高校数学A 三角形の五心—交わる線の種類から中心の位置と性質を見分ける｜武蔵野個別指導塾

中線と角の二等分線の違いを直角三角形で比べ、距離や内接円の半径から五心を見分けます。交わる線と等距離の相手を結び付けて判断します。

よくあるのは、定期テスト前に三角形の中心を図に書き込もうとして、中線と角の二等分線を同じ線にする場面です。頂点から向かいの辺へ引くという見た目は似ていますが、辺を二等分する線と角を二等分する線では、決め方が違います。まず何を等しくする線なのかを言葉にし、その後に交点の性質を使いましょう。五心の名称を覚えるときも、交わる線と等しくなる距離を一組にすると区別できます。

どの条件から中心を選ぶか

問いの型は大きく3つあります。1つ目は、図に引かれた線の種類から中心を答える型です。各辺の垂直二等分線なら外心、各角の二等分線なら内心です。中点へ向かう中線なら重心、頂点から対辺へ垂直に引く高さを含む直線なら垂心です。傍心では、1つの内角の二等分線と他の2つの外角の二等分線が交わります。線の名前だけでなく、その線を決める等しい長さや角度にも印を付けます。

2つ目は、頂点や辺までの距離から長さを求める型です。外心は3頂点から等距離にあり、その距離は外接円の半径です。内心は3辺から等距離にあり、その距離は内接円の半径です。距離を測る相手が点なのか直線なのかを見落とすと、同じ「等距離」でも式が変わります。

3つ目は、中心の位置や線分の比を調べる型です。重心は中線を頂点側から2:1に分けます。一方、垂心は三角形の形によって内部、頂点、外部に現れます。図の中に中心が描かれているとは限らず、辺や高さを延長して考えることもあります。ここでは五心の基本と距離を扱い、座標やベクトルの公式を覚えることは目的にしません。

5種類の線を言葉で区別する

図1のように、線を決める条件と中心で成り立つ性質を対応させます。三角形は一直線上にない3点でできているものとし、辺の長さは正です。垂直二等分線は辺の中点を通り、その辺に垂直な直線です。線上の点は辺の両端から等距離なので、2辺の垂直二等分線の交点は3頂点から等距離になります。したがって残る辺の垂直二等分線も通り、その共通点が外心です。

図1の外心の行では、等しいのは頂点までの長さです。外心を中心として頂点までの距離を半径に円を描くと3頂点を通り、これを外接円と呼びます。鋭角三角形では外心は内部、直角三角形では斜辺の中点、鈍角三角形では外部にあります。直角三角形の斜辺を直径とする円は直角の頂点も通るので、その円の中心が斜辺の中点です。

内角の二等分線上で角の内部にある点は、角をつくる2辺からの距離が等しくなります。距離とは、その点から辺を含む直線へ下ろした垂線の長さです。2つの内角の二等分線の交点は3辺から等距離となるため、残る角も二等分します。内心は三角形の内部にあり、3辺に接する内接円の中心です。接点と内心を結ぶ線分は接する辺に垂直です。

中線は頂点と対辺の中点を結ぶ線分です。3本の中線は重心で交わり、頂点から重心までの長さは、その中線全体の2/3です。中線は一般には角を二等分せず、対辺にも垂直とは限りません。等しいのは対辺の2つの部分であって、頂点にできる2つの角とは限らないのです。

高さは頂点から対辺を含む直線に下ろした垂線の線分で、その延長を含む3直線は垂心で交わります。直角三角形では直角をはさむ2辺がそれぞれ高さを含むので、垂心は直角の頂点です。鈍角三角形では高さを延長した直線の交点が外部に生じます。垂心と外心が同じ場所になると決めてはいけません。

傍心は1つの内角の二等分線と、他の2つの外角の二等分線の交点です。どの内角を選ぶかで3個あり、いずれも三角形の外部にあります。それぞれは選んだ内角の両辺を含む直線と、向かいの辺を含む直線から等距離です。その距離を半径とする傍接円は、1辺と他の2辺の延長に接します。辺そのものまでの距離と、延長を含む直線までの距離を混同しないようにします。

基本例題: 外心と重心を同じ図で追う

三角形ABCは角Aが直角で、AB = 6 cm、AC = 8 cmです。BCの中点をM、重心をG、外心をOとします。BC、外接円の半径、AGとGMを求めてください。長さは整数または既約分数で、単位をcmとして答えます。

図2のように、まず直角をはさむ2辺から斜辺を出します。三平方の定理により、正の長さBCについて次の式です。

BC² = AB² + AC²

BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100

BC = 10 cm

直角三角形の外心は斜辺の中点なので、OはMと一致します。MはBCの中点ですから、BM = CM = 10 / 2 = 5 cmです。外心から3頂点までの距離は等しいため、外接円の半径は5 cm、AMも5 cmです。ここでMが中点という条件だけからAM = 5とは言えません。直角三角形であり、Mが外心でもあるという理由が必要です。

図2ではAMが中線です。重心Gはその中線を頂点A側から2:1に分けるため、全体を3等分したうちAGが2つ分、GMが1つ分です。AM = 5 cmを使い、次のように計算します。

AG = 5 × 2 / 3 = 10/3 cm

GM = 5 × 1 / 3 = 5/3 cm

答えはBC = 10 cm、半径5 cm、AG = 10/3 cm、GM = 5/3 cmです。戻して確かめると、AG + GM = 15/3 = 5 cmでAMに一致し、AG:GM = 2:1です。また半径5 cmなら直径は10 cmで、求めた斜辺と一致します。OとMが一致してもGはMとは別の点であり、どの中心についての性質を使ったのかを式のそばに記すと整理できます。

少し難しい例題: 面積から内接円の半径へ

三角形PQRの辺の長さがPQ = 13 cm、QR = 14 cm、RP = 15 cmです。内心をI、内接円の半径をr cmとします。PからQRへ下ろした垂線の足をHとして、QH、PH、rを求めてください。長さは整数または既約分数で、単位をcmとして答えます。

まずHが辺QR上にあることを確認します。QR上でQH = x cmとするとRH = 14 − x cmです。直角三角形の三平方の定理から、PH²について次の2式が成り立ちます。

PH² = 13² − x²

PH² = 15² − (14 − x)²

両式を等しくして展開します。

169 − x² = 225 − (196 − 28x + x²)

169 = 29 + 28x

x = 5

5は0より大きく14より小さいので、求めた足は実際に辺QR上にあります。PH² = 169 − 25 = 144であり、PHは正の長さですからPH = 12 cmです。面積は14 × 12 / 2 = 84 cm²です。

内心から各辺に下ろした垂線の長さはすべてrです。三角形をIと各辺の両端を結ぶ3つの三角形に分け、それぞれを底辺と高さから求めると、面積は (13r + 14r + 15r) / 2 = 21r cm²です。したがって21r = 84、r = 4 cmです。半周の長さをsと書けば面積はrsですが、なぜその式になるかは3つの三角形の面積を足すことで確かめられます。

検算ではQH = 5、RH = 9、PH = 12を元に戻します。5² + 12² = 169 = 13²、9² + 12² = 225 = 15²なので両側の辺と合います。また3辺を底辺とする小三角形の面積の和は (13 + 14 + 15) × 4 / 2 = 84 cm²で、底辺14 cmと高さ12 cmから求めた面積と一致します。

この問題では垂線の足が辺の内部にあります。条件が変わって足が辺の延長上にあるときは、2つの部分の長さを無条件にxと14 − xとは置けません。足の位置を図に示し、辺全体と外側の線分の和や差を使い直します。内心から辺を含む直線への距離は常に垂線の長さですが、別の頂点から下ろした高さとは意味が異なります。

中点と角の等分を取り違えたら

次の誤答を考えます。「AB = 6 cm、AC = 8 cmの直角三角形で、BCの中点をMとした。BM = MCだから、AMは角Aの二等分線である」。前半のBM = MCは中点の定義として正しいのですが、後半は導けません。対辺を二等分する条件だけでは、頂点の角が二等分されるとは限らないためです。

図3のように、正しい修正は「AMは中線である」とすることです。角の二等分線なら、角の二等分線の定理によって、交点をDとしたときBD:DC = AB:AC = 6:8 = 3:4です。中点MではBM:MC = 1:1なので、DとMは一致しません。実際にBC = 10 cmですから、BD = 30/7 cm、DC = 40/7 cmとなり、和は10 cmです。角が等しいという印を、根拠なく付け加えないようにします。

逆向きの誤りにも注意します。角の二等分線が対辺を必ず二等分すると考えると、上の3:4という比を1:1に変えてしまいます。2つが一致するのは、例えばその頂点をはさむ2辺が等しい二等辺三角形のように、追加の条件がある場合です。また、点から辺への距離を斜めの線分で測ってはいけません。内心から垂線を引き、直角の印を確認してから半径として使います。

手を動かして確かめる問題

次の3問は互いに独立です。長さは整数または既約分数で、単位をcmとして答えてください。中心の名称を問う箇所は名称で答えます。

1. 三角形DEFの辺EFの中点をN、重心をGとし、DN = 12 cmとします。DGとGNを求めてください。またGN = DGとした答案の誤りを説明してください。
2. 角Xが直角の三角形XYZで、XY = 9 cm、XZ = 12 cmです。外心Oの位置と外接円の半径を求めてください。垂心の位置も答えてください。
3. 3辺が5 cm、12 cm、13 cmの三角形の内接円の半径を求めてください。また、3頂点まで等しい距離にある中心の名称を答えてください。

答えと考え方

1. 重心は中線を頂点から2:1に分けます。DNの3等分の長さは12 / 3 = 4 cmなので、DG = 8 cm、GN = 4 cmです。GN = DGは重心を中線の中点として扱った誤りです。8 + 4 = 12、8:4 = 2:1をともに満たすので、与えられた中線に戻しても条件が合います。中点Nが作る等しい2線分はENとNFであり、DGとGNではありません。

2. YZ² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225より、YZ = 15 cmです。外心Oは斜辺YZの中点で、半径は15 / 2 cmです。垂心は直角の頂点Xです。半径の2倍は15 cmで斜辺と合い、さらに9² + 12² = 15²なので最初の辺の条件にも戻ります。外心と垂心を同じ点に置いていないか、直角の位置を見て確認してください。

3. 5² + 12² = 13²なので、三平方の定理の逆からこの三角形は、5 cmと12 cmの辺をはさむ角が直角です。面積は5 × 12 / 2 = 30 cm²です。半径をr cmとすると、内心と各辺の両端を結んで分けた面積の和は (5 + 12 + 13)r / 2 = 15r cm²です。よって15r = 30からr = 2 cmです。3頂点まで等距離にあるのは外心です。半径2 cmを面積の式に戻すと15 × 2 = 30 cm²となり、辺から出した面積に一致します。内心の等距離の相手は3辺なので、名称を入れ替えないようにします。

線から中心へ戻るための要点

• 垂直二等分線の交点は外心、内角の二等分線の交点は内心です。
• 中線の交点は重心で、中線を頂点側から2:1に分けます。
• 高さを含む直線の交点は垂心で、三角形の外に出ることもあります。
• 傍心は1つの内角と他の2つの外角の二等分線から決まります。
• 頂点までの距離と、辺を含む直線までの垂直な距離を区別します。

どこで線の意味が変わったかを探す

途中式が合わないときは、最初に図の印を読み直します。中点に付いた等しい線分の印から角の等しさへ飛んでいないか、垂直の印なしに線分を距離としていないかを調べます。重心の比を逆にした場合は、頂点から中点までを3つの等しい部分に分け、どちらが2つ分かを指でたどると誤りの場所が見えます。

個別指導で確認するなら、まず本人に「この線を引くために何が等しいか」を説明してもらいます。次に、外心と内心のそれぞれから何へ垂線や線分を引くのかを図に書き加え、式に使う長さの根拠を言葉にします。最後に求めた長さを元の辺や面積へ戻し、条件を満たすかを確かめます。中心の名前は、交わる線と距離の相手をたどれば選べます。