高校数学A 空間図形の位置関係—直線と平面の垂直や平行を条件から順に説明する｜武蔵野個別指導塾

直方体の辺のねじれと三垂線の定理を、交点と垂線の足からたどります。焦点は空間図形の位置関係です。

よくあるのは、定期テスト前の高校生が立体の図で、見た目が似た向きの2直線を平行と判断する場面です。紙の上で交わらなくても、空間では交わらない理由が平行とは限りません。どの面にあり、同じ平面に入るかを調べると、ねじれの位置も説明できます。図を手がかりにしつつ、立体の条件から結論へ進みましょう。

問われる位置関係の型

まず、直方体の辺などについて、2直線が交わるか、平行か、ねじれの位置にあるかを判定する型があります。直線を辺の端で止めず、両方向に延長して考えます。交点が辺の外にある場合も、直線としては交わります。平行な2直線は同一平面上にあり、交わりません。同一平面上になく、交わりもしない2直線がねじれの位置です。

次に、直線が平面に垂直であることを説明する型があります。平面上の1本に垂直だとわかっても、それだけでは不十分です。同じ平面上で交わる2直線に垂直かを調べます。その後、垂線の足を通る平面内の直線に垂直だと使えます。

さらに、平面への垂線の足と斜めの線を結び、三垂線の定理を使う型があります。平面内で直角を見つけ、そこから空間の直角へ移す問題です。辺の長さを求める場合にも、その直角を根拠として直角三角形を作ります。ここではベクトルや座標空間を使わず、直線と平面の関係を追います。

同じ平面にあるかを先に見る

図1のような直方体を考えます。底面をABCD、対応する上面をEFGHとし、AE、BF、CG、DHを側辺とします。直線ABと直線EFは面ABFEの向かい合う辺を含むので平行です。一方、直線ABと直線CGは交わらず、同一平面上にもありません。したがってねじれの位置です。

図1のように描いたとき、ABとCGが紙の上で交わるように見えても、図の線の交差は空間の交点を意味しません。AB上の点は底面ABCDにあります。CGが底面と共有する点はCで、Cは直線AB上にないため、ABとCGは交わりません。さらに、ABとCGが同一平面にあると仮定すると、その平面にはCと、AB上の異なる2点A、Bが含まれます。3点A、B、Cを含む平面は底面なので、CGも底面に含まれることになり矛盾します。

直線と平面が平行とは、その直線と平面に共有点がないことです。直線が平面内にある場合は、共有点が多数あるため、この意味で平行とは呼びません。直線が平面に含まれず、その平面内のある直線と平行なら、その直線は平面と平行です。どちらの直線がどの平面内にあるかまで書くと、条件の取り違えを防げます。

直線が平面に垂直とは、交点を通る平面内のすべての直線に垂直であることです。判定には、平面内で交わる2直線への垂直が使えます。2直線が平行な場合は条件を満たしません。例えば床にある平行な2本の線に、床の上の別の線が垂直でも、その線は床に垂直ではありません。

三垂線の定理は次の形で使います。平面上にない点Pから平面に垂線PHを下ろし、平面上の点QをHと異なる点とします。Qを通る平面内の直線lがHQに垂直なら、lはPQにも垂直です。逆にlがPQに垂直なら、lはHQにも垂直です。HQは斜線PQを平面に正射影した線分です。垂線の足がHであることと、lが平面内でQを通ることを先に確認します。

なぜ使えるかも見ておきます。Qを通るl上にQと異なる点R、SをQRとQSが等しくなるように取ります。lがHQに垂直なら、直角三角形HQRとHQSは2辺がそれぞれ等しいのでHRとHSは等しくなります。PHは平面に垂直なのでPHはHRとHSに垂直です。直角三角形PHRとPHSからPRとPSも等しく、二等辺三角形PRSの中線PQはlに垂直です。逆も同様に、PRとPSの等しさからHRとHSの等しさへ戻せます。

三垂線の定理の逆を使うときは、斜線PQとlの直角から、正射影HQとlの直角へ戻ります。結論と条件を反対に覚えるのではなく、PHが平面に垂直という共通の前提の下で、2つの直角が対応すると考えます。例えばlがQを通らないなら、PQとlの交点はQとは限らず、同じ形では使えません。まずQを図に記し、3本の線がどこで交わるかを確認します。

同様に、PHが平面に垂直だと与えられない場合も注意が必要です。PHが平面内のHQに垂直というだけでは、PHが平面全体に垂直とは限りません。平面内でHを通りHQと交わる別の直線についても垂直を示すなどして、定理の前提を確保します。図に直角の印が1つあるだけでは、別の直角を自動的に増やせません。

基本例題：底面の直角を斜線へ移す

直方体ABCD-EFGHで、AB = 6 cm、AD = 8 cm、AE = 3 cmとします。Eから底面ABCDへの垂線の足はAです。Bを通りBCを含む直線と、EBは垂直であることを示し、EBの長さを根号を用いてcmで求めてください。

図2のように、底面でABとBCが垂直であることに注目します。EBは底面に斜めに伸びる線分で、その底面への正射影はABです。直角を調べる点はBですから、Bを通るBCに対して定理を使えます。

図2では、EAは底面に垂直です。またABは底面内にあり、BはAと異なります。底面の長方形から、

AB ⟂ BC

です。したがって三垂線の定理により、

EB ⟂ BC

と結論できます。図で直角らしく見えることではなく、EAが底面に垂直であることと、底面のAB ⟂ BCが根拠です。

長さには、面ABFEの直角三角形EABを使います。EA ⟂ ABなので、三平方の定理から、

EB² = EA² + AB²

= 3² + 6²

= 9 + 36

= 45

となります。長さは正なので、EB = 3√5 cmです。答えを戻すと、(3√5)² = 45であり、与えられた2辺の平方の和9 + 36に一致します。BCの長さ8 cmは垂直の判定には不要ですが、底面が長方形であるという条件は必要です。

別の証明では、BCはABと垂直で、EAとも垂直です。ABとEAは面ABFE内でAで交わるため、BCは面ABFEに垂直です。EBはその面内でBを通るので、BC ⟂ EBを得ます。この説明では、BCが平面に垂直だと判定する2直線を明示することが要点です。

少し難しい例題：足が辺の途中にある場合

平面上の長方形ABCDでAB = 12 cm、AD = 5 cmとします。辺ABの中点をHとし、平面の外に点PをPHが平面に垂直、PH = 8 cmとなるように取ります。辺BC上にBとCの間の点QをBQ = 2 cmとなるように取ります。HQと平面内でQを通る直線lが垂直なとき、PQとlが垂直であることを示し、PQを根号を用いてcmで求めてください。

Hは中点なのでBH = 12 ÷ 2 = 6 cmです。BHはAB上にあり、BQはBC上にあるので、BH ⟂ BQです。直角三角形HBQについて、

HQ² = BH² + BQ²

= 6² + 2²

= 40

です。またPHは底面に垂直で、HQは底面内でHを通るため、PH ⟂ HQです。直角三角形PHQから、

PQ² = PH² + HQ²

= 8² + 40

= 104

です。よってPQ = 2√26 cmです。与えられたl ⟂ HQとPHの垂直を使い、三垂線の定理からl ⟂ PQも得られます。

答えを場面に戻すと、BHは6 cmでAHと合わせて12 cm、BQは2 cmでBCの長さ5 cmより短く、Qは確かに辺の途中にあります。さらに(2√26)² = 104 = 8² + 40です。QがHと一致するとHQの方向が定まらず、この形の定理を使えません。垂線の足と斜線の終点が異なることも確認します。

誤答を直す：図の平行らしさに頼らない

図3の直方体で「ABとCGは図の上で交わらないから平行」とする答えは誤りです。紙の上に描かれた線が交わらないことから、空間の2直線が同一平面にあるとは言えません。図の投影の仕方を変えれば、ねじれた直線の像が交差することもあります。

図3のようにABとCGを調べるときは、まずCGが底面と交わる点CがAB上にないので、2直線は交わらないと述べます。次に両直線が同一平面にあると仮定すると、その平面はA、B、Cを含み、底面と一致します。しかしGは底面上にありません。したがって同一平面に存在せず、2直線はねじれの位置です。

逆に、2直線が交わらないことだけを示して「ねじれ」と決めるのも不十分です。例えばABとEFは同じ側面にあり、交わらないので平行です。交点の有無と同一平面の有無の両方を調べる順番に直します。直線と平面の問題でも、平面上の1本に垂直というだけで平面への垂直を結論しないようにします。

位置関係の説明では、結論を先に思いついた後の点検も役立ちます。平行と答えるなら、同じ平面を具体的に示せるか、延長しても交わらないかを調べます。ねじれと答えるなら、交わらない理由と同じ平面にない理由を別々に書きます。どちらか一方が欠けている答案は、判定に必要な情報が残っています。

平面への垂直も、使う向きによって説明が異なります。平面に垂直とわかっている直線から平面内の直線との垂直を導くときは、その平面内の直線が垂線の足を通ることを確認します。反対に、直線が平面に垂直だと証明したいときは、平面内の交わる2直線を選び、それぞれとの垂直を示します。結論を先に使ってしまわないよう、条件から矢印を引くつもりで並べます。

手を動かす問題

次の問題では、直方体の底面をABCD、対応する上面をEFGHとします。長さは根号を使ってcmで答え、位置関係は理由も書いてください。

1. 直線ADと直線EHの位置関係を求めてください。
2. 直線ABと直線DHの位置関係を求めてください。
3. AB = 4 cm、AD = 7 cm、AE = 2 cmのとき、ECと底面の正射影ACの長さをそれぞれ求めてください。
4. 底面上の点TをAと異なる点とし、Tを通る底面内の直線mがATに垂直とします。ETとmの位置関係を理由とともに答えてください。

問題の答えと確かめ

1. ADとEHは平行です。両方とも面ADHEの向かい合う辺を含み、同一平面上で交わりません。対応する側面が長方形である条件へ戻して確かめられます。

2. ABとDHはねじれの位置です。DHが底面と共有するDはAB上にないので、両直線は交わりません。もし同じ平面にあれば、その平面はA、B、Dを含む底面です。しかしHは底面上にないので矛盾します。ABとDHの見かけの向きだけでは判断しません。

3. 底面の直角三角形ABCから、AC² = 4² + 7² = 65です。したがってAC = √65 cmです。EAは底面に垂直なのでEA ⟂ ACです。直角三角形EACからEC² = 2² + 65 = 69となり、EC = √69 cmです。戻して確かめると、ACの平方65は底面の2辺の平方の和16 + 49に等しく、ECの平方69はEAの平方4とACの平方65の和に等しくなります。

4. ET ⟂ mです。EAは底面に垂直で、TはAと異なります。底面内でTを通るmがATに垂直なので、三垂線の定理を使えます。逆に、ET ⟂ mが与えられれば、同じ条件の下でAT ⟂ mも言えます。TがAの場合はATが直線を定めないため、この説明は使えません。

手元に残す要点

• 交わらない2直線は、同一平面上なら平行、そうでなければねじれです。
• 平面への垂直は、その平面内で交わる2直線を使って判定できます。
• 三垂線の定理では、垂線の足と斜線の正射影を先に示します。

つまずく場所を見つけるには

図に平行の印を書いたときは、その2直線を含む平面を言えるか確認します。名前を挙げられなければ、直線上の点を使って同一平面の有無を調べ直します。直角の印を付けたときも、見た目で付けたのか、長方形の性質や平面への垂直から導いたのかを区別します。

個別指導で確かめるなら、基本例題のAB ⟂ BCからEB ⟂ BCへ進む箇所を本人の言葉で説明してもらいます。EAの垂線の足、EBの正射影、BCが通る点を図に記し、それぞれが定理の条件にどう対応するかを尋ねます。条件が1つ欠ける図も考えると、使える理由がはっきりします。空間の位置関係は、見た目を根拠に置き換えるところから整理できます。