高校数学III 連続になる文字条件—接続点の左右と関数値から条件式を立てる｜武蔵野個別指導塾

根号の商や正弦の極限を使い、左右の接続と点の値をそろえる連続条件を導きます。

よくあるのは、理系高3が演習ノートで、式の切り替わる点に片側の式だけを代入し、そこで文字を決める場面です。その値は片側からの接近には合っていても、反対側や接続点の値には合わないかもしれません。接続点ごとに3つの値を並べれば、何を等しくするのかが見えてきます。数学IIIの極限の学習では関数の値の極限を扱います。ここではその知識を使い、接続を実現する文字を設計します。

文字の置かれ方で問題を読む

出方の1つは、ある点で分数式が定義されず、その点の値を文字で補う型です。周囲から近づけた極限値を求め、それを点の値にします。ただし、約分前の式に接続点を代入して値を定めることはできません。元の式が定義される範囲を先に調べます。

もう1つは、左右で異なる式を使い、片方の係数を調整する型です。接続点を含む側の値と、含まない側からの極限を比較します。文字が2つ、接続点も2つあるときは、それぞれの接続点から条件を取り出し、連立して解きます。式の本数が文字の数と同じでも、解が存在するとは限りません。矛盾する式や同じ内容の式が出る可能性も調べます。

さらに、指定された範囲全体で連続となる条件を問われたら、接続点以外も確認します。多項式は全実数で連続ですが、分数式には分母の条件、根号には中身の条件があります。接続点で条件を満たすことと、それ以外の場所で式が定義され連続であることを合わせて初めて結論が出ます。

接続点で比べる3つの値

関数 f が点 x = c で連続とは、f(c) が定義され、x が c に近づくときの極限が存在し、その値が f(c) に等しいことです。c の両側で関数が定義されているときは、左側極限と右側極限がともに存在して一致することを使えます。図1のように、左からの値、点の値、右からの値を別々の欄に置きます。

図1の3つが同じ値なら、その点で連続です。左右の極限が同じでも点の値が違えば、点に穴が開いたまま別の高さに点を打った状態です。また、片側の極限と点の値が一致しても、反対側が違えば両側の極限がありません。定義域の端では定義域内の片側から考えますが、以下の接続点は両側に定義域があります。

計算では、まず接続点を含む不等号を確認します。例えば x < c と x ≧ c なら、f(c) を与えるのは後者です。左側から近づくときは前者、右側から近づくときは後者を用います。分母がゼロになる商では、その点を除いた近傍で変形し、極限を取ってから点の値と比較します。

基本例題：根号の商を1点で補う

次の関数が x = 5 で連続となるように、実数 a を分数で求めてください。

f(x) = (√(x+4)-3)/(x-5)  （x ≧ -4, x ≠ 5）
f(5) = a

x = 5 では分母も分子も0です。まず元の商はその点で定義されず、f(5) は別に与えた a であることを押さえます。5の近くでは x+4 > 0 で、共役な式 √(x+4)+3 は正です。x ≠ 5 の条件のもとで次のように変形します。

(√(x+4)-3)/(x-5)
= ((x+4)-9)/((x-5)(√(x+4)+3))
= (x-5)/((x-5)(√(x+4)+3))
= 1/(√(x+4)+3)

最後の式は x = 5 の近くで定義され、分母は0になりません。よって左右から同じ値へ近づきます。

lim[x→5] f(x)
= 1/(√9+3)
= 1/6

連続の条件は f(5) = 1/6 なので、答えは a = 1/6 です。図2のように、商が近づく高さに点を置きます。

図2の左右の矢印は同じ高さへ向かいます。a = 1/6 を元の定義へ戻すと、点の値も1/6です。したがって左右の極限と点の値が一致します。逆に a が異なる値なら左右の極限は1/6のままなのに点の値が異なるため、連続ではありません。約分後の式が5でも計算できることと、元の商が5で定義されていたことは別です。

標準例題：正弦の基本極限を接続に使う

次の関数が x = 0 で連続となる実数 b を整数で求めてください。角度は弧度法です。

g(x) = sin(6x)/x  （x ≠ 0）
g(0) = b

x ≠ 0 なら 6x ≠ 0 です。sin t/t の極限が t → 0 で1となる基本極限に合わせます。x → 0 のとき 6x → 0 なので、左右両側から同じ基本極限を使えます。

sin(6x)/x
= 6・sin(6x)/(6x)
lim[x→0] sin(6x)/x
= 6・1
= 6

したがって g(0) = b と極限値の一致から b = 6 です。元の関数で0以外の点は分母が0でないため連続です。0では左右の極限と点の値が6となるので、求めた b で全実数上の連続性も成立します。

ここで sin(6x)/x を sin 0/0 として計算することはできません。0/0 は数値ではなく、そのままでは極限が決まらない形です。また、sin t/t → 1 の t は分子の角全体です。分母を6xに変えた分の係数6を外に残さないと、点の高さを誤ります。

発展例題：2つの接続点を同時に設計する

次の関数が全実数で連続となる実数 p、q をそれぞれ分数で求めてください。

h(x) = x+3          （x < 1）
h(x) = px+q         （1 ≦ x < 3）
h(x) = 2x-1         （x ≧ 3）

各部分は一次式なので、それぞれの区間の内部では連続です。調べる場所は式が切り替わる x = 1 と x = 3 です。まず x = 1 の左側、右側、点の値を並べます。

lim[x→1-] h(x) = 1+3 = 4
lim[x→1+] h(x) = p+q
h(1) = p+q

この点の連続性は p+q = 4 と同値です。次に x = 3 では、中間の式に等号が付かず、右側の式が点の値を与えます。

lim[x→3-] h(x) = 3p+q
lim[x→3+] h(x) = 2・3-1 = 5
h(3) = 5

したがって、こちらの条件は 3p+q = 5 です。2つの条件を連立します。

p+q = 4
3p+q = 5
2p = 1
p = 1/2
q = 4-1/2
q = 7/2

よって p = 1/2、q = 7/2 です。元の条件に戻すと x = 1 では中間の式の値が 1/2+7/2 = 4、x = 3 の左からの値が 3/2+7/2 = 5 です。左右と点の値がそれぞれそろい、区間内部も連続なので全実数で連続です。2つの条件から一意に決まるため、ほかの組はありません。

条件から得た値を元の式へ戻し、指定された答えの形まで確認することは、連立方程式を解く作業とは別に必要です。

条件が足りないときと食い違うとき

連続になる文字条件を求める問題では、方程式を作った後の解の個数にも意味があります。例えば2つの接続点から p+q = 4 と 2p+2q = 8 が得られたなら、後者は前者を2倍した式です。p を自由に選び、q = 4-p とできます。条件が2行あるというだけでは、1組に決まりません。ただし、これらの式が本当に左右の極限と点の値の一致から得られたかは、別に確かめる必要があります。

一方、p+q = 4 と p+q = 7 が必要なら、同じ数が4と7の両方に等しくなければならないため、解はありません。連続性の条件を解いた結果が空になることも、問題の正しい結論です。計算の途中で矛盾が出た場合は、まず不等号の等号の位置や代入先を見直し、それでも矛盾するなら解なしと判定します。

誤答を接続点へ戻す

次のような誤答を考えます。

f(x) = x+2   （x < 1）
f(x) = a     （x = 1）
f(x) = 2x+1  （x > 1）
左側の式に1を入れると3だから、a = 3なら必ず連続。

この例では右側の極限も3なので結論は成立しますが、左側だけの確認では根拠が不足します。右側を 2x+4 に変えると、左側の極限は3、点の値は a、右側の極限は6です。a = 3 としても左右が一致せず、どんな a を選んでも連続にはなりません。図3のように、点の値を動かしても左右の接近先が異なることを見落とさないでください。

図3では左の3と右の6が異なります。正しい手順は、左側極限3、右側極限6、点の値 a を並べ、3 = a = 6 が不可能と判定することです。文字を解く前に左右が一致する必要があります。点の値を置き直す操作だけでは、周囲の式が近づく先は変わりません。

また、連立条件が矛盾する場合にも解なしと答えます。例えば同じ文字に対して a = 2 と a = 5 が必要なら、両方を満たす実数はありません。反対に2つの条件が実質的に同じなら、自由に選べる文字が残る場合もあります。文字の個数だけで答えの個数を決めず、得られた条件自体を解きます。

練習問題

各問の文字は実数です。必要な極限を求め、指定された形で答えてください。三角関数の角度は弧度法です。

1. x ≠ 2 で f(x) = (x²-4)/(x-2)、f(2) = a とします。x = 2 で連続となる a を整数で求めてください。
2. x ≠ 0 で g(x) = sin(4x)/x、g(0) = b とします。x = 0 で連続となる b を整数で求めてください。
3. x < 2 で h(x) = x+c、x ≧ 2 で h(x) = 3x-1 とします。全実数で連続となる c を整数で求めてください。
4. x < 0 で u(x) = x+1、0 ≦ x < 2 で u(x) = mx+n、x ≧ 2 で u(x) = x+3 とします。全実数で連続となる m、n を整数で求めてください。
5. x < 0 で v(x) = x+2、x = 0 で v(x) = d、x > 0 で v(x) = x+5 とします。x = 0 で連続となる d の有無を答え、理由を述べてください。

答えと解き方

1. x ≠ 2 で因数分解して約分します。

(x²-4)/(x-2)
= (x-2)(x+2)/(x-2)
= x+2
lim[x→2] f(x) = 4

よって a = 4 です。元の定義で f(2) = 4 となり、左右の極限に一致します。約分した式を元の定義そのものと取り違えないようにします。

2. x ≠ 0 のもとで次の形にします。

sin(4x)/x
= 4・sin(4x)/(4x)
lim[x→0] g(x) = 4・1 = 4

答えは b = 4 です。点の値も4にすると左右の極限に一致します。係数を外に出す前に、分母の4xが0でないことを確認します。

3. 左からの極限は 2+c、右からの極限と点の値は 3・2-1 = 5 です。

2+c = 5
c = 3

左の式に戻すと接近先は2+3 = 5です。右側の点の値も5なので接続し、各区間の内部は一次式として連続です。

4. x = 0 では左側極限が1、中間の式の極限と点の値が n です。x = 2 では中間の式の左側極限が 2m+n、右側の極限と点の値が5です。

n = 1
2m+n = 5
2m+1 = 5
m = 2

答えは m = 2、n = 1 です。元に戻すと0では1、2では左側が2・2+1 = 5、右側も2+3 = 5です。区間内部も連続なので全実数で成立します。

5. 左側極限は2、右側極限は5です。左右が一致しないため、d の値にかかわらず両側の極限は存在しません。したがって条件を満たす d はありません。d = 2 として左側と点の値を合わせても、右側は5のままです。

覚えておくこと

• 接続点では左側極限・右側極限・点の値を並べます。
• 3つが一致する条件を文字の式にします。
• 2つの接続点では、それぞれの条件を同時に満たします。
• 分母や根号の定義域と、接続点以外の連続性も確認します。
• 条件が矛盾するときは解なしです。

途中式からつまずきを見つける

接続点に代入した式が1つしか書かれていなければ、等号の向きに印を付け、左右と点の値を別々に書き直します。根号の商で止まった場合は、共役を分子と分母の両方に掛けたか、約分に必要な接続点以外という条件を残したかを見ます。

個別指導では、答えの文字を元の区分式に戻し、各接続点で3つの値がそろうところまで本人の途中式をたどります。2点の条件が食い違う例も試すと、連立方程式を解く作業と、そもそも接続できるかの判断が結びつきます。接続点の左右と点の値を照合すれば、文字の役割が明確になります。