高校数学B 数学的帰納法—最初の成立と次へ進む論理をつないで証明する｜武蔵野個別指導塾

等式の末尾に加える項と不等式の評価をたどり、仮定をどの行で使うかを見極めます。

よくあるのは、定期テスト前に証明を書き始め、これから示すはずのn=k+1の式を先に仮定してしまう場面です。その式を出発点にすると、結論を根拠として使うことになります。どの式を一時的に認め、どの式をそこから導くのかを分けると、答案の道筋が見えてきます。ここでは自然数に関する等式と簡単な不等式を扱い、数列の極限には進みません。

何を証明する問題か

出方の1つは、1からnまでの和について、指定された式が成り立つことを示す問題です。nを1つ進めた和には、新しい末尾の項が加わります。そこで元の和を仮定で置き換え、最後に目標の形へ整理します。

もう1つは、累乗と一次式の大小のような不等式を示す問題です。仮定した不等式に正の数をかけたり、両辺に同じ数を足したりした後、目標との差が正かどうかを調べます。等式のように両辺をぴたりと一致させる必要はありませんが、不等号の向きと等号が含まれるかには注意します。

どちらも、いくつかの値を代入して合ったことと、指定された範囲の自然数について証明したことは別です。代入は式の誤りを探すのに役立ちますが、どこまでも続く場合を有限個の計算だけで保証することはできません。

最初の1個と、隣への橋

自然数nについて示す文をP(n)と呼びます。数学的帰納法では、まず出発点のP(1)を直接確かめます。次に、任意の自然数kについてP(k)が成り立つと仮定し、その仮定からP(k+1)を導きます。最初が成立し、成立が次へ伝わるので、P(2)、P(3)というように順に成立します。

図1のように、最初の確認と隣への橋は別の役割です。橋だけでは最初に渡れる場所が決まらず、最初の確認だけでは次に進めません。P(k)は仮定、P(k+1)は証明する結論です。kは特定の1個に固定せず、条件を満たす任意の自然数として扱います。

開始が1とは限りません。例えばnが3以上という命題なら、最初にP(3)を確かめ、kが3以上のときP(k)からP(k+1)を導きます。このときP(1)やP(2)の成立は必要ありません。反対にP(4)から確かめても、P(3)が抜けてしまいます。

等式の場合、仮定の式全体を新しい式の一部分に使えるよう、左辺を分けるのがよい手順です。不等式の場合は、仮定から得た評価が目標に届くかを別に確認します。仮定を使った行に印を付ければ、実際には使っていない答案にも気づけます。

基本例題：和の末尾を1項増やす

【問題】すべての自然数nについて、1+3+5+…+(2n-1)=n² が成り立つことを数学的帰納法で証明してください。式は整数のまま表してください。

まずn=1のとき、左辺は1、右辺も1²=1です。したがって最初の式は成り立ちます。次にkを任意の自然数として、n=kの式

1+3+5+…+(2k-1)=k²

が成り立つと仮定します。ここで示したいのはn=k+1の式です。その左辺は、k番目までの和に次の項を加えたものです。次の項は2(k+1)-1=2k+1ですから、次のように書けます。

1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1) = k²+(2k+1) = k²+2k+1 = (k+1)²

1行目から2行目で、k番目までの和を仮定のk²に置き換えました。最後の式は、元の右辺n²にn=k+1を代入した形と一致します。よってP(k)からP(k+1)が従います。最初の成立と合わせ、求める等式はすべての自然数nで成り立ちます。

図2のように、仮定が受け持つ部分と新しく加える項を分けます。n=k+1の左辺を最初から(k+1)²と書くと、示したい等式を先に使ったことになります。和の形から出発して仮定を適用する順序を守ってください。

式の形を条件へ戻す確認として、n=2なら左辺は1+3=4、右辺は2²=4です。これは項の増やし方や答えの形を点検する計算であり、証明の代わりではありません。例えば末尾を2k-1としたままなら、新しい項が増えていないと気づけます。

不等式では届くところまで評価する

【問題】すべての自然数nについて、2のn乗はn+1以上であることを数学的帰納法で証明してください。累乗は2ⁿと表し、整数の式で示してください。

n=1では2¹=2、1+1=2ですから成立します。任意の自然数kについて、2ᵏ≧k+1と仮定します。n=k+1で必要なのは2ᵏ⁺¹≧k+2です。仮定の両辺に正の数2をかけると、不等号の向きは変わらず、

2ᵏ⁺¹=2・2ᵏ≧2(k+1)=2k+2

となります。ここでkは自然数なので、2k+2とk+2の差はkであり、正です。よって2k+2>k+2です。2ᵏ⁺¹≧2k+2>k+2から、特に2ᵏ⁺¹≧k+2が得られます。これで次の成立が示されました。

分かれ目は、仮定を使った直後の2k+2と、目標のk+2が同じでない点です。違うから失敗とせず、前者が後者以上かを調べます。逆に、目標より小さい数までしか下から評価できなければ、その評価だけでは証明できません。別の評価を探すか、仮定の使い方を見直します。

例えばn=2に戻すと、左辺は4、右辺は3で条件を満たします。開始のn=1では等号が成り立つため、命題全体を最初から「大きい」と書き換えることはできません。途中の比較で強い不等号が出ても、出発点を含む結論の記号は問題の条件に合わせます。

仮定を取り違えた答案を直す

基本例題で「n=k+1のとき和は(k+1)²と仮定する。したがってn=k+1でも成り立つ」と書いた場合、結論をそのまま前提にしています。この書き方では、kの場合の成立が次の場合へ伝わる理由がありません。何を示す必要があったのかを式の横に書き直すと、同じ式を仮定と結論の両方に使ったことが見えます。

図3のように、仮定の場所にはkまでの和を置き、目標の場所には次の項を加えた和を置きます。その間で仮定を代入し、平方の展開により目標の右辺へたどり着きます。仮定と目標が異なる行にあることに加え、その間の矢印に根拠があることも確認してください。

別の誤りは、最初の値だけ確かめて終了することです。最初が合っていても、次へ進む関係が証明されなければ一般のnには広がりません。また、仮定から次を示せても、開始点を調べなければどこから成り立つか決まりません。答案の最後には両方を根拠として結論を述べます。

不等式で負の数を両辺にかけるときには向きが逆になります。正負がわからない式をかけてよいと決めつけた答案は、その式の符号をkの範囲から調べて修正します。仮定の式を移項しただけで目標が得られない場合も、途中で何を評価したかを残すと不足が見つかります。

練習：仮定を置く行を自分で書く

次の3問を、いずれも指定された範囲で数学的帰納法を使って証明してください。式は整数または正確な分数で表してください。

1. 自然数nについて、2+4+6+…+2n=n(n+1) を示してください。
2. nが2以上の整数について、3ⁿ>2n+1 を示してください。
3. 自然数nについて、1/(1・2)+1/(2・3)+…+1/(n(n+1))=n/(n+1) を示してください。

解答と道筋

1. n=1では左辺2、右辺1・2=2で成立します。任意の自然数kで、2+4+…+2k=k(k+1)と仮定します。次の偶数は2(k+1)なので、n=k+1の左辺は

   2+4+…+2k+2(k+1) = k(k+1)+2(k+1) = (k+1)(k+2)

   です。これは右辺n(n+1)にn=k+1を入れた形です。したがって次も成立し、帰納法により証明されます。条件に戻してn=2を見ると、左辺2+4=6、右辺2・3=6です。追加した項が4であることも合っています。

2. 開始点はn=2です。3²=9、2・2+1=5なので9>5です。kを2以上の整数とし、3ᵏ>2k+1と仮定します。正の3をかければ、

   3ᵏ⁺¹=3・3ᵏ>3(2k+1)=6k+3

   です。目標は2(k+1)+1=2k+3です。差は(6k+3)-(2k+3)=4kであり、k≧2より正です。したがって3ᵏ⁺¹>6k+3>2k+3となり、次も成立します。開始点と合わせて証明が終わります。n=3では27>7で、元の条件に戻しても成立します。n=1で等号になるため、開始点を1に変えてはいけません。

3. n=1では左辺1/(1・2)=1/2、右辺1/(1+1)=1/2です。任意の自然数kで、k番目までの和がk/(k+1)と仮定します。次の項は1/((k+1)(k+2))ですから、n=k+1の左辺は

   k/(k+1)+1/((k+1)(k+2)) = (k(k+2)+1)/((k+1)(k+2)) = (k+1)²/((k+1)(k+2)) = (k+1)/(k+2)

   となります。kは自然数なので分母は0ではなく、約分できます。最後の式は右辺にn=k+1を入れたものです。よって帰納法で証明されます。n=2では元の左辺が1/2+1/6=2/3で、右辺2/3と正確に一致します。

証明の条件を点検する

帰納法では、命題に含まれる範囲も引き継ぎの条件です。nがある値以上と指定されているとき、kもその範囲に置きます。するとk+1が同じ範囲に入ることがわかり、次の段階を繰り返せます。開始点とkの範囲を異なるものにすると、証明に必要な部分が抜ける場合があります。まず問題文の「どこから」を丸で囲み、その値を初回の計算に使うと整理しやすくなります。

等式の変形で目標から逆向きに計算したくなることもあります。考える段階で目標を展開して必要な形を探すのは役立ちますが、答案では仮定から目標へ進む根拠を示します。逆向きに書く場合は各行が同値であることが必要です。割り算や約分を含むときは、割る数が0でないことも確かめます。見通しを立てるための計算と、成立を伝えるための証明を区別してください。

仮定を使う場所が見つからないときは、k+1の場合をkの場合に戻せる部分と残りに分けます。和なら末尾の1項、積なら末尾の1因子が手がかりです。残りを加える、またはかける操作が元の問題の定義と一致しているかを確認します。項を増やす代わりに末尾の値だけを変えてしまうと、元の和とは別の式になります。

不等式では、仮定によって得た評価が目標に届かないことがあります。そこで無理に不等号を書き足さず、得られた境界と目標の差を計算します。差の符号が正と決まらないときは、その方法では結論が出ません。開始点や仮定の範囲を再確認し、別の変形を試します。途中で行き詰まったこと自体は命題が偽だという証拠ではなく、逆に数値例が合ったことも証明ではありません。

答案を見直す際は、次の3か所を順番にたどります。最初の値で左右を計算したか、任意のkの場合を明記したか、仮定を使った行から次の式が出るかです。いずれかが欠けているときは、その箇所に必要な式を補います。長い説明を増やすより、どの条件がどの変形を支えているかを明示することが、読み手に伝わる証明につながります。

答案の手元メモ

開始する値で直接確かめます。
kの場合を仮定し、k+1の場合を目標にします。
仮定を使う部分と増えた部分を分けます。
不等式は向きと目標との差を調べます。
両段階を結んで指定範囲の結論を書きます。

止まった行から確認する

最初の代入で止まるなら、問題が指定する最小のnと、左右それぞれの値を別々に書いてみます。次の式を作れないなら、k番目の末尾とk+1番目の末尾を並べ、増える項を指でたどります。不等式の途中で止まるなら、仮定から得た式と目標との差を計算します。

個別指導で答案を確かめる際も、正解かどうかだけでなく、どの行で仮定を使ったか、開始点が範囲に合うかを本人の言葉で説明できるかを見ます。結論を先に置いてしまった場合は、その行を目標として残し、前の行からつながる理由を探します。帰納法の証明は、最初の成立と隣へ進む根拠がそろって初めてつながります。