高校数学A 素因数分解と約数—素数の指数を整理して約数の個数と条件を調べる｜武蔵野個別指導塾

360の約数を指数の選択から数え、540に掛けて平方数にする最小の正整数を、必要な素因数から絞ります。

よくあるのは、定期テスト前の高校生が1を素数の仲間に入れ、素因数分解の欄に書き込む場面です。1を掛けても数は変わらないので、役に立ちそうに見えるかもしれません。しかし、1を素数に含めると、同じ整数の表し方に1をいくらでも付け加えられます。まず素数の意味を確かめ、次に素数が何個ずつ掛かっているかを整理しましょう。約数を求めるときも、その個数を数えるときも、この整理が土台になります。

どんな問いに指数を使うか

正の整数を素因数分解し、正の約数を並べる問いでは、元の数を割り切る数を漏れなく探します。小さい数から順に試す方法もありますが、数が大きいと抜けたことに気づきにくくなります。素因数ごとに使える個数を決めると、候補の作り方を整理できます。

別の型は、約数を全部書き出さずに個数を求める問いです。素因数の指数が0から元の指数まで動くことを使い、選び方を掛けます。さらに、ある整数に正の整数を掛けて平方数にする問いでは、積の素因数の指数が偶数になるように不足分を補います。平方数の約数の個数を問われたときは、元の整数の約数の中から指数が偶数のものを選びます。似た数字が並んでも、何を選ぶ問いかを先に言葉にすると混同を防げます。

ここで扱う約数は正の約数です。負の約数も考える問題では、正負をどう数えるかを問題の条件に合わせて別に確認します。また、約数の和を公式で求めることは扱いません。個数と平方数の条件を、指数の選択から説明できるようにします。

素数と約数の関係をほどく

素数は、1より大きい整数のうち、正の約数が1とその数自身の2個であるものです。例えば2や3は素数です。1の正の約数は1の1個なので、素数ではありません。素因数分解とは、2以上の整数を素数の積で表すことです。同じ素数が繰り返されるとき、その個数を指数で表します。例えば72 = 2³ × 3²です。2³は2を3個掛けた8、3²は3を2個掛けた9を意味します。

72の正の約数は2と3以外の素因数を持てません。また、2を4個以上、あるいは3を3個以上使うと72を割り切れません。逆に、2を0個から3個、3を0個から2個選んで作った積は72を割り切ります。使わない選択を指数0で表し、2⁰ = 3⁰ = 1とします。両方を使わない選択が約数1に対応します。1は約数として数えますが、素数として分解に付け足すわけではありません。

図1のように、2の指数は0、1、2、3の4通り、3の指数は0、1、2の3通りです。例えば指数がそれぞれ2と1なら、約数は2² × 3 = 12です。残りの因子は2 × 3 = 6なので、12 × 6 = 72と元に戻せます。指数の組が違えば素因数分解の形が違うため、同じ約数を二重に数えません。4通りと3通りの選択を組み合わせ、72の正の約数は4 × 3 = 12個です。

一般に正の整数が異なる素数p、qを使ってpᵃ × qᵇと表されるとき、正の約数はpの指数を0からa、qの指数を0からbまで選んで作ります。したがって個数は(a + 1) × (b + 1)です。素因数が3種類以上でも同じように、それぞれの選択肢の数を掛けます。指数をそのまま掛けず、0を含む選択肢の個数に直すことがポイントです。なお1には素因数がなく、正の約数は1個です。

平方数は、整数を2乗して得られる数です。正の平方数を素因数分解すると、同じ因子が2組ずつ現れるので、どの素因数の指数も偶数になります。逆に指数がすべて偶数なら、それぞれの指数を半分にした整数を2乗して元の数を作れます。この両方向を押さえると、平方数かどうかの判定と、平方数にするための補い方を説明できます。

指数を表にするときは、元の数の分解と、そこから選ぶ約数の分解を区別します。元の指数は選べる上限であり、約数の指数はその範囲内で動きます。たとえば72の約数で2の指数を3に選ぶと、残りの因子には2が含まれません。それでも残りの因子は整数なので、割り切れるという条件に合います。上限と同じ指数を除外する必要はありません。

逆に、72の約数として2の指数を4に選ぶと、72を16で割り切れません。3の因子をどのように選んでも2の不足は補えないため、この選択は許されません。素因数ごとの上限を確かめてから組み合わせると、割り算を何度も試さずに候補の全体を捉えられます。指数が0のときは因子自体が1となるので、0を掛けるのとは違います。

例題1：360の約数を数える

問題 360の正の約数の個数を整数で求めてください。また、そのうち平方数であるものをすべて整数で挙げてください。

まず小さい素数で割り、割り切れる間は同じ素数を使います。

360 = 2 × 180
= 2 × 2 × 90
= 2 × 2 × 2 × 45
= 2³ × 3 × 15
= 2³ × 3² × 5

最後の5も素数です。よって360の正の約数は、2の指数を0から3、3の指数を0から2、5の指数を0から1として作ります。例えば2² × 3 × 5 = 60は、残りの因子が2 × 3 = 6なので360の約数です。

図2のように、指数の選択肢は順に4通り、3通り、2通りです。各選択は独立に組み合わせられ、異なる組は異なる約数を表すので、正の約数の個数は

4 × 3 × 2 = 24個

です。平方数に限ると、各指数は偶数でなければなりません。2の指数は0または2、3の指数は0または2、5の指数は0です。選択を組み合わせると、1、4、9、36の4個です。

それぞれ1²、2²、3²、6²なので平方数です。360を順に割ると商は360、90、40、10で、いずれも整数に戻ります。さらに指数の選択をすべて尽くしているので、この4個以外に条件を満たす約数はありません。1を落としたり、5を使えると考えたりしていないか、指数0と偶数の条件をそれぞれ確認しましょう。

例題2：積を平方数にする最小の数

問題 540に正の整数nを掛けると平方数になります。このようなnのうち最小のものを整数で求め、そのときの積も整数で答えてください。

540 = 54 × 10 = 2² × 3³ × 5です。積540nが平方数なら、2、3、5についても、それ以外の素数についても、積の指数がすべて偶数です。540の指数を見ると、2の指数2はすでに偶数ですが、3の指数3と5の指数1は奇数です。そこでnには3と5が少なくとも1個ずつ必要です。

n = 3 × 5 = 15とすると、

540 × 15 = 2² × 3⁴ × 5²
= (2 × 3² × 5)²
= 90² = 8100

となり、確かに平方数です。条件を満たすnは3と5の両方で割り切れるので、15の正の倍数です。したがって15未満の正の整数は条件を満たせず、最小値は15です。積8100も、元の540を15回分集めた値と一致します。

ただし、15の倍数なら何でもよいわけではありません。例えばn = 30では2の指数が3となって奇数なので、積は平方数ではありません。最小値を求めるときは必要な因子を示した後、それを掛けた数が実際に条件を満たすことまで確かめます。もし条件が「nも平方数」と変われば、nの各指数は偶数に限られ、540の奇数指数を偶数に変えられません。その場合は条件を満たす正の整数nは存在しません。

最小値を探す理由をもう少し整理します。nに含まれる3の個数が0なら積の3の指数は3のままです。2個なら指数は5となり、やはり奇数です。したがって3の個数は奇数で、少なくとも1個必要です。5についても同じです。余分な因子を含む数が条件を満たす場合はありますが、正の整数の掛け算ではその因子によって15より小さくなることはありません。

平方数という言葉には0も含まれますが、この問題では540とnがともに正なので積は正です。0を掛ける選択は問題文の正の整数という条件に含まれません。最小値を探す前に、使える整数の範囲を確認すると、条件に合わない候補を混ぜずに済みます。

間違いを指数に戻して直す

72 = 2³ × 3²の正の約数の個数について、「3 × 2 = 6個」と答える誤りを考えます。3と2は元の数に含まれる素因数の個数であり、約数を作る際の選択肢の数ではありません。例えば2を1個も使わない3² = 9や、どちらも使わない1が、指数を1以上に限定した数え方から漏れます。

図3のように0も含めて並べると、2の指数は4通り、3の指数は3通りです。したがって4 × 3 = 12個に直します。実際に1、2、4、8、3、6、12、24、9、18、36、72を並べると12個あり、各数と72を割った商を掛ければ72に戻ります。並べた数が互いに異なることも確かめられます。

もう一つの誤りは、平方数を作るために奇数指数の素数をすべて取り除こうとすることです。掛け算では元の因子を取り除けません。例題2では3と5をそれぞれ1個加え、指数を4と2にします。反対に「平方数の約数を選ぶ」問題では元の指数を超える因子を加えられません。操作が掛けることなのか、元の数から約数を選ぶことなのかを問題文に戻って見分けます。

約数の個数が合わないときは、列挙した数を元の整数で割って確かめるだけでは不十分です。条件を満たす数が抜けていないかも、指数の組の一覧に戻って調べます。両方の確認で、余計な数と数え漏れを別々に見つけられます。

自分で試す問題

いずれも答えは整数で示してください。約数は正の約数とします。

1. 84を素因数分解し、正の約数の個数を求めてください。
2. 200の正の約数のうち平方数であるものをすべて挙げ、個数を求めてください。
3. 98に正の整数を掛けて平方数にするとき、掛ける正の整数の最小値と、その積を求めてください。
4. ある正の整数は2⁴ × 7³です。この数の正の約数のうち、7で割り切れるものの個数を求めてください。

解答と確かめ

1. 84 = 2² × 3 × 7です。指数は順に0から2、0から1、0から1なので、個数は3 × 2 × 2 = 12個です。素因数を掛け戻すと4 × 3 × 7 = 84です。指数の各組は84を割り切り、異なる組は異なる約数なので、重複も数え漏れもありません。

2. 200 = 2³ × 5²です。平方数の約数に使える偶数指数は、2が0または2、5が0または2です。組み合わせは1、4、25、100の4個です。それぞれ1²、2²、5²、10²であり、200を割った商は200、50、8、2です。したがって元の数の約数という条件にも戻ります。

3. 98 = 2 × 7²です。2の指数が奇数なので、掛ける数は2を少なくとも1個含みます。2を掛ければ98 × 2 = 196 = 14²となります。必要な因子を含む正の整数は2以上で、2自体が条件を満たすため、最小値は2、積は196です。元の98の2倍が196であることも確認できます。

4. 2の指数は0から4の5通りです。7で割り切るには7の指数を1から3までの3通りから選びます。よって5 × 3 = 15個です。例えば指数が4と3のとき約数は2⁴ × 7³で、元の数そのものです。どの選択でも残りの指数は0以上なので元の数を割り切り、7も少なくとも1個含みます。7の指数0の5個は条件を満たさないため数えません。

要点を手元に残す

素数は1より大きく、正の約数が2個の整数です。
約数は各素因数の指数を0から元の指数まで選びます。
個数は各指数の選択肢の数を掛けます。
平方数ではすべての素因数の指数が偶数です。

途中式からつまずきを見分ける

1を素数として書いた場合は、正の約数を実際に挙げて、素数の定義にある「2個」と比べます。個数の式だけが違う場合は、指数0を含む選択肢を声に出して並べてもらうと、数え漏れた場所を見つけられます。答えが合っていても、指数の組が異なると約数も異なる理由まで説明できるかを確かめると、別の数にも方法を移せます。

個別指導で確かめるなら、360の平方数の約数を選ぶ途中で、5の指数に1を選べない理由と、0を選んだときの因子の値を説明してもらいます。積を平方数にする問題では、必要な因子を挙げるだけで終えず、掛け戻した指数と最小である理由の両方をたどります。指数を選ぶ範囲が見えれば、約数の数え方も平方数の条件も一つずつ確かめられます。