高校数学III 関数の左右極限—近づく向きとその点の値を分けて判定する｜武蔵野個別指導塾

絶対値の商や区分的な式で接近する側を分け、点の値とは別に扱うのが左右極限です。

よくあるのは、理系高3が演習ノートで接近先の点の値だけを見て、関数の極限を決めるという場面です。グラフに点が打たれていても、その点に向かう途中の値は別の高さに近づくことがあります。反対に、点の値が定義されていなくても、両側から同じ値に近づく場合があります。点そのものと、その周囲の動きを別々に追うことから始めましょう。

学習指導要領の数学IIIには、関数の値の極限が含まれます。ここでは有限の点への左右の接近と定義域の端を扱い、連続性の判定には進みません。

どの向きから近づくかで分ける

問題の出方には、まず絶対値を含む商の符号を左右で分ける型があります。絶対値の中身が正か負かは、接近先の点に代入するのではなく、点より大きいか小さいかで判断します。分母が0になる点を含めずに、近くの値を調べることが必要です。

次に、境目で式が切り替わる関数の型があります。境目を含む等号の位置は、その点の値を決めます。一方、左側からの極限には左側で成立する式、右側からの極限には右側で成立する式を用います。境目を含むかどうかを確認したうえで、点の値と2つの極限を別の欄に書くと混同を避けられます。

さらに、定義域の端では、そもそも両側に関数の値があるとは限りません。存在しない側を0とすることはできず、定義域内から近づける側を明記します。片側の値が求まることと、通常の両側からの極限が存在することは区別します。

近づく点を含めずに値を追う

xがaより小さい範囲でaに近づくとき、f(x)が一定の実数Lに限りなく近づくなら、左極限をLといいます。右極限も同様に、xがaより大きい範囲で近づくときの値です。記号ではそれぞれlim[x→a-] f(x)、lim[x→a+] f(x)と書きます。符号はxの値が負や正であるという意味ではなく、aに対する位置を表します。

図1のように、左右の矢印は別々の側から接近します。中央の点の値は、この2つの矢印が表す途中の値とは別に調べます。

図1では左の値と右の値が同じ高さLに近づき、点の値は別の高さにあります。両側に定義域があり、左右の極限がともに存在して一致するとき、両側からの極限はその共通値です。どちらかが存在しない場合や値が異なる場合、有限の両側極限は存在しません。点の値を変えても、点を除く周囲の式を変えなければ左右の極限は変わりません。

ただし「定義域にない側の極限」を勝手に補ってはいけません。例えば定義域がx≧aなら、aより小さい側からの値は与えられていません。右極限は調べられても、通常の両側極限を左右の一致として判定する条件は満たされません。

基本例題：絶対値の符号をほどく

関数f(x) = |x-3|/(x-3)について、x→3-、x→3+の極限をそれぞれ整数で求め、x→3の有限の極限の有無を答えてください。分母が0となるx = 3では、この関数は定義されません。

左側ではx < 3なのでx-3 < 0です。絶対値の定義により、次のように変形します。

|x-3| = -(x-3)
f(x) = -(x-3)/(x-3)
     = -1  （x < 3）
lim[x→3-] f(x) = -1

約分できるのはx < 3ならx-3が0でないからです。x = 3の式に代入して0/0を計算したわけではありません。左側のどの近い点でも値が-1なので、左極限は-1です。

右側ではx > 3で、x-3は正です。同じように分母が0でないことを使います。

|x-3| = x-3
f(x) = (x-3)/(x-3)
     = 1  （x > 3）
lim[x→3+] f(x) = 1

図2のように、左右で水平な部分の高さが異なります。x = 3にはどちらの点も含まれず、白丸で表しています。

図2の左は-1、右は1に近づきます。左右の極限が一致しないため、x→3の有限の極限は存在しません。3より小さい側では、正の絶対値|x-3|を負のx-3で割るため-1です。3より大きい側では分子と分母が等しくなり、商は1です。両側で別々の値が続くので、点を近くしても差は消えません。

ここで、未定義だから必ず極限が存在しないと覚えるのは危険です。この例で存在しない理由は、点での未定義ではなく左右の値の不一致です。両側が同じ値に近づく別の式なら、点が未定義でも有限の極限を持ちます。

標準例題：境目の式と等号を仕分ける

実数aに対し、g(x)をx < 2では2x + a、x≧2では-x + 7と定めます。x→2の有限の極限が存在するようなaを整数で求め、その極限とg(2)も整数で答えてください。

左側ではx < 2なので、左の一次式を使います。一次式の値はxを2に近づけると、その式に2を代入した値に近づきます。

lim[x→2-] g(x) = 2・2 + a
                  = 4 + a

右側ではx > 2です。等号を含む右の式は、その点より右でも使えます。

lim[x→2+] g(x) = -2 + 7
                  = 5

有限の両側極限が存在するには左右が一致する必要があります。逆に一致すれば両側極限が存在するので、次の条件は必要十分です。

4 + a = 5
a = 1

求めたa = 1を元の定義に戻すと、左からの式2x + 1は5に近づき、右からの式-x + 7も5に近づきます。したがって極限は5です。またx = 2は右側の条件x≧2に含まれるため、g(2) = -2 + 7 = 5です。点の値が5であることと左右の極限が5であることは、別々に確認しました。

例えばa = 0なら左極限は4、右極限は5です。右の式からg(2) = 5と求められても、それだけでは両側極限は決まりません。式の切り替えを見落として右の式を左側にも使うと、不一致を見逃します。

発展例題：点の値を変えても接近先は変わるか

実数p、qに対し、h(x)をx < 1ではpx + 2、x = 1ではq、x > 1では3x − 1と定めます。x→1の有限の極限が4となり、かつh(1) = -3となるようなp、qが存在するか答えてください。存在するなら整数で求め、存在しないなら理由を示してください。

まず右側の式はp、qに依存しません。右側からの極限は次の値です。

lim[x→1+] h(x) = 3・1 - 1
                  = 2

求める両側極限が4なら、右極限も4でなければなりません。しかし実際には2です。したがって、どのp、qを選んでも条件を満たす組は存在しません。q = -3と点の値を変えることはできますが、x > 1における式を変えないので右極限は2のままです。

条件が両側極限2とh(1) = -3ならどうでしょうか。この変更後の条件では左極限との一致を調べます。

lim[x→1-] h(x) = p + 2
p + 2 = 2
p = 0
q = -3

元の定義へ戻すと、左側の式は2、右側の式は3x − 1で、どちらも1に近づくと2に近づきます。点では指定どおりh(1) = -3です。点の値が極限と異なっても、左右の極限を求める手順には影響しません。元の問題で解がないことは、求める値4と右極限2の食い違いから判断でき、左側の係数を調整しても直せません。

誤答を点の値からほどく

先ほどのh(x)でp = 0、q = -3としたとき、「h(1) = -3だからlim[x→1] h(x) = -3」と書いたとします。この答えは、点の値を近くの値の代表として扱ったことによる誤りです。xが1に近づく途中ではx = 1を除き、左なら2、右なら3x − 1を使います。

図3のように、左右の線が近づく高さと、塗られた点の高さを別に読みます。白丸はその高さがx = 1の関数値として採用されていないことを表します。

図3では左からも右からも2に近づき、点の値は-3です。修正するには、まず左極限と右極限をそれぞれ計算し、一致した2を両側極限とします。その後にh(1) = -3を別に記します。白丸の位置を点の値と読み違えても、黒く塗られた点だけから極限を決めてもいけません。

別の失敗は、左右の極限のうち片方だけを求めて終えることです。標準例題でa = 0とすれば左は4、右は5ですから、右の5だけを見て極限が5とは言えません。さらに定義域の端では、存在しない側の値を空欄のままにし、その理由を記します。計算ができなかったのか、その側から近づけないのかを区別できます。

手を動かす5問

各問は有限の極限について考え、値は整数または分数で正確に答えてください。存在しない場合はその理由も記してください。

1. f(x) = |x+4|/(x+4)について、x→-4の左右の極限と両側極限の有無を求めてください。
2. g(x)をx < -1で3x + b、x≧-1で2x + 6とします。x→-1の極限が存在するbと、その極限、g(-1)を求めてください。
3. h(x)をx≠5で2x − 3、x = 5で12とします。x→5の左右の極限、両側極限、h(5)を求めてください。
4. 定義域をx≧6とするf(x) = √(x-6) + 2について、x→6+の極限と、左側からの極限を通常の意味で調べられるか答えてください。
5. k(x)をx < 0でcx + 8、x = 0でd、x > 0で2x + 9とします。x→0の有限の両側極限が存在するようなc、dの組があるか答えてください。

答えと戻して確かめる手順

1. x < -4ではx+4 < 0、x > -4ではx+4 > 0です。したがって、分母が0でない両側で次のようになります。

x < -4： |x+4|/(x+4) = -1
x > -4： |x+4|/(x+4) = 1

左極限は-1、右極限は1で、両側極限は存在しません。元の商で左右の符号を見直すと、それぞれ負と正です。x = -4で未定義ということだけを理由にしないでください。

2. 左右で適用する式を分けます。

左極限 = 3・(-1) + b = b - 3
右極限 = 2・(-1) + 6 = 4
b - 3 = 4
b = 7

答えはb = 7、極限4、g(-1) = 4です。元の条件へ戻すと、左の3x + 7も右の2x + 6も境目で4へ近づき、等号を含む右の式から点の値も4です。bを決める前に点の値だけで左側を代用しないようにします。

3. x = 5を除く両側では同じ式2x − 3を使います。

左極限 = 2・5 - 3 = 7
右極限 = 2・5 - 3 = 7
両側極限 = 7
h(5) = 12

答えを定義に戻すと、5以外の値は2x − 3に従い、5での値だけが12です。12を式2x − 3へ代入することも、7を点の値とすることもできません。

4. x > 6ではx-6 > 0です。x→6+でx-6→0となるので、平方根も0に近づきます。

lim[x→6+] √(x-6) = 0
lim[x→6+] f(x) = 0 + 2
                  = 2

左側には定義域の点がないため、左側からの極限は通常の意味では調べられません。元の定義域に戻すとx = 6は含まれf(6) = 2ですが、点の値を使って左側の値を作ることはできません。

5. 左右からの式をそれぞれ0へ近づけます。

左極限 = c・0 + 8 = 8
右極限 = 2・0 + 9 = 9

8と9は一致しないため、そのような組はありません。cの値は左極限の定数項8を変えず、dはx = 0の値だけを変えます。元の定義の各範囲に戻しても、この不一致は残ります。

手元に残す要点

左極限は接近先より小さい側、右極限は大きい側の値で調べます。
両側の有限極限は、左右の有限極限が存在して一致するときに存在します。
接近先そのものの値は、極限とは別に定義から読みます。
定義域の端では、近づけない側を作らずに記します。

途中式のどこを見るか

個別指導では、まず数直線に接近先を書き、左と右のどちらで各式が使えるかを本人に示してもらいます。絶対値の商なら、中身の符号を判定する行と、分母が0でないという条件を見ると、符号の取り違えと不正な約分を区別できます。

区分的な式なら、等号が属する側を丸で囲み、左極限・右極限・点の値を3行に分けて書いてもらいます。値が一致しないときは、どの条件が両側極限の存在を妨げるかを言葉で説明します。端点で片側が使えない場合も、その側に定義域の点がないことを図に戻して確かめます。左右それぞれの近づき方を押さえると、点の値に引きずられず判定できます。