高校数学III 一の無限大乗の極限—底と指数を一組にして自然対数の底へつなぐ｜武蔵野個別指導塾

底と指数の積を使い、負の差を含む数列や実数乗の極限を求め、偶奇で結果が分かれる場合も調べます。

よくあるのは、理系の高3が演習ノートで、底が1に近づくので累乗全体も1と決める場面です。ところが、底の1からの差は小さくなっても、掛け合わせる回数は増えます。両方の動きを同時に見ると、1以外の値へ近づく理由が見えてきます。数列と関数の両方で、底が正である範囲を確かめてから変形しましょう。

どの量を組にするか

出方の1つは、(1+小さい数)の大きい数乗という数列です。底だけを見れば1に近づきますが、指数は無限大へ向かうので、その情報だけでは極限値を決められません。たとえば同じ底でも指数を2倍にすれば、累乗全体は元の値の2乗です。底の変化と指数を切り離してはいけません。

もう1つは、指数が負になったり、関数の変数が0の左右から近づいたりする形です。正の底の実数乗を考えるため、まず底の正値を調べます。その後、底の1からの差と指数の積に注目します。積の極限が正か負か、あるいは0かによって、答えが1より大きいか、小さいか、1かを見通せます。

さらに、底と指数の両方に式が含まれる問題では、積の極限が存在するかどうかも別に確かめます。積が振動するのに、公式の形に見えるという理由で一定値を置くことはできません。以下では自然対数の底をeとし、正の底の実数乗を扱います。

基本形の条件を読む

次の基本極限を使います。

lim[t→0] (1+t)の1/t乗 = e

ここでtは0でなく、1+t > 0です。tが0に近い範囲では、たとえば|t| < 1/2とすれば底は正です。この極限は正負両側で成り立ちます。対数をlogと書くとき、logは自然対数です。対応する基本極限は次の形です。

lim[t→0] log(1+t)/t = 1

実際、u = log(1+t)と置くと、t→0でu→0、t = eᵘ-1です。指数関数の基本極限lim[u→0] (eᵘ-1)/u = 1から、その逆数の極限として得られます。uとtは0に十分近い範囲で同時に0でなく、逆数を取る極限値も0ではありません。さらに、指数関数の連続性から元の累乗の極限はeです。ここでは微分や級数展開を使っていません。

図1のように、底の差をt、指数をsと置くと、正の底の累乗は次のように読めます。

(1+t)のs乗 = eの {s log(1+t)} 乗
s log(1+t) = (st)・{log(1+t)/t}

t→0、st→Lなら、後ろの比は1に近づくため、指数全体はLに近づきます。よって累乗はeのL乗に近づきます。この方法はsが整数でも実数でも使えますが、元の式が定義される範囲を先に確認する必要があります。図1の積の矢印は、底と指数を別々に代入するのではなく、積を先に調べることを表します。

tが途中で0になる点があれば、log(1+t)/tという商はその点では定義されません。それでも、その点で元の累乗は1です。積がLに収束する状況でtが0となる点が近傍に現れるなら、その点上ではst = 0なのでL = 0となり、元の値1もe⁰と一致します。商を使う部分とt = 0の部分を分ければ、穴を見落とさずに済みます。

基本例題：回数と差をそろえる

正の整数nについて、次の極限をeを用いた正確な式で求めます。

lim[n→∞] (1+3/n)ⁿ

底はすべての正の整数nで正です。図2のように底の差3/nと指数nを組にすると、積は常に3です。基本形にそろえる計算を1行ずつ追います。

t = 3/n
1/t = n/3
(1+3/n)ⁿ = {(1+t)の1/t乗}³
t → 0
(1+t)の1/t乗 → e
(1+3/n)ⁿ → e³

したがって答えはe³です。tは正の側から0に近づき、指数nは3・(1/t)に等しいので、外に出る指数は3です。図2の3は底の差と指数の積であり、底そのものの極限ではありません。底は1に近づく一方、全体の極限はe³です。

元の条件にも戻しましょう。n = 1では底4、n = 3では底2で、いずれも元の累乗が定義されています。nが大きいほど差3/nは小さくなりますが、n回掛ける効果が残ります。有限個の初めの値だけで極限は決まらないので、上の基本極限を根拠にしています。

標準例題：負の差と3倍の指数

n > 2の整数について、次の極限をeを用いた正確な式で求めます。

lim[n→∞] (1-2/n)の3n乗

n > 2なので底は正です。n = 2では底が0であり、正の底としての変形をそのまま適用できません。しかし極限は十分大きいnについて考えるので、n > 2という範囲で計算できます。底が正という条件と、有限個の初期値を除くことは別々の確認です。

t = -2/n
1/t = -n/2
3n = -6/t
(1-2/n)の3n乗 = {(1+t)の1/t乗}⁻⁶
t → 0
(1+t)の1/t乗 → e
(1-2/n)の3n乗 → e⁻⁶

答えはe⁻⁶、すなわち1/e⁶です。tは負の側から0に向かいますが、基本極限は両側で成立するため使えます。指数との積も(-2/n)・3n = -6です。正の底が1より小さく、正の指数で累乗されるので、値が1より小さいという答えの符号感覚とも一致します。

負の差だからといって、基本形の極限を-eとするわけではありません。底は0より大きく、正の底の実数乗も正です。負の符号は、外側の指数-6に残ります。また指数をnと読み違えるとe⁻²になるので、3nまで含めて積を作ることが必要です。

発展例題：左右から近づく実数の指数

実数xについて、定義される範囲で次の極限をeを用いた正確な式で求めます。

lim[x→0] (1+4x)の1/x乗

実数乗を使うので1+4x > 0、すなわちx > -1/4です。また指数1/xのためx ≠ 0です。0の両側にはこの条件を満たす点があるので、左右それぞれから近づけます。右側しか見ないまま両側極限を結論することはできません。

t = 4x
1/t = 1/(4x)
1/x = 4/t
(1+4x)の1/x乗 = {(1+t)の1/t乗}⁴
x → 0 のとき t → 0
(1+t)の1/t乗 → e
(1+4x)の1/x乗 → e⁴

答えはe⁴です。xが正ならtも正、xが負ならtも負ですが、どちらでも基本極限はeです。積で見ると(4x)・(1/x) = 4なので、左右で同じ指数4が残ります。xが負のときは底が1より小さく指数も負なので、値が1より大きくなることも答えと整合します。

この例ではx = 0で元の式は定義されません。それでも0の近くの値が両側から同じ数に近づけば極限は存在します。点での値と近くでの振る舞いを混同せず、正の底が保たれる範囲と、0を除いてよい理由を式の横に書いておきましょう。

誤答をほどく：1のままではない

基本例題で「3/n→0だから底は1に近づく。したがって全体は1」とする答案を考えます。底の極限は正しいものの、指数nも変化しているため、その代入は根拠になりません。指数を固定してから底を近づける操作と、指数も同時に増やす操作は異なります。

図3のように、元の式にある差と指数を掛け合わせると3が残ります。この残りを累乗の指数に移すのが修正の中心です。

底の差 = 3/n
指数 = n
底の差・指数 = 3
(1+3/n)ⁿ → e³

図3では左側が底だけを見た判断、右側が両方を追う判断です。もし指数が一定の2なら、同じ底から作る(1+3/n)²は1に近づきます。指数がnの場合と並べれば、底の極限だけでは答えが決まらないことが見えます。

逆に、積が0に近づく場合には答えが1となることもあります。そのときは「底が1だから」ではなく、底の差と指数の積が0へ近づくこと、底が正であることを根拠にします。積が一定値に近づかない場合は、この結論を先に置けません。定義できない底や、振動する積は、公式に入れる前に立ち止まる合図です。

練習：積を見つけてから答える

各問は、極限が存在する場合はeを用いた正確な式で答え、存在しない場合はその理由を述べてください。nは正の整数です。実数乗は正の底で考えます。

1. lim[n→∞] (1+5/n)の2n乗を求めます。
2. n > 4で、lim[n→∞] (1-4/n)のn乗を求めます。
3. lim[x→0] (1-3x)の2/x乗を求めます。定義域と左右も確認します。
4. lim[n→∞] (1+1/n²)ⁿを求めます。
5. aₙ = (1+1/n)の{n(1+(-1)ⁿ)}乗とします。aₙの極限を調べます。

解答と道筋

1. 底は正で、差と指数の積は(5/n)・2n = 10です。t = 5/nと置くと次のようになります。

2n = 10/t
(1+5/n)の2n乗 = {(1+t)の1/t乗}¹⁰
lim[n→∞] (1+5/n)の2n乗 = e¹⁰

元の指数は2nであり、5/nとの積が10になることを戻して確認します。指数をnと取り違えると別の値になるので注意します。

2. n > 4なら1-4/n > 0です。t = -4/nは負の側から0に近づきます。

n = -4/t
(1-4/n)ⁿ = {(1+t)の1/t乗}⁻⁴
lim[n→∞] (1-4/n)ⁿ = e⁻⁴

差と元の指数の積も-4です。底は0と1の間で指数は正なので、答えが0と1の間にあることにも合います。n = 4では底が0になり、この正の底の議論に入れない点を区別します。

3. 底の条件は1-3x > 0、つまりx < 1/3です。指数にはx ≠ 0も必要です。0の両側に定義域があり、t = -3xと置けます。

2/x = -6/t
(1-3x)の2/x乗 = {(1+t)の1/t乗}⁻⁶
lim[x→0] (1-3x)の2/x乗 = e⁻⁶

xが左右のどちらから0に向かってもt→0です。元の差と指数の積(-3x)・(2/x)も-6であり、両側の答えは一致します。

4. 底は正で、差と指数の積は1/nです。t = 1/n²と置けば、指数nは(1/t)・(1/n)です。

(1+1/n²)ⁿ = {(1+t)の1/t乗}の1/n乗
log((1+1/n²)ⁿ) = (1/n)・{log(1+t)/t}
(1/n)・{log(1+t)/t} → 0
(1+1/n²)ⁿ → e⁰ = 1

累乗の指数も変わるので、対数を取って指数の極限を確かめました。元の差は1/n²であり、nを掛けても1/nしか残らないことが、基本例題との違いです。

5. 底1+1/nは正です。偶数nと奇数nに分けると、元の指数が異なります。

nが偶数のとき 1+(-1)ⁿ = 2
aₙ = (1+1/n)の2n乗 → e²
nが奇数のとき 1+(-1)ⁿ = 0
aₙ = (1+1/n)⁰ = 1

偶数項はe²へ、奇数項は常に1です。e²と1は異なるので、数列全体の極限は存在しません。元の指数に偶奇を戻すと2nと0になり、どちらも正の底について定義されています。積が1つの値に近づかない例として、公式の適用条件を確認できます。

要点

底が正となる範囲を先に確かめます。 底の1からの差をt、指数をsとし、t→0とst→Lを調べます。 条件が整えば、累乗の極限はeのL乗です。 左右や偶奇で積が異なるときは、それぞれを別に調べます。

途中式から見つけるつまずき

個別指導で確かめるなら、まず答案の底に引かれた線と、指数に書かれた印を見ます。底の差だけを丸で囲み指数を写していない場合は、差と指数の積を元の式から作り直します。たとえば標準例題では-2/nにnではなく3nを掛けたかを尋ね、-6に至る1行を本人に書いてもらいます。

次に、負の差を見たとき、底の正値と基本極限の左右を分けて説明できるかを確かめます。発展例題ではx > -1/4とx ≠ 0を先に書き、負側にも定義域があることを確認します。練習5のように偶奇で積が異なる場合は、同じ公式に無理に押し込まず、それぞれの値を元の指数に戻します。底と指数を一組で追えば、一の無限大乗の見かけに隠れた差が残ります。