからDへ向かいます。Aを経由すると、BからAへの移動とAからDへの移動に分けられます。

ベクトル BD = ベクトル BA + ベクトル AD
             = -p + q
             = q - p

答えはベクトル AC = p + q、ベクトル BD = q − p です。ベクトル BD にベクトル AB をつなぐ代わりに、AからBへの移動の後にBからDへの移動をつなぐと、p + (q − p) = q となり、実際に AからDへの移動に一致します。

周回するときは、CからDへの辺とDからAへの辺に注意します。AからBに平行で同じ大きさの辺はDからCですから、CからDは -p です。同様に DからAは -q です。

ベクトル AB + ベクトル BC + ベクトル CD + ベクトル DA
= p + q + (-p) + (-q)
= 0

実際にAへ戻る経路に沿っているので、零ベクトルという結果は図の条件に合います。DからCとCからDを取り違えて p とすると、Aからの移動と打ち消し合わず、周回の点検で誤りに気づけます。対角線が引かれた図でも、どの頂点からどの頂点に進むかを読み直すことが先です。

発展例題：未知の辺を閉じた道から復元する

【問題】異なる4点A、B、C、Dをこの順に結んだ四角形で、ベクトル AB = u、ベクトル BC = v、ベクトル AD = w とします。ベクトル CD とベクトル BD を u、v、w で表し、その結果が与えられた3本の矢印を再現することを確かめてください。答えは和と差の式で示してください。四角形は平行四辺形とは限りません。

求めるCDの始点はC、終点はDです。CからAまで戻ってDへ行けば、与えられた辺を使えます。CからB、BからAという順に戻るため、それぞれ -v、-u です。平行四辺形の向かい合う辺の関係は条件にないので、CDをABの逆向きと決めてはいけません。

ベクトル CD = ベクトル CB + ベクトル BA + ベクトル AD
             = -v + (-u) + w
             = w - u - v

ベクトル BD はBからAを経てDへ進めば求まります。また、BからC、CからDを経由しても同じ移動になるはずです。

ベクトル BD = ベクトル BA + ベクトル AD
             = -u + w
             = w - u

ベクトル BC + ベクトル CD = v + (w - u - v)
                              = w - u
                              = ベクトル BD

したがって答えは CD が w − u − v、BD が w − u です。別の道から同じ結果が出たことに加え、元の条件への戻しを行います。AからB、C、Dへ進めば、AからDへの移動 w が得られます。

ベクトル AB + ベクトル BC + ベクトル CD
= u + v + (w - u - v)
= w
= ベクトル AD

逆に、DからAへの移動 -w を加えれば周回の和は0です。四角形の形に関する余分な仮定を置かず、与えられた方向だけで確かめられました。例えば図の向かい合う辺が平行に見えても、その見た目だけを条件に加えては答えを限定できません。

この問題で条件が変わり、AからDへの矢印が与えられず、DからAへの矢印が w と与えられた場合はどうなるでしょうか。そのときAからDは -w なので、同じ経路から CD = -v − u − w です。文字 w が指す向きの変更を、式にも反映する必要があります。元の条件に戻すと u + v + (-v − u − w) = -w で、AからDへの移動に一致します。

向きを変えなかった答えを直す

【誤答】基本例題でベクトル BC = a + b とする。

図3のように、a と b はともにAから始まります。a の後に b をそのままつなぐと、AからBへ進んだ後、さらに b の向きへ進みます。その終点は一般にCではありません。b を平行移動してつなぐ操作は和を作りますが、BからCを作る操作とは異なります。

【理由】差を取るべきところで、BからAへ戻る -a が抜けています。a + b の出発点はAで、求める BC の出発点はBです。移動として見ると、出発点の取り違えがはっきりします。

【修正】BからAへ -a、AからCへ b をつなぎます。よってベクトル BC = -a + b = b − a です。確認として AB + BC = a + (b − a) = b = AC となります。逆に a + b をBCと仮定すれば、AB + BC = 2a + b となり、三角形のAとBは異なるので a は零ではなく、ACの b と一致しません。こうして、元の三角形の経路に戻して誤答を除けます。

練習：矢印の行き先を自分で決める

次の5問はすべて自作の問題です。各ベクトルは自由に平行移動できるものとし、答えは指定された文字を使った和と差の式で示してください。解答を見る前に、各矢印の始点と終点を書き出してみてください。

三角形DEFで、ベクトル DE = r、ベクトル EF = s です。ベクトル DF とベクトル FD を求めてください。
三角形GHIで、ベクトル GH = m、ベクトル GI = n です。ベクトル HI とベクトル IH を求めてください。
平行四辺形JKLMで、頂点はこの順に並び、ベクトル JK = c、ベクトル JM = d です。ベクトル KM とベクトル LJ を求めてください。
五角形PQRSTで、頂点をこの順に一周します。ベクトル PQ = f、ベクトル QR = g、ベクトル RS = h、ベクトル ST = k です。ベクトル TP を求めてください。
4点U、V、W、Xについて、ベクトル UV = j、ベクトル VW = k、ベクトル XW = l です。ベクトル UX とベクトル XV を求めてください。

練習の答えと戻し方

1. 連続する2本の移動

DからE、EからFへたどります。逆向きは全体の移動を反転させます。

ベクトル DF = ベクトル DE + ベクトル EF
             = r + s
ベクトル FD = -(r + s)
             = -r - s

答えは DF = r + s、FD = -r − s です。DからF、FからDと続けると (r + s) + (-r − s) = 0 で、出発点に戻ります。また DF − DE = (r + s) − r = s なので、EからFへの与えられた移動も再現します。

2. 共通の始点から先端へ

HからGへ戻り、GからIへ進みます。反対の矢印は順路を逆にします。

ベクトル HI = ベクトル HG + ベクトル GI
             = -m + n
             = n - m
ベクトル IH = ベクトル IG + ベクトル GH
             = -n + m
             = m - n

答えは HI = n − m、IH = m − n です。GH + HI = m + (n − m) = n = GI と、GからIに着きます。GI + IH も n + (m − n) = m となり、反対側の経路が条件に戻ります。

3. 対角線の向きの違い

KからJを経てMへ行きます。LからJへはLからK、KからJと戻ることができます。平行四辺形なのでベクトル KL = ベクトル JM = d です。

ベクトル KM = ベクトル KJ + ベクトル JM
             = -c + d
             = d - c
ベクトル LJ = ベクトル LK + ベクトル KJ
             = -d - c

答えは KM = d − c、LJ = -d − c です。JK + KM = c + (d − c) = d = JM です。また、JからK、L、Jとたどると c + d + (-d − c) = 0 となり、LJの向きも確かめられます。

4. 五角形を一周する

PからQ、R、S、Tを経てPへ戻るので、順につないだ和は0です。TからPを最後に置いて解きます。

f + g + h + k + ベクトル TP = 0
ベクトル TP = -(f + g + h + k)
             = -f - g - h - k

答えは TP = -f − g − h − k です。TからPへ進んだ後にPからTまでの4本をたどると、(-f − g − h − k) + f + g + h + k = 0 となります。与えられた辺の向きで一周して出発点に戻ることが確認できます。

5. 与えられた辺を逆向きに使う

WからXへ行くとき、問題の XW は逆向きなので -l です。UからV、Wを経てXへ行き、XからVへはWを経由します。

ベクトル UX = ベクトル UV + ベクトル VW + ベクトル WX
             = j + k - l
ベクトル XV = ベクトル XW + ベクトル WV
             = l - k

答えは UX = j + k − l、XV = l − k です。UX + XW = (j + k − l) + l = j + k = UV + VW なので、どちらの道もUからWに着きます。さらに XV + VW = (l − k) + k = l = XW となり、XからWへの指定された矢印にも戻ります。