高校数学II 微分係数と導関数—平均変化率から極限を経て多項式を微分する｜武蔵野個別指導塾

平均変化率から接線まで代入する位置をたどります。傾きを位置の式として表すのが導関数です。

よくあるのは、導関数を求めた後、ある点での微分係数も同じ式のまま書いてしまう場面です。式と数はつながっていますが、問いが求めるものは異なります。文字を残して各位置の傾きを表すのか、位置を決めて傾きを1つの数にするのかを、答案の行ごとに確かめましょう。

何を求める問いかを先に読む

定期テストでは、まず2点間の平均変化率を計算し、その一方を近づけて微分係数を求める型があります。差を取る順番を分子と分母でそろえ、近づける前に式を整理することが要点です。もう一方は、関数を微分して導関数を求め、指定された値を代入する型です。答えが式なのか数なのかを問題文で見分けます。

さらに、曲線上の点における接線の方程式を求める型があります。微分して得た傾きに加え、接点の座標が必要です。傾きが合っていても、通る点の縦座標を忘れると別の直線になります。ここでは三次までの多項式について、定義に必要な簡単な極限から接線までを扱います。増減や極値を調べることは扱いません。

2点の傾きから1点の傾きへ

関数 y = f(x) で、x が a から a + h に変わるとします。ただし平均変化率を計算するときは h ≠ 0 です。x の増加量は h、y の増加量は f(a + h) − f(a) ですから、平均変化率は次のようになります。

(f(a + h) − f(a))/h

分子も分母も「後の値 − 前の値」の順です。この値は、曲線上の2点を結ぶ直線の傾きを表します。h が負なら2点の左右は逆になりますが、分子と分母の順序はそのままそろえます。h が正の場合に限った式ではありません。

微分係数 f′(a) は、この平均変化率の h を 0 に限りなく近づけたときの極限です。分母が 0 になるので、最初から h = 0 を代入するのではありません。多項式では分子を展開して h を約分し、h ≠ 0 の範囲で等しい式にしてから極限を考えます。例えば約分後が 2a + h なら、h を 0 に近づけた値は 2a です。

図1のように、固定した a に対して求まる f′(a) は数です。a を動く文字 x に置き換え、各 x での微分係数を表した関数が導関数 f′(x) です。例えば f′(x) = 2x なら、f′(3) = 6 です。2x は位置に応じて値が変わる式、6 は位置 3 での値です。

多項式の微分では、定数の導関数は 0、x の導関数は 1、x² の導関数は 2x、x³ の導関数は 3x² です。各項に定数が掛かっていればその定数を残し、和や差は項ごとに微分します。たとえば 4x³ − 2x + 5 の導関数は 12x² − 2 です。定数項が消えるのは、x を動かしてもその項の値が変わらないためです。

定義から傾きと接線を作る

例題1：f(x) = x² + 2x とします。x が 1 から 1 + h まで変わるときの平均変化率を h の式で表し、x = 1 での微分係数を整数で求めてください。さらに曲線 y = f(x) の x = 1 における接線を、y を x の式で表してください。

まず元の関数に 1 を代入します。

f(1) = 1² + 2・1 = 3

次に 1 + h を一まとまりとして代入し、二乗と一次の項をそれぞれ展開します。

f(1 + h) = (1 + h)² + 2(1 + h)

= 1 + 2h + h² + 2 + 2h

= 3 + 4h + h²

したがって h ≠ 0 のとき、平均変化率は次の通りです。

(f(1 + h) − f(1))/h = (4h + h²)/h

= 4 + h

ここで初めて h を 0 に近づけます。4 + h は 4 に近づくので、微分係数は f′(1) = 4 です。h = 0 のとき元の分数は定義されませんが、求めているのは 0 での分数の値ではなく、その近くでの極限です。

図2のように、接点は (1, 3)、接線の傾きは 4 です。点 (1, 3) を通り傾きが 4 の直線は、座標を (x, y) とすると y − 3 = 4(x − 1) です。整理して、求める接線は y = 4x − 1 です。

確かめると、x = 1 のとき直線の y は 3 で、元の曲線の値と一致します。また曲線と直線の差は x² + 2x − (4x − 1) = (x − 1)² です。接点では差が 0 で、傾きも定義から得た 4 に一致します。点を通ることだけでは接線と決まらないため、傾きも確認します。

同じ微分係数は導関数からも求まります。f′(x) = 2x + 2 に 1 を入れると 4 です。定義による計算は、公式が何を表すかを示す道筋です。公式を使う設問でも、式のどこに位置を入れたかを残しておくと、導関数と微分係数を区別できます。

変化率の符号も読み取る

例題1で h = 1 とすると、x は 1 から 2 に移り、曲線の値は 3 から 8 に変わります。平均変化率は (8 − 3)/(2 − 1) = 5 です。先ほどの 4 + h に 1 を入れた値とも一致します。一方 h = -1 なら x は 1 から 0 に移り、関数の値は 3 から 0 へ変わります。このとき (-3)/(-1) = 3 で、4 + h と一致します。

左側から近づけても右側から近づけても、4 + h は 4 に近づきます。2点間の傾きがいつも 4 という意味ではありません。2点が近づくにつれて傾きが 4 に近づくという意味です。有限の h で求めた平均変化率と、極限で得た微分係数を区別してください。

接線の式は点と傾きが決まると定まります。傾きが正なら x の増加とともに直線の y も増加し、傾きが負なら減少します。傾きが 0 なら水平な直線です。ただし、ある点での傾きの符号から、曲線全体の形まで直ちに決めることはできません。接点における局所的な情報として使います。

接点の位置を条件から探す

例題2：曲線 y = x³ − 3x 上の点で、接線の傾きが 9 となる点をすべて求め、それぞれの接線を y を x の式で表してください。座標と係数は整数で答えてください。

接点の x 座標が未知なので、先に特定の数を代入することはできません。f(x) = x³ − 3x とおき、導関数を求めます。

f′(x) = 3x² − 3

接点の x 座標を t とすると、そこでの傾きは f′(t) = 3t² − 3 です。指定された傾きと等しいので、次の方程式を解きます。

3t² − 3 = 9

3t² = 12

t² = 4

t = 2 または t = -2

両方を元の曲線に戻します。f(2) = 8 − 6 = 2、f(-2) = -8 + 6 = -2 なので、接点は (2, 2)、(-2, -2) です。傾きはどちらも 9 ですが、通る点が異なるため接線は別々です。

点 (2, 2) では y − 2 = 9(x − 2)、よって y = 9x − 16 です。点 (-2, -2) では y + 2 = 9(x + 2)、よって y = 9x + 16 です。2つの t はいずれも元の傾きの条件に戻して 3t² − 3 = 9 を満たし、点の座標も元の曲線に戻して確かめました。

この問題の分かれ目は、傾き 9 を接線の切片や接点の座標だと扱わないことです。まず「その点での導関数の値」と等置します。二乗の方程式には正負の候補があるので、一方だけを選んで終えないようにします。接点の位置と接線の式を別の行で書けば、代入先の取り違えも見つけやすくなります。

式と値を混同した答えを直す

誤答例：f(x) = x³ + x について、「x = 2 での微分係数は 3x² + 1」と答えました。ここまでは微分の計算ができていますが、指定された位置がまだ入っていません。3x² + 1 は x によって値が変わる導関数です。

図3のように、導関数を求めた後で x = 2 を代入します。f′(2) = 3・2² + 1 = 13 が微分係数です。逆に「導関数を求めよ」という問いに 13 と書けば、x = 2 に限った値になり、他の位置の傾きを表せません。

別の誤りとして、平均変化率の分子を f(a) − f(a + h)、分母を h とする場合があります。分子だけが逆順なので、本来の傾きと符号が逆になります。両方を逆順にするなら分母も -h とする必要があります。後から前を引くという順序を上下に書き添えると修正できます。

また、差の分数に最初から h = 0 を入れると 0/0 となり、値を求められません。分子を展開し、h ≠ 0 のもとで約分してから近づけます。約分した式に 0 を代入できることと、元の分数が h = 0 で定義されることは別です。この違いを言葉で説明できるかが、定義を使う問題の確認点です。

練習：式、数、直線を分ける

次の4問は、まず問題を最後まで読んで、求めるものの形を確かめてください。答えは整数または整数係数の式で表します。

1. f(x) = x² − 3x とします。x が 2 から 2 + h まで変わるときの平均変化率を h の式で表し、x = 2 における微分係数を求めてください。
2. g(x) = 2x³ − 5x² + 4x − 7 の導関数と、x = -1 での微分係数を求めてください。
3. 曲線 y = x² − 4x + 1 の x = 3 における接線を、y を x の式で表してください。
4. 曲線 y = x³ − 12x 上で接線の傾きが 0 となる点をすべて求め、それぞれの接線を y を x の式で表してください。

答えと道筋

1. f(2) = 4 − 6 = -2 です。また f(2 + h) = 4 + 4h + h² − 6 − 3h = -2 + h + h² です。h ≠ 0 で平均変化率は (h + h²)/h = 1 + h となり、h を 0 に近づけて微分係数は 1 です。元の2点の縦座標の差が h + h²、横座標の差が h であることに戻して、商の符号も確認します。

2. 項ごとに微分して g′(x) = 6x² − 10x + 4 です。定数 -7 の変化は 0 ですから、導関数に残しません。x = -1 での値は g′(-1) = 6 + 10 + 4 = 20 です。元の関数に対する差の商でも、x = -1 から -1 + h への変化は 20h − 11h² + 2h³ なので、h ≠ 0 で商は 20 − 11h + 2h² となり、極限は 20 です。

3. f(x) = x² − 4x + 1 とおくと f′(x) = 2x − 4 です。x = 3 での傾きは 2、接点の y 座標は 9 − 12 + 1 = -2 です。よって y + 2 = 2(x − 3)、答えは y = 2x − 8 です。x = 3 を戻すと直線の値は -2 で、元の曲線上の接点を通ります。導関数の値も 2 なので傾きの条件に合います。

4. f′(x) = 3x² − 12 です。接点の x 座標を t とすれば 3t² − 12 = 0、t² = 4、t = 2 または -2 です。f(2) = 8 − 24 = -16、f(-2) = -8 + 24 = 16 なので、点は (2, -16)、(-2, 16) です。傾きが 0 の直線は水平ですから、接線はそれぞれ y = -16、y = 16 です。どちらの t でも元の導関数は 0 であり、各点の縦座標は元の曲線に一致します。

自分の答案をたどり直す

練習1では、平均変化率を求める段階では h を残し、最後に極限を取っています。もし答えを最初から 1 とした場合は、微分係数は合っていても、平均変化率の問いには答えられていません。2つの要求に別々の答えがあることを見直してください。

練習2では x = -1 の代入時に、(-1)² = 1 と -10・(-1) = 10 の2か所の符号を確認します。練習3では傾き 2 だけで直線を決めず、接点の縦座標 -2 も使います。練習4では傾きが同じでも高さの異なる水平線が2本現れました。求める対象の違いに応じて、残す文字や必要な座標が変わります。

定義から導関数を求めるとき、位置を表す文字と変化量を表す文字には異なる役割があります。例えば位置を a、変化量を h としたなら、h を 0 に近づける間も a は固定します。a まで 0 にしてしまうと、特定の点の情報しか得られません。最後に a を x と書き換えれば、各位置で使える式になります。

手元に残す要点

平均変化率は縦の変化量を横の変化量で割ります。 微分係数は差の商の極限で、指定した点での数です。 導関数は各位置の微分係数を表す関数です。 接線は接点と、そこでの微分係数から作ります。

どの行で止まったかを見つける

平均変化率の分子を書けない場合は、2つの x の値を別々に元の関数へ入れるところから戻ります。分子は書けるのに極限で止まる場合は、h ≠ 0 として展開・約分する行を声に出して説明してみてください。公式から接線へ進めない場合は、導関数、接点の座標、直線の式を3行に分けると、欠けた情報が見えます。

個別指導で確かめるなら、まず自分で途中式を書き、どの文字が動き、どの数が指定された位置なのかを説明します。続いて傾きと通る点を元の条件に戻し、答えが何を表すかまで確認します。微分係数と導関数を区別できれば、接線の式にもそれぞれの役割が現れます。