高校数学A 整数解の範囲—一般解の条件から使える整数を絞って個数を確かめる｜武蔵野個別指導塾

0を含む個数の条件を不等式に移し、一般解の文字を絞って数え漏れを防ぐ鍵は整数解の範囲です。

よくあるのは、定期テスト前に整数解の個数を数えるとき、0を含む条件でも正整数だけ数えてしまう場面です。品物を使わない場合も候補なのに、式の文字を1以上として進めると端の解を落とします。逆に、どちらも必ず使う条件で0を許すと、余分な解を加えてしまいます。問題文の個数の意味を不等式に変え、最後に元の場面に戻して確かめましょう。

何を絞り、何を数えるか

一次方程式の整数解が文字を使って表されていても、場面に合う解はその一部です。ここでは一般解を求めた後、文字の範囲を決める作業に焦点を当てます。一般解を導く手順そのものは前提とし、必要な場合は代入と差を利用して網羅性も確かめます。

出方の1つは、個数が0でもよい非負整数の組を数える型です。もう1つは、両方を使うなどの正整数条件で端を除く型です。さらに、在庫や席数に上限があるときは、下限と上限の両方を同時に満たす範囲を求めます。どの型でも、まず各変数に対する条件を書き、一般解を代入してから共通部分を取ります。

答えが1組なのか、組の個数なのかにも注意します。文字の値を数えるだけで組の個数になるのは、異なる文字の値から異なる組が得られ、各組が漏れなく表される場合です。範囲に整数がなければ、条件に合う組は0個です。

境界を含むかを式に移す

0以上の整数を非負整数といいます。たとえば個数 x が0でもよければ x ≧ 0、必ず1個以上なら x ≧ 1です。x が整数であることと合わせれば、x > 0 と x ≧ 1 は同じ条件になります。一方、x ≧ 0 と x > 0 は同じではありません。

図1のように、一般解の文字 t を整数として動かし、それぞれの条件から得た範囲の重なりを取ります。境界が整数でない場合も、実数の範囲を求めた後に、その中にある整数を選びます。例えば t ≧ 1.2 なら最初の整数は2、t ≦ 4.7 なら最後の整数は4です。

図1では t ≧ 0 と t ≦ 3 の両方を満たす整数が 0、1、2、3 です。端の丸も候補に含まれます。整数の両端が a、b で a ≦ b なら、個数は b − a + 1 です。差 b − a は隣り合う整数の間の数なので、点の数にするには1を足します。

不等式を負の数で割るときは向きが逆になります。例えば 8 − 2t ≧ 0 から -2t ≧ -8、さらに t ≦ 4 です。符号を動かす前後を1行ずつ書くと、上限と下限の取り違えを見つけやすくなります。

基本例題：使わない種類も認める

長さ4 cmの棒と長さ7 cmの棒をつなぎ、合計28 cmにします。それぞれの棒の本数を x、y とし、使わない種類があってもよいものとします。x、y は非負整数です。条件に合う本数の組をすべて整数で求め、その個数を答えてください。

合計の長さから式は 4x + 7y = 28 です。棒は途中で切らず、長さは各本の長さを足します。まず (x, y) = (7, 0) が1組の整数解です。この組と任意の整数解を比べると、

4(x − 7) + 7y = 0

4(x − 7) = -7y

となります。4と7は互いに素なので、4は y を割り切ります。そこで整数 t を用いて y = 4t と置くと、上の式から x = 7 − 7t です。逆にこの式に任意の整数 t を入れると、4x + 7y = 4(7 − 7t) + 7・4t = 28 となります。したがって整数解は漏れなく (x, y) = (7 − 7t, 4t)、t は整数と表せます。

図2のように、それぞれの本数が0以上という条件を t の範囲に移します。まず x ≧ 0 から、

7 − 7t ≧ 0

-7t ≧ -7

t ≦ 1

です。次に y ≧ 0 から、

4t ≧ 0

t ≧ 0

です。両方を満たす整数は t = 0、1 です。t = 0 なら (x, y) = (7, 0)、t = 1 なら (x, y) = (0, 4) なので、答えはこの2組、2個です。

図2の端にある2組は、どちらも片方の種類を使わない場合です。元の場面では7本の4 cmの棒で28 cm、4本の7 cmの棒でも28 cmになります。一般解に代入して方程式を満たすことだけでなく、本数が非負で、実際に求める長さに戻ることまで確かめます。

もし両方の種類を1本以上使う条件なら、x ≧ 1、y ≧ 1 に変えます。すると t ≦ 6/7 と t ≧ 1/4 であり、この間に整数はありません。片方の不等式だけを満たす t を選んでも、もう片方の本数が0以下になるので採用できません。条件を変えたら、元の答えから何となく端を削るのではなく、不等式を作り直します。

上限もある場合の例題

1箱に5枚入るカードと1箱に8枚入るカードがあります。合わせて80枚用意します。5枚入りの箱数 x は0箱以上12箱以下、8枚入りの箱数 y は1箱以上8箱以下の整数とします。条件に合う箱数の組をすべて整数で求め、個数を答えてください。

枚数の合計は 5x + 8y = 80 です。(x, y) = (0, 10) は方程式の整数解ですが、y の上限を超えるので場面の答えにはなりません。このように、一般解を作るために使う1組は、後から課す範囲を満たしていなくても構いません。

任意の整数解との差を取ると 5x = -8(y − 10) です。5と8は互いに素なので、x は8の倍数です。整数 t を使って x = 8t と置けば、y = 10 − 5t になります。逆に代入すると 5・8t + 8(10 − 5t) = 80 ですから、これが整数解を漏れなく表します。

箱数の条件を移すと、0 ≦ 8t ≦ 12 より 0 ≦ t ≦ 3/2 です。また、1 ≦ 10 − 5t ≦ 8 の左側から t ≦ 9/5、右側から t ≧ 2/5 です。共通部分は 2/5 ≦ t ≦ 3/2 となり、整数は t = 1 だけです。答えは (x, y) = (8, 5) の1組です。

元の条件に戻すと、箱数はそれぞれ指定された範囲内で、5・8 + 8・5 = 80枚です。t = 0 は x の範囲内でも y = 10 が上限を超えます。t = 2 は y の範囲を外れ、x も上限を超えます。境界の分数をそのまま個数の公式に入れず、まず整数の候補を決めることが必要です。

0を消してしまう誤りを直す

基本例題で「本数だから x ≧ 1、y ≧ 1」と置き、解なしとするのは誤りです。使わない種類があってもよいという条件を、両方使う条件に変えてしまっています。図3のように、非負なら0を含む端も点として残します。

図3の左は基本例題の t = 0、1 を含む範囲で、右は同じ式に正の条件を課した範囲です。右側の実数の範囲には整数がないため、解の個数は0です。修正するときは問題文の「使わない種類があってもよい」に印を付け、x ≧ 0、y ≧ 0 から計算し直します。

別の誤りは、t ≦ 1 と t ≧ 0 を別々に数えて足すことです。どちらか一方ではなく、同時に満たす必要があります。また、t が整数という条件を忘れて0.5などを入れると、棒の本数が整数にならない場合があります。実数としての範囲と、採用する整数の一覧を分けて書きましょう。

練習問題

次の各問で変数は整数とします。組を求める問では条件を満たす組をすべて挙げ、個数も整数で答えてください。

1. 3点の札を x 枚、5点の札を y 枚選び、合計を15点にします。どちらの札も0枚でよく、x、y は非負整数です。組 (x, y) とその個数を求めてください。
2. 1列に6人座る長椅子を x 脚、1列に4人座る長椅子を y 脚使い、ちょうど24人分の席を作ります。両方を1脚以上使い、x、y は整数とします。組とその個数を求めてください。
3. 9個入りの袋を x 袋、4個入りの袋を y 袋用意して合計36個にします。x は0以上3以下、y は0以上6以下の整数です。組とその個数を求めてください。
4. 方程式 7x + 3y = 21 について、x、y はともに0以上2以下の整数です。条件を満たす組とその個数を求めてください。

練習の答えと考え方

1. 3x + 5y = 15 の整数解は (x, y) = (5 − 5t, 3t)、t は整数です。実際、(5, 0) との差から3が y を割り切ることがわかり、逆に代入すると常に15です。x ≧ 0、y ≧ 0 より 0 ≦ t ≦ 1 です。答えは (5, 0)、(0, 3) の2組です。札の点数に戻すと、それぞれ3・5 = 15点、5・3 = 15点です。

2. 6x + 4y = 24、すなわち 3x + 2y = 12 です。整数解は (x, y) = (2t, 6 − 3t)、t は整数です。差を取ると x は偶数で、逆に代入すれば元の式を満たします。x ≧ 1 より t ≧ 1/2、y ≧ 1 より t ≦ 5/3 なので、整数は t = 1 です。答えは (2, 3) の1組です。両方の椅子を使い、6・2 + 4・3 = 24人分になります。

3. 9x + 4y = 36 の整数解は (x, y) = (4t, 9 − 9t)、t は整数です。(0, 9) との差を取れば x は4の倍数で、逆の代入も成立します。0 ≦ x ≦ 3 から 0 ≦ t ≦ 3/4、0 ≦ y ≦ 6 から 1/3 ≦ t ≦ 1 です。共通範囲 1/3 ≦ t ≦ 3/4 に整数はないので、組はなく0個です。例えば t = 0 では36個を用意できても y = 9 で袋数の上限を超え、t = 1 では x = 4、y = 0 で x の上限を超えます。

4. 7x + 3y = 21 の整数解は (x, y) = (3t, 7 − 7t)、t は整数です。x の条件から 0 ≦ t ≦ 2/3、y の条件から 5/7 ≦ t ≦ 1 です。共通範囲自体が空なので、組はなく0個です。t = 0 なら元の式を満たしても y = 7、t = 1 なら x = 3 となり、それぞれ指定の上限を超えます。範囲に合わない組を、式に代入できるという理由だけで答えに含めてはいけません。

境界を点検する別の見方

不等式を解いた後は、候補の前後を調べると境界の向きを点検できます。基本例題なら t = -1 では y = -4、t = 2 では x = -7 となり、いずれも本数として使えません。一方、その間の t = 0、1 は両方の本数が0以上です。前後の値を調べることは計算の検算に役立ちますが、それだけで網羅性の証明になるわけではありません。一般解と不等式によって、範囲外の整数も除かれると説明します。

一般解の表し方は一通りとは限りません。基本例題で s = 1 − t と置けば、同じ組を (x, y) = (7s, 4 − 4s) と表せます。このとき非負条件は 0 ≦ s ≦ 1 です。s = 0 は元の t = 1、s = 1 は元の t = 0 に対応します。文字の値や並ぶ順序が違っても、得られる本数の組が同じなら答えは一致します。

個数を数えるとき、文字の異なる値が同じ組を表す場合には重複に注意が必要です。ここで扱った一般解では、いずれも一方の変数が文字の0でない整数倍に定数を加えた形なので、文字が変わればその変数も変わります。そのため採用した文字の値と組は1対1に対応します。例えば基本例題では y = 4t なので、別の整数 t から同じ y は生じません。

上限が複数ある問題では、一つの範囲を求めた時点で答えを決めないことも必要です。箱の例では x の範囲だけなら t = 0、1 が残りますが、y の上限を加えると t = 0 が除かれます。すべての条件を表に書き出し、最後に重なる部分を見れば、途中で見落とした条件を探しやすくなります。条件の一つでも満たさない組は、合計が正しくても場面には使えません。

条件を一覧に書くときは、0を許すかを変数ごとに記します。一方だけが正で、もう一方は非負という条件もありえます。両方に同じ条件を課す前に、問題文をそれぞれ読み直してください。

手元に残す要点

一般解の文字は整数として扱います。
非負なら0を含み、正整数なら1以上です。
各条件を文字の不等式に移し、共通範囲を取ります。
整数の端を決めて数え、元の場面へ戻して確かめます。

途中式からつまずきを見分ける

一般解は書けるのに個数が合わないときは、最初の不等式と最後の整数一覧を見比べます。0を含む言葉を1以上に変えていないか、負の係数で割ったときに不等号を反転したか、両方の条件の共通部分を取ったかを順に確認します。範囲が空なら、無理に端の値を答えに入れず、解がない理由を説明します。

個別指導で確かめるなら、本人に基本例題の t = 0 がどんな棒の選び方か説明してもらいます。続いて、両方を使う条件に変えたとき、どの不等式が変わるかを尋ねます。式の操作と場面の意味がつながれば、別の上限や正整数条件にも対応できます。整数解の範囲は、端の意味を読み取るところから定まります。