高校数学III 分数型数列の極限—最高次数で割る理由と分母の条件を確かめる｜武蔵野個別指導塾

分子と分母を同じ累乗で割り、分母の定義条件と文字係数が消える場合を調べることで、分数型数列の極限を判定します。

よくあるのは、理系の高3が演習ノートで、分子だけを最高次項に置き換え、分母には元の式を残して計算を進める場面です。大きな項に注目する方針はよいのですが、分子と分母を違う倍率で変えると、もとの数列とは別の数列になります。何を両方に施したかを一行に書くと、極限値の根拠が見えてきます。

ここではnを正の整数とし、nが限りなく大きくなるときの多項式の商を扱います。数列の極限は数学IIIの学習範囲に含まれます。有限の値に近づく場合と、正または負の無限大に向かう場合を区別し、分母がゼロとなる番号にも注意します。

要点（結論から）

• 分子と分母を同じゼロでないnの累乗で割ります。
• 商の極限の法則には、分母の極限がゼロでない条件が必要です。
• 文字係数が消える値では元の式の次数を調べ直します。

どの形に直せばよいか

出方の1つは、分子と分母の次数が等しい商です。両方を共通の最高次のnの累乗で割ると、定数項以外は0へ近づきます。分母に残る定数がゼロでなければ、残った係数の比が極限値です。数字を拾う前に、両方を同じ数で割る操作を明記します。

2つ目は、分子の次数が分母より大きい商です。分母の最高次で両方を割れば、分子に正の累乗が残ります。その符号と、分母がどの符号の定数へ近づくかを調べると、正負の無限大を区別できます。分母の次数が大きいときは、分母の最高次で割れば分子が0へ近づきます。

3つ目は、最高次の係数に文字がある場合です。文字が特定の値になると、その項が消えて次数が下がります。一般の場合の係数比にその値を代入する前に、元の式に戻って残った項を調べます。分母側の最高次項が消える場合も同じです。

割る前に確かめたい条件

多項式の次数は、係数がゼロでない項のうち、nの指数が最大のものです。定数もゼロでなければ次数0です。たとえば7n²-4n+1の次数は2ですが、7が文字に置き換わり、その文字が0になると次数は変わり得ます。ゼロの多項式には、この方法で次数を割り当てて比較しません。

図1のように、同じn²で上下を割ると、n²の項は係数になり、nの項と定数項はそれぞれ1/nと1/n²を含みます。nは正なので割る数n²はゼロではありません。nが大きくなると1/nと1/n²は0へ近づきます。

図1では、変形前後の各項が対応しています。分数全体の値は各nで変わらず、変形後は有限値へ近づく部分を見分けやすくなります。分母の変形後の極限がゼロでないとき、商の極限の法則を使えます。分母もゼロへ向かう場合に係数の比を使うことはできず、さらに変形するか次数を調べ直します。

分母がある正の整数でゼロになる場合、その番号で元の式は定義されません。問題が全ての正の整数について数列を定めると求めているなら、その式はそのままでは条件を満たしません。一方、ある番号より後で分母がゼロにならず、そこで定義された項の極限を問う場合は、有限個の初めの項は極限に影響しません。問題の定義域を勝手に補わず、どちらを問われているか確認します。

基本例題：同じ次数の係数を取り出す

正の整数nに対し、aₙ = (5n+2)/(3n+7)とします。lim[n→∞] aₙを分数で求めてください。

分母はnが正なら3n+7 > 0です。各項が定義されることを確認してから、分子と分母を同じnで割ります。

aₙ = (5n+2)/(3n+7)
   = ((5n+2)/n)/((3n+7)/n)
   = (5+2/n)/(3+7/n)

1/nは0へ近づくため、分子は5へ、分母は3へ近づきます。分母の極限3はゼロでないので、商の極限の法則を適用できます。

lim[n→∞] aₙ = 5/3

係数の比という答えを確かめるには、実際の値と差を見ます。通分して整理すると次のとおりです。

aₙ - 5/3 = (3(5n+2)-5(3n+7))/(3(3n+7))
           = -29/(9n+21)

差は負で、絶対値は0へ近づきます。したがって各項は5/3より小さく、下から近づきます。図2のように、n = 1, 2, 4の値はそれぞれ7/10、12/13、22/19です。図の点は離散的な項であり、その間を結んだ曲線は数列の項を表しません。

図2の水平線は極限値を表し、項がその値に等しいことを意味しません。実際に元の式へ5/3を代入した等式を考えると、両辺の差が上の負の分数になるので、どの正の整数nでも一致しません。極限値と各項の値を区別すると、図の読み違いを防げます。

標準例題：次数差と符号を一緒に追う

正の整数nに対し、bₙ = (2n²-1)/(n+4)とします。n→∞での振る舞いを、有限値への収束、正の無限大、負の無限大のいずれかで答えてください。

n+4 > 0なので全ての項が定義されます。分母の最高次nで上下を割ると、分子にnが残ります。

bₙ = ((2n²-1)/n)/((n+4)/n)
   = (2n-1/n)/(1+4/n)

分母は正の数1へ近づきます。分子は2nが大きくなり、1/nは0へ近づくので正の無限大に向かいます。商が正の無限大に向かうことを、元の式の割り算でも確かめます。

2n²-1 = (n+4)(2n-8)+31
bₙ = 2n-8+31/(n+4)

最後の項は正で0へ近づき、2n-8は限りなく大きくなります。よって答えは正の無限大です。例えば任意の正の数Mに対し、2n-8 > Mとなるほどnを大きくすればbₙ > Mです。これは有限の極限値に収束するという意味ではありません。

分子の次数が1つ高いという情報は、増え方を見通す助けになります。ただし「次数が高いから無限大」と符号を省くと、分子の最高次係数が負の場合を扱えません。さらに文字係数がゼロなら次数そのものが変わるため、その値を別に調べる必要があります。

発展例題：係数が消える境界を分ける

実数tについて、正の整数nに対しcₙ = ((t-2)n²+3n+1)/((t+1)n²+2n+1)とします。全ての正の整数nで分母がゼロでなく、かつcₙが有限値に収束するようなtの範囲と、そのときの極限値を求めてください。

まず分母の最高次係数がゼロでないt ≠ -1を考えます。n²で上下を割ります。

cₙ = ((t-2)+3/n+1/n²)/((t+1)+2/n+1/n²)
lim[n→∞] cₙ = (t-2)/(t+1)

この計算は分母の極限t+1がゼロでないときに有効です。t = 2では分子の最高次項が消えますが、上の式の分母はゼロでないため、極限は0です。分子の項が消えること自体は商の法則の障害ではありません。

次にt = -1を元の式へ戻します。

cₙ = (-3n²+3n+1)/(2n+1)
   = (-3n+3+1/n)/(2+1/n)

分母は正の2へ、分子は負の無限大へ向かうため、有限値には収束しません。この場合も分母2n+1は正で、項の定義には問題がありません。最高次項が消えた後に残る次数を調べて初めて、この結論が出ます。

さらに、t ≠ -1という条件だけでは、初めの項も含めて分母がゼロでないとは限りません。各正の整数nについて分母をゼロとおくと、除外すべきtが得られます。

(t+1)n²+2n+1 = 0
t+1 = -(2n+1)/n²
t = -1-2/n-1/n²

したがって、答えはt ≠ -1であり、さらに各正の整数nについてt ≠ -1-2/n-1/n²を満たす範囲です。そのときの極限は(t-2)/(t+1)です。例えばn = 1では除外値は-4で、元の分母はt+4となり確かにゼロです。除外値は無限に並びますが、いずれも-1より小さく、-1には一致しません。

問題が十分大きいnで定義される項の極限だけを問うなら、この除外の扱いは変わります。固定したt ≠ -1では分母をn²で割った値がゼロでないt+1へ近づくため、十分大きいnで分母はゼロになりません。今回は全ての正の整数という条件があるため、途中の1項が未定義となる値も除きます。

誤答を直す：片方だけを変えていないか

基本例題で「分子の最高次項は5nだから、aₙ = 5n/(3n+7)」と書くのは誤りです。図3のように、分子の2を消すだけでは元の分数の値が変わります。n = 1では元の値が7/10、書き換えた値は1/2です。両者が異なるので等号で結べません。

図3の右側では、分子と分母をそれぞれnで割っています。この操作はn > 0で正当です。元の式との差を評価して別の数列と同じ極限だと示す方法もありますが、勝手に等しいと書くこととは別です。実際に省いた分の差は2/(3n+7)で、これは0へ近づきます。この評価があるから、今回に限って2つの数列の極限が同じだと結論できます。

もう1つの誤りは、発展例題の式でt = -1にも係数比を適用して、ゼロで割ることです。分母の極限がゼロの場合、商の極限の法則は使えません。分母がゼロになる番号がないか、極限を取った後の分母がゼロでないかは別々の確認です。前者は元の項の定義、後者は極限の計算法に関わります。

練習：式と条件を自分で分ける

いずれもnは正の整数です。正負の無限大は有限値への収束と区別して答えてください。

1. (7n+4)/(2n+5)の極限を分数で求めてください。
2. (3n+1)/(2n²+5)の極限を求めてください。
3. (-4n²+2)/(3n+1)の振る舞いを分類してください。
4. ((s-3)n²+2n+1)/(4n²+n+2)の極限をsの式で求め、極限が0になる実数sを求めてください。
5. (n+2)/(n-q)が全ての正の整数nで定義され、有限値に収束するための実数qの条件と極限値を求めてください。

練習の答えと道筋

1. 分母2n+5は正です。nで上下を割ります。

(7n+4)/(2n+5) = (7+4/n)/(2+5/n)
lim[n→∞] (7n+4)/(2n+5) = 7/2

分母の極限2はゼロではありません。元の式との差は-27/(2(2n+5))なので、7/2に下から近づくことも確かめられます。

2. 分母2n²+5は正です。分母の最高次で上下を割ります。

(3n+1)/(2n²+5) = (3/n+1/n²)/(2+5/n²)
lim[n→∞] (3n+1)/(2n²+5) = 0

分子は0へ、分母は2へ向かいます。元の分数は正なので、0より上から近づきます。

3. 分母3n+1は正です。nで割って符号を追います。

(-4n²+2)/(3n+1) = (-4n+2/n)/(3+1/n)

分子は負の無限大へ、分母は正の3へ向かうため、答えは負の無限大です。元の分子もn ≥ 1で負なので、符号は結論と一致します。

4. 分母4n²+n+2は正です。n²で割ります。

((s-3)n²+2n+1)/(4n²+n+2)
= ((s-3)+2/n+1/n²)/(4+1/n+2/n²)

分母の極限は4ですから、極限は(s-3)/4です。これが0になるのはs = 3です。この値を元の分子に戻すと2n+1となり、分母より次数が低くなるため、確かに極限は0です。

5. n-q = 0となるのはq = nのときです。したがってqは正の整数以外でなければなりません。その条件でnによって割ります。

(n+2)/(n-q) = (1+2/n)/(1-q/n)
lim[n→∞] (n+2)/(n-q) = 1

固定したqについて分母の極限は1です。例えばq = 1なら元の式はn = 1で未定義なので、形式的に極限が1と計算できても問題の条件を満たしません。q = 0なら分母は常に正で、元の式は1+2/nとなり、答えに一致します。

要点を手元に残す

• 分子と分母を同じゼロでないnの累乗で割ります。
• 商の極限の法則には、分母の極限がゼロでない条件が必要です。
• 文字係数が消える値では元の式の次数を調べ直します。
• 分母がゼロとなる番号と、分母の極限がゼロとなる場合を区別します。
• 無限大に向かうときは符号も示します。

途中式からつまずきを見つける

最初の等号の前後で、分子と分母の各項が同じ倍率で変わっているかを見ます。係数比を書けても、その前に分母の極限がゼロでない理由を言えなければ、文字が入った問題で判断が止まります。具体的なnを1つ代入して等号の両辺を比べると、片方だけを変えた誤りが見つかります。

個別指導では、文字を含む分母について「どのnで未定義になるか」と「大きなnで何に近づくか」を別々に問い、答案の条件と照合します。係数が消えた後の式を本人に書き直してもらえば、公式を覚えた段階から条件を使って選ぶ段階へ進めます。分数型数列の極限は、等式を保つ操作と条件の確認で見通せます。