高校数学III 穴のある回転体の体積—外半径と内半径の二乗を別々に積分する｜武蔵野個別指導塾

外側の円から穴を引き、軸の下の領域も距離で考えます。回転体の体積を求める鍵は円環です。

よくあるのは、理系の高3が演習で、回転前の領域の幅をそのまま半径と考え、半径の差を二乗してしまう場面です。見た目は円の面積に似ていますが、回した後の切り口は中央に穴のある円環です。外側の円と穴の円を描き直すと、どの量を二乗すべきかが見えてきます。

要点（結論から）

• 軸に垂直な切り口を描き、中心から外端と内端までの距離を測ります。
• 0 ≦ r ≦ Rを確かめ、円環の面積をπ(R² − r²)とします。
• 端点や交点で半径の大小がどう変わるかを調べます。

穴の大きさを含めて問われる

回転軸に垂直な断面を思い浮かべる問題では、まず回転前の線分の両端から軸までの距離を読み取ります。片方が外側の円の半径、もう片方が穴の半径です。同じ幅の線分でも、軸から遠い位置を回せば外側の円も大きくなり、断面積は変わります。

出方は大きく3通りあります。軸の上の2曲線の間を回す場合、軸の下の領域を回す場合、2曲線が端点で接して穴が閉じる場合です。どの場合も最初に領域を描き、切る位置で軸までの距離を比較します。この記事では軸の片側の領域を扱い、軸をまたぐ領域の重なりは扱いません。

体積の計算で大事なのは、積分の式を書き始める前に切り口を決めることです。どの変数で切るかが決まれば、積分区間も半径の式も同じ変数でそろえられます。計算結果の正負だけでなく、境界や端の断面まで確かめましょう。

円環は2つの円の面積の差

例えばx軸の上にある領域をx軸のまわりに回し、あるxで垂直に切ります。回転前の縦線分は、軸から近い端が半径r、遠い端が半径Rの円環を描きます。Rとrは長さなので、0 ≦ r ≦ Rです。図1のように、外側の円全体から中央の円を除いた部分が切り口です。

図1では両方の半径を中心から測っています。円の面積は半径の二乗にπをかけたものですから、断面積Aは次のようになります。

A = πR² - πr²
  = π(R² - r²)

R − rは円環の幅であって、円環そのものの半径ではありません。これを半径にした円の面積π(R − r)²は、一般に円環の面積と一致しません。たとえばR = 5、r = 2なら、正しい断面積は21π、幅を二乗した面積は9πです。両方の円は同じ中心から測った半径で描いています。

外半径R(x)、内半径r(x)が閉区間a ≦ x ≦ bで連続で、各xで0 ≦ r(x) ≦ R(x)なら、断面積も連続です。断面積を積分する体積の考え方から、求める体積Vは次の式です。

V = ∫[a→b] π(R(x)² - r(x)²) dx

外側の円板を重ねた体積から、穴に当たる円板を重ねた体積を引くとも読めます。2つを別々に積分しても、差を展開してから積分しても同じです。r = 0の位置では穴が点になり、円板の断面になります。端点でそのようになっても、半径が連続なら積分をそのまま使えます。

軸より下の領域では、座標値が負でも半径は負になりません。軸に近い負の値と遠い負の値を比べ、それぞれの絶対値を距離にします。切る向きが変わってy軸のまわりに回す場合も、軸に垂直な横線分を考え、半径をyで表してdyで積分します。

基本例題：直線と水平線の間を回す

問題：0 ≦ x ≦ 2で、y = x + 2、y = 1、x = 0、x = 2に囲まれた領域をx軸のまわりに回転します。体積をπを含む分数の厳密値で求めてください。

まず端点で高さを確かめます。上の直線の高さはx = 0で2、x = 2で4であり、この間も1より大きいです。両境界は閉区間で連続で、領域はx軸の上にあります。したがって、図2のように遠い方の高さx + 2が外半径、近い方の高さ1が内半径です。

図2の縦線分は、例えばx = 1で高さ1から3まで伸びています。回すと半径3の円から半径1の円を除いた断面になり、その面積は8πです。端点だけを見て半径を固定せず、一般のxで半径を表します。

R(x) = x + 2
r(x) = 1
A(x) = π((x + 2)² - 1²)
     = π(x² + 4x + 3)
V = π∫[0→2] (x² + 4x + 3) dx
  = π[x³/3 + 2x² + 3x]₀²
  = π(8/3 + 8 + 6)
  = 50π/3

答えは50π/3です。元の条件に戻ると、x = 0で断面積は3π、x = 2で15πです。被積分関数は区間で増加し、平均の断面積25π/3はこの2つの間にあります。幅2をかけた体積50π/3も正です。別々に積分するなら、半径x + 2の円板の体積から、半径1の円柱の体積2πを引きます。

標準例題：曲線側が穴の境界になる

問題：0 ≦ x ≦ 1で、y = x + 2とy = x² + 1、およびx = 0、x = 1で囲まれた領域をx軸のまわりに回します。体積をπを含む分数の厳密値で求めてください。

両式は連続です。上下の差は1 + x − x²で、0 ≦ x ≦ 1ではx − x² = x(1 − x) ≧ 0なので正です。下の曲線も1以上ですから、軸は領域の外にあります。外半径はx + 2、内半径はx² + 1と定まります。

V = π∫[0→1] ((x + 2)² - (x² + 1)²) dx
  = π∫[0→1] (x² + 4x + 4 - x⁴ - 2x² - 1) dx
  = π∫[0→1] (3 + 4x - x² - x⁴) dx
  = π[3x + 2x² - x³/3 - x⁵/5]₀¹
  = π(3 + 2 - 1/3 - 1/5)
  = 67π/15

答えは67π/15です。x = 0で半径は2と1、x = 1で3と2なので、端の断面積はそれぞれ3πと5πです。式もこの値に戻り、区間全体で外半径が内半径以上です。上下関係を確かめずに境界の式を引き算すると、途中で断面積の符号が変わる危険があります。

この例は外側と穴の体積を別に積分してもよいですが、差を先に展開すると被積分関数を一度で扱えます。どちらを選んでも、二乗してから引く順序は変わりません。

発展例題：交点で円環が閉じる

問題：0 ≦ x ≦ 1で、y = 3 − x²とy = 1 + xに挟まれた領域をx軸のまわりに回します。体積をπを含む分数の厳密値で求めてください。

境界は連続です。大小関係を調べるため、まず差を因数分解します。

(3 - x²) - (1 + x) = 2 - x - x²
                    = (1 - x)(x + 2)

区間内では差は0以上で、x = 1で0です。もう一つの交点x = -2は区間外です。また下側の1 + xは正なので、領域は軸の上にあります。したがって外半径は3 − x²、内半径は1 + xです。x = 1では両半径が2になり、円環の幅も断面積も0になります。

V = π∫[0→1] ((3 - x²)² - (1 + x)²) dx
  = π∫[0→1] (9 - 6x² + x⁴ - 1 - 2x - x²) dx
  = π∫[0→1] (8 - 2x - 7x² + x⁴) dx
  = π[8x - x² - 7x³/3 + x⁵/5]₀¹
  = π(8 - 1 - 7/3 + 1/5)
  = 73π/15

答えは73π/15です。x = 0で半径3と1から断面積8π、x = 1で両半径2から断面積0になります。展開した式も両端で同じ値に戻ります。積分する前に交点で0になることを見ると、定数項や符号の誤りを見つけやすくなります。

差の平方の公式を使う別の立式もあります。R² − r² = (R − r)(R + r)なので、被積分関数はπ(1 − x)(x + 2)(4 + x − x²)です。幅R − rに、もう一つの因子R + rをかけることが必要だとわかります。因数分解は符号の確認に便利で、展開は積分の計算に便利です。

誤答を断面へ戻して直す

誤答1：基本例題の体積をπ∫[0→2] (x + 1)² dxとする。

これは2つの高さの差(x + 2) − 1を半径として円を描いています。図3のように、求める切り口は大きい円から中心の穴を除いた円環です。幅が同じでも中心からの距離が違えば、円環の面積は違います。

図3で外半径3、内半径1の場合、正しい面積はπ(3² − 1²) = 8πです。幅2の円は4πで、一致しません。直すには両端から軸までの距離をそれぞれ書き、二乗した後に穴の分を引きます。

誤答2：領域が軸の下にあるとき、上の曲線の座標値をそのまま外半径とする。

上下の順と軸からの距離の順は同じとは限りません。例えばy = -4からy = -2までの線分なら、遠い端は-4で、外半径は4です。内半径は2なので断面積は12πです。軸と端点を線分で結び、長さが正になるように取り直します。

誤答3：2曲線の交点を求めず、見かけの上下関係で広い区間を積分する。

交点を越えて上下が入れ替われば、外半径と内半径の指定も変わり、差の式は負になり得ます。まず指定区間の端と全交点を調べ、各部分で大小を確かめます。交点が端なら発展例題のようにそこで断面積が0です。途中にあれば、その点で区間を分けてからそれぞれの半径を決め直します。

練習問題：5つの切り口を調べる

いずれも境界と指定された直線で囲まれた領域を回転します。体積はπを含む分数または整数の厳密値で答えてください。問題ごとに、軸に垂直な線分と2つの半径を書いてから計算します。

1. 0 ≦ x ≦ 2で、y = 4とy = x + 1の間をx軸のまわりに回します。
2. 0 ≦ x ≦ 1で、y = -3とy = -x − 1の間をx軸のまわりに回します。
3. 0 ≦ x ≦ 2で、y = 2とy = xの間をx軸のまわりに回します。
4. 0 ≦ y ≦ 1で、x = y + 3とx = y + 2の間をy軸のまわりに回します。
5. 0 ≦ x ≦ 3/2で、y = 4 − xとy = 1 + xの間をx軸のまわりに回します。

答えと解き方

1. 区間内で4 ≧ x + 1 ≧ 1です。外半径は4、内半径はx + 1です。両境界は連続なので断面積を積分できます。

V = π∫[0→2] (16 - (x + 1)²) dx
  = π∫[0→2] (15 - 2x - x²) dx
  = π[15x - x² - x³/3]₀²
  = π(30 - 4 - 8/3)
  = 70π/3

端では半径が4と1、4と3になり、断面積は15πから7πまで変わります。計算した平均断面積35π/3はその間にあり、幅2の領域に戻しても整合します。

2. 領域は軸の下で、遠い境界がy = -3です。外半径3、内半径x + 1はともに正で、区間内の大小は3 ≧ x + 1です。

V = π∫[0→1] (9 - (x + 1)²) dx
  = π∫[0→1] (8 - 2x - x²) dx
  = π[8x - x² - x³/3]₀¹
  = 20π/3

元の境界に戻すと、両端の断面積は8πと5πです。答えは幅1に平均断面積20π/3をかけたもので、その平均も端の値の間にあります。

3. 外半径は2、内半径はxです。両者はx = 2で等しく、そこで断面積が0になります。

V = π∫[0→2] (4 - x²) dx
  = π[4x - x³/3]₀²
  = π(8 - 8/3)
  = 16π/3

x = 0では半径2の円板、x = 2では同じ半径の円の差で面積0です。式4 − x²は元の両端の条件に戻り、途中も負になりません。

4. y軸に垂直な横線分を回します。各yで右端までの距離y + 3が外半径、左端までの距離y + 2が内半径です。両式は連続で正です。

V = π∫[0→1] ((y + 3)² - (y + 2)²) dy
  = π∫[0→1] (2y + 5) dy
  = π[y² + 5y]₀¹
  = 6π

y = 0で半径3と2から断面積5π、y = 1で半径4と3から7πです。断面積は直線的に増えるので平均は6πとなり、高さ1にかけた答えと一致します。

5. 2直線の差は3 − 2xです。指定区間で0以上で、端点x = 3/2で交わります。軸からの距離も正なので、外半径は4 − x、内半径は1 + xです。

V = π∫[0→3/2] ((4 - x)² - (1 + x)²) dx
  = π∫[0→3/2] (15 - 10x) dx
  = π[15x - 5x²]₀³/²
  = π(45/2 - 45/4)
  = 45π/4

元の条件ではx = 0の断面積が15π、x = 3/2では両半径が5/2で断面積0です。断面積は直線的に減るので、平均15π/2に幅3/2をかけても45π/4になります。

要点を手元に残す

• 軸に垂直な切り口を描き、中心から外端と内端までの距離を測ります。
• 0 ≦ r ≦ Rを確かめ、円環の面積をπ(R² − r²)とします。
• 端点や交点で半径の大小がどう変わるかを調べます。
• 断面積を切る方向の変数で積分し、体積を求めます。
• 答えを端の断面、正負、元の領域の幅と照らします。

途中で止まったときの確かめ方

図には領域だけでなく、軸から両端までの2本の線も書いてみましょう。軸の下で外半径を負にしていたら、座標と距離の違いを図で確認します。式がπ(R − r)²になっていたら、外円と穴の面積を別々に言葉で説明してみます。

個別に学習を進めるときは、切る向き、半径の大小、積分区間を順に説明できるかを確かめます。計算は合っていても図と式が結びつかなければ、別の位置で断面を1つ描き直します。端点で穴が閉じる場合は、その点の2つの半径を代入し、断面積が0になるかを見ると、元の条件へ戻れます。円環の面積は、中心から測った2つの半径が決めます。