高校数学B 漸化式—定期テストで初期条件と式の形から一般項への道を選ぶ｜武蔵野個別指導塾

差・比の見分け方と移動後の初項から、一般項への道を読み解く漸化式です。

よくあるのは、定期テスト前の高校生が漸化式の定数を移した後も、新しい数列の初項を元のまま使う場面です。式の形が等比数列に見えたところで安心すると、最初の値の変更が抜けやすくなります。何を新しい項と呼んだかを書き、最初の値も同じ定義で計算しましょう。ここでは隣り合う2項を結ぶ式を扱い、3項を結ぶ式には立ち入りません。

式のどこを見て道を選ぶか

漸化式は、数列の項と次の項の関係を表す式です。初項などの初期条件と組み合わせると、順に項を決められます。定期テストでは、まず式から数項を計算する型、一般項を求める型、条件を満たす項の番号を調べる型が考えられます。いずれも、初めの項と式がどこから成り立つかを見落とさないことが出発点です。

一般項を求めるときは、次の項から現在の項を引いた差が一定か、次の項が現在の項の一定倍かを見ます。差が一定なら等差数列、一定倍なら等比数列の形です。aₙ₊₁ = paₙ + q のように定数が加わるときは、一定の値を引いてから比の形にできないか考えます。ただし p = 1 のときは、差が q の形として直接扱えます。

初期条件がなければ、同じ関係式に従う数列が複数ありえます。たとえば差が2という関係だけでは、最初が1の数列と最初が5の数列を区別できません。一般項を出したら、初期条件と次の項を作る式の両方に戻して照合します。数項が合うことは計算ミスを探す手掛かりですが、それだけで一般の式の根拠にはなりません。

差、比、定数の移動

図1のように、式の形に応じて差を見るか、一定倍を見るかを選びます。矢印は判断の順序を示し、どの形でも初項の確認に戻ります。

差が d の場合、aₙ₊₁ − aₙ = d です。初項から第n項までの移動は n − 1 回なので、aₙ = a₁ + (n − 1)d となります。n 回ではない理由は、初項そのものにはまだ移動がないためです。最初の項を代入すると、余分な差が入っていないか判定できます。

一定倍 r の場合は aₙ₊₁ = raₙ と表し、aₙ = a₁r⁽ⁿ⁻¹⁾ です。r が0でも、この漸化式から第2項以降が0と直接読めます。0で割って比を求める操作はできないので、項を割るのでなく「一定倍」という関係で判定する方が安全です。公比が負なら符号が交互に変わります。

一方、aₙ₊₁ = paₙ + q で p ≠ 1 の場合、ある定数 c について c = pc + q を満たすように選びます。すると、両辺から c を引いて aₙ₊₁ − c = p(aₙ − c) です。左と右で同じ c を引いた項が並びます。bₙ = aₙ − c と置けば、bₙ₊₁ = pbₙ という等比数列です。

この c は、元の関係に入れても値が変わらない数です。c = pc + q から (1 − p)c = q と解きます。p = 1 ならこの割り算はできません。q が0でなければ不変の値も存在せず、差の式へ進みます。p = 1 かつ q = 0 なら元から一定の数列で、初項がそのまま各項です。

基本例題：移した後の初項を作る

数列 {aₙ} が a₁ = 5、aₙ₊₁ = 2aₙ + 3（n ≧ 1）を満たします。一般項を整数の係数と2の累乗を用いて表してください。

まず c = 2c + 3 を解きます。両辺から2cを引くと -c = 3、したがって c = -3 です。この値を使って bₙ = aₙ − (-3) = aₙ + 3 と置きます。図2は、この置き換えで初項と次の項がどう対応するかを示します。

元の式の両辺に3を加えると、

aₙ₊₁ + 3 = 2aₙ + 6

右辺をくくれば、

aₙ₊₁ + 3 = 2(aₙ + 3)

です。定義した記号に直すと bₙ₊₁ = 2bₙ です。bₙ は公比2の等比数列ですが、初項は元の5ではありません。定義に a₁ = 5 を代入して b₁ = 5 + 3 = 8 と求めます。初項から第n項まで2をかける回数は n − 1 回なので、

bₙ = 8・2⁽ⁿ⁻¹⁾

となります。最後に bₙ = aₙ + 3 に戻し、

aₙ = 8・2⁽ⁿ⁻¹⁾ − 3

を得ます。式の右端の -3 は、移動した数列から元の数列へ戻す操作です。初項の8と混同しないよう、戻す前の式を残しておきます。

確かめると、n = 1 で a₁ = 8 − 3 = 5 となり、初期条件に合います。また、求めた式から aₙ₊₁ = 8・2ⁿ − 3 です。一方、元の関係の右辺に代入すると 2aₙ + 3 = 2(8・2⁽ⁿ⁻¹⁾ − 3) + 3 = 8・2ⁿ − 3 となり、左辺と一致します。元の条件へ戻したこの照合は、初項と関係の両方を確認しています。

実際に順に計算すると a₂ = 2・5 + 3 = 13、a₃ = 2・13 + 3 = 29 です。一般項に n = 2、3 を入れても13、29となります。これらの数値は計算の点検には役立ちますが、すべての番号で式が成り立つ理由は、置き換えによって等比数列の関係が得られたことにあります。

係数が変わるときの分かれ目

数列 {xₙ} が x₁ = 4、xₙ₊₁ = -2xₙ + 9（n ≧ 1）を満たします。一般項を整数の係数と -2 の整数乗を用いて表してください。また、第何項で初めて値が10より大きくなるか、番号を整数で答えてください。

不変の値 c は c = -2c + 9 より 3c = 9、c = 3 です。yₙ = xₙ − 3 と置くと、

xₙ₊₁ − 3 = -2xₙ + 6 = -2(xₙ − 3)

です。したがって yₙ₊₁ = -2yₙ、初項は y₁ = 4 − 3 = 1 です。等比数列の式を使い yₙ = (-2)⁽ⁿ⁻¹⁾、元に戻して xₙ = 3 + (-2)⁽ⁿ⁻¹⁾ となります。

検算では n = 1 で4に戻り、3 + (-2)ⁿ と -2{3 + (-2)⁽ⁿ⁻¹⁾} + 9 が一致します。最初の項から順に4、1、7、-5、19です。4項目までは10以下で、5項目は10を超えるため、初めてとなる番号は5です。負の倍数では大小が交互に変わるため、単調に増えると決めて不等式を処理しないことが分かれ目です。

もし係数が1なら c = pc + q を c について割る手順は使えません。たとえば xₙ₊₁ = xₙ + 9 は差が9と直接読めます。係数が0なら次の項は定数になり、初項がその定数と違っていても第2項以降は同じです。どちらも移動の公式を機械的に使う前に、元の式の形を見ます。

誤答から初期条件へ戻る

基本例題で bₙ = aₙ + 3 と正しく置いたのに、b₁ = 5 として bₙ = 5・2⁽ⁿ⁻¹⁾、aₙ = 5・2⁽ⁿ⁻¹⁾ − 3 と答える誤りを考えます。図3のように、元の初項5をそのまま移した数列の初項に使ったことが原因です。

この誤答に n = 1 を入れると a₁ = 2 となり、指定された5に戻りません。関係式を満たす形であっても、別の初項から始まる数列を表しています。したがって、関係式への代入だけではこの誤りを取り逃がします。

修正は b₁ = a₁ + 3 = 8 と定義へ戻ることです。次に bₙ = 8・2⁽ⁿ⁻¹⁾ とし、最後に3を引きます。逆に初項は合っても、元に戻す際の符号を間違えれば関係式への代入で不一致が出ることがあります。初項の検査と関係式の検査は、それぞれ異なる失敗を見つけるためのものです。

差の型でも似たずれが起きます。初項に差を n 回足すと、第1項ですでに1回足してしまいます。n − 1 回に直し、n = 1 と n = 2 を順に試せば、移動回数と項番号のずれを確かめられます。

手を動かす問題

次の数列は、いずれも n ≧ 1 で示された関係を満たします。一般項は指定された形で表してください。問題をひと通り考えてから、後の解答で初期条件と関係式を照合します。

1. u₁ = -2、uₙ₊₁ = uₙ + 5 です。一般項を n の整数係数の式で表してください。
2. v₁ = 6、vₙ₊₁ = -3vₙ です。一般項を整数の係数と -3 の整数乗を用いて表してください。
3. w₁ = 1、wₙ₊₁ = 3wₙ − 4 です。一般項を整数の係数と3の累乗を用いて表してください。
4. z₁ = 7、zₙ₊₁ = zₙ − 2 です。初めて負になる項の番号を整数で答えてください。

解答と照合

1. 差は5なので uₙ = -2 + 5(n − 1) = 5n − 7 です。n = 1 で -2 に戻り、uₙ₊₁ − uₙ = {5(n + 1) − 7} − (5n − 7) = 5 です。初期条件と毎回5増えるという条件の両方を満たします。実際、最初の2項は -2、3 です。

2. 公比は -3 なので vₙ = 6・(-3)⁽ⁿ⁻¹⁾ です。n = 1 では6、次の式は vₙ₊₁ = 6・(-3)ⁿ = -3vₙ となります。元の条件から計算した第2項は -18 で、一般項からも同じ値です。負の公比を括弧で囲むと符号を読み違えにくくなります。

3. c = 3c − 4 より c = 2 です。tₙ = wₙ − 2 と置くと tₙ₊₁ = 3tₙ、t₁ = -1 となります。よって tₙ = -3⁽ⁿ⁻¹⁾、wₙ = 2 − 3⁽ⁿ⁻¹⁾ です。n = 1 で1に戻ります。また 3wₙ − 4 = 3(2 − 3⁽ⁿ⁻¹⁾) − 4 = 2 − 3ⁿ = wₙ₊₁ です。元の式から第2項は -1 で、求めた式とも一致します。

4. 各項は7、5、3、1、-1と進むので、初めて負になるのは第5項です。差が -2 なので一般項は zₙ = 7 − 2(n − 1) = 9 − 2n とも書けます。z₄ = 1、z₅ = -1 であり、それ以前は2ずつ減っているため負ではありません。第1項7と各回の差 -2 にも戻して確かめられます。

解答を点検する順番

一般項を得た後は、最初に n = 1 を入れます。ここで合わなければ、移動後の初項、指数が n − 1 かどうか、元に戻す符号を調べます。複雑な変形に戻る前に、値が初期条件へ戻るかを見れば、どの種類のずれかを狭められます。

次に、求めた一般項の n を n + 1 に置き換えて左辺を作り、元の漸化式の右辺にも一般項を代入します。指数の部分は (n + 1) − 1 = n と変わります。この2つが一致すれば、答えの式が隣接する項の関係に合うことを確かめられます。初項の一致と合わせれば、元の条件から順に定まる各項と一致します。

途中で定数 c の符号に迷った場合は、c を元の右辺に入れて値が変わらないか調べます。不変の値を見つけたつもりでも pc + q が c に戻らなければ、移項か符号の計算をやり直します。新しい数列を作る前に確認できるため、その後の計算をまとめて直す手間を減らせます。

また、変形後の関係が bₙ₊₁ = pbₙ になっているか、左右に同じ定義が現れているかを見ます。一方にだけ定数を足した式は、そのまま等比数列の関係とは読めません。括弧を展開して元の漸化式に戻るかを確かめ、式が一致してから一般項へ進みます。

問題の条件が第1項でなく別の項を指定する場合も、変形した数列の同じ番号の値をまず計算します。その番号から目的の番号までに何回掛け算があるかを数えれば、指数を決められます。番号の差と操作の回数を対応させることは、初項を使う場合と同じです。

項の番号を探す問題では、一般項を出した時点で終わらず、「初めて」という条件にも戻ります。候補の項が条件を満たすだけでは、それより前に条件を満たす項がないとは限りません。差が一定で減る場合は減り方を使い、負の倍数の場合は符号や大小の変化を見て、それ以前の項を確かめます。

一般項を求める際には、指数を展開しすぎず、整数乗の形で残すと関係式に代入しやすくなります。答えの形が指定されているときは、それに合わせて最後に整理します。途中の置き換えの文字と元の文字の意味を並べて書くと、どの数列について答えているかも明確です。

手元に残す要点

差が一定なら初項に差を n − 1 回足します。
一定倍なら初項にその倍数を n − 1 回かけます。
定数を移したら新しい初項も同じ定義で計算します。
係数1は差の形として扱います。
答えは元の初期条件と関係式の両方に戻します。

どの行で止まったかを探す

式を見てすぐ公式を選べないときは、まず aₙ₊₁ − aₙ を作った行と、一定倍の形を探した行を分けて見ます。差が定数でないことが、解けないという意味ではありません。定数を移す候補を置き、同じ数を前後の項から引けるか確かめる次の一手につながります。

個別指導で確かめるなら、新しい文字の定義、そこに初項を代入した行、元の文字へ戻した行を順にたどります。途中の式が正しくても最後の符号が違う場合と、初項から違う場合では直す場所が異なります。元の条件に戻す2つの照合を残せば、自分でも誤りの位置を絞れます。初項と移動後の初項を区別することが、漸化式の道筋を支えます。