高校数学A 反復試行—成功する位置の選び方を数えて指定回数の確率を出す｜武蔵野個別指導塾

成功と失敗の並びを数え、ちょうど2回や少なくとも2回の確率を求める題材は反復試行です。

よくあるのは、定期テスト前に確率の問題を解き、成功が先に続いてから失敗が続く並びだけを式にする場面です。同じ回数の成功でも、成功する回を入れ替えれば別の結果になります。順番を数え落としたままでは、1通りの確率しか求まりません。まず1回ごとの結果を書き、その後で条件に合う並びを集めます。

回数を尋ねる問題の見分け方

反復試行では、同じ条件の試行を独立に繰り返し、決めた出来事が何回起こるかを調べます。成功という言葉は、問題で注目する出来事の名前です。的に当たることに限らず、指定した色の玉が出ることも成功と呼べます。残りの結果をまとめて失敗と呼びますが、日常の意味で悪い結果だという判断は必要ありません。

問いの型には、成功が「ちょうど」指定回数となる確率、成功が「少なくとも」指定回数となる確率、成功が「多くても」指定回数となる確率があります。ちょうどの場合は位置の選び方を数えます。以上や以下の場合は、該当する回数を漏れなく足すか、反対の事象を引く方法を選びます。どの回数が含まれるかを書き出してから計算すると、境界の回数を落としにくくなります。

同じ操作を繰り返して見えても、毎回の成功確率が変わるなら、ここで扱う式をそのまま使えません。戻さずに玉を取り続ける場合は、残りの玉の構成が変わります。一方、取り出して色を記録し、戻して十分に混ぜる設定なら、毎回の条件をそろえられます。独立で確率が一定という前提を問題文から確認してください。ここでは回数の確率までを扱い、確率分布の理論には進みません。

一列の確率と位置の選び方

1回の成功確率を p、失敗確率を q とすると、成功と失敗が結果を分け尽くすので q = 1 − p です。n 回の独立な試行で成功がちょうど r 回なら、残りは n − r 回の失敗です。例えば成功、失敗、成功の順に決めた1列の確率は、独立性により p × q × p です。後の結果の確率が前の結果で変わらないことが、掛け算の根拠です。

図1のように、成功位置を選べば残りは失敗位置に決まります。位置の選び方は n 個から r 個を選ぶ組合せ nCr 通りです。順番に位置を選ぶ方法では、同じ位置の集合を選ぶ順番の分だけ重複するため、組合せを使います。成功位置の集合が異なれば結果の列も異なり、1つの列が同時に2種類の位置集合に属することはありません。

図1の例は4回中の1回目と3回目を成功位置にした列です。この1列と、2回目と4回目を成功位置にした列は別の結果ですが、どちらも成功2回、失敗2回なので確率は p × p × q × q です。成功確率が各回で一定であり、かつ独立だから、位置を変えても積は同じになります。

したがって、求める確率は次の形です。

nCr × p の r 乗 × q の n − r 乗

r = 0 なら成功位置は空の選び方1通り、r = n なら全位置を選ぶ1通りです。0乗を1として扱えば端の回数にも同じ形が使えます。ただし公式の形から入り、成功の回数と失敗の回数を逆に置くと別の事象になります。積の指数の和が n になっているか、位置の選び方が求める回数と対応するかを確認します。

独立と排反も別の性質です。異なる回の成功が独立なら、一方の結果を知っても他方の成功確率は変わりません。一方、成功2回という事象と成功3回という事象は同じ一連の試行では同時に起こらないため排反です。独立な各回の確率は掛け、排反な回数の事象は足すというように、何についての関係かを区別します。

基本例題：成功位置を3通りに分ける

問題 1から6までの目がそれぞれ同様に確からしく出るさいころを、互いの結果が影響しないように3回投げます。1または2の目が出ることを成功とします。成功がちょうど2回となる確率を既約分数で求めてください。

1回に出る6つの目は同様に確からしく、そのうち成功は2つです。よって成功確率と失敗確率は、それぞれ次のようになります。

p = 2/6 = 1/3
q = 1 − 1/3 = 2/3

例えば成功、成功、失敗という決まった順序の確率は、独立性から次の積です。

(1/3) × (1/3) × (2/3) = 2/27

これで終えると、成功が2回ある並びのうち1つしか数えていません。図2のように、失敗の位置を1回目、2回目、3回目のいずれにするかで、条件を満たす列が3つに分かれます。

図2の各列は互いに重ならず、成功2回の列はこの3つで尽くされます。各列の確率は同じなので、和を求めます。

3C2 = 3
3 × (1/3) × (1/3) × (2/3) = 6/27 = 2/9

答えは 2/9 です。3C2 は成功する2つの位置を選んだ数です。失敗する1つの位置を選ぶ 3C1 と同じ3通りになります。位置を選ぶときに掛けた3を、さらに別の順列の数で掛ける必要はありません。

場面に戻して確かめます。3回の各回の目の列は 6 × 6 × 6 = 216 通りで、独立かつ各目が同様に確からしいため、これらは同様に確からしい結果です。成功位置を選ぶ3通りのそれぞれで、成功する目は各回2通り、失敗する目は4通りあります。したがって条件に合う目の列は 3 × 2 × 2 × 4 = 48 通りです。48/216 = 2/9 となり、元のさいころの条件に戻しても答えが一致します。

「少なくとも」を含む例題

問題 赤玉3個と青玉2個が入った袋から、玉を1個取り出して色を記録し、袋に戻して十分に混ぜる操作を4回行います。各回では残っている個々の玉が同様に確からしく選ばれ、各回の選択は独立とします。赤玉が少なくとも2回出る確率を既約分数で求めてください。

赤玉を成功とすると、各回の成功確率は 3/5、失敗確率は 2/5 です。戻すことで袋の中は毎回赤3個、青2個に戻ります。「少なくとも2回」には2回、3回、4回が含まれます。これらの確率を足してもよいですが、反対の事象は0回または1回と少ないので、こちらを使います。

赤玉が0回の確率は、4回とも青玉なので次の通りです。

(2/5) × (2/5) × (2/5) × (2/5) = 16/625

赤玉が1回の確率は、赤玉の位置が4通りあるので次のようになります。

4C1 × (3/5) × (2/5) × (2/5) × (2/5)
= 4 × 24/625 = 96/625

0回と1回は排反です。全体の確率1からその和を引くと、

1 − (16/625 + 96/625)
= 1 − 112/625 = 513/625

答えは 513/625 です。直接数えると、2回は 4C2 × 9 × 4/625 = 216/625、3回は 4C3 × 27 × 2/625 = 216/625、4回は 81/625 です。合計は 513/625 となります。この3つは2回以上に含まれる回数を尽くし、互いに重なりません。

玉を区別して元の場面でも確かめます。各回5個から1個を選ぶ列は 5 × 5 × 5 × 5 = 625 通りで、どれも同じ確率です。赤が2回、3回、4回の列はそれぞれ216、216、81通りなので合計513通りです。比は 513/625 となり、袋の条件と一致します。

もし戻さずに取る設定なら、最初に赤を取った後は赤2個、青2個です。次の赤の確率は 2/4 へ変わり、毎回 3/5 を使えません。その場合は経過ごとに残りを調べて計算します。また「ちょうど2回」なら3回と4回を含めないので、上の216/625だけを使います。条件の言葉を変えると、足す対象も変わります。

1列だけを答えにしたときの直し方

基本例題で、成功、成功、失敗の確率 2/27 を答えとするのは誤りです。式自体はその順序に限れば正しいのですが、問題は成功する回を指定していません。図3のように、成功、失敗、成功と、失敗、成功、成功も同じ「ちょうど2回」に入ります。

図3で3列を比べると、成功2回と失敗1回という回数は同じでも、失敗の位置が異なります。それぞれの列の確率が 2/27 であることを確かめ、3倍して 2/9 に直します。式の横に「1列分」なのか「全列分」なのかを書くと、計算の意味が見えます。

別の誤りは、3列の数を掛けた後に、さらに成功2回の順序を2通りとして掛けることです。成功位置を選んだ時点で順序の違いは数え終わっています。成功どうしには区別をつけないので、余分な2倍は消します。逆に、各回の成功確率が異なる場合は、列ごとの積が同じとは限らず、列の数を単純に掛ける方法を使えません。

「2回以上」を「2回」と読み替える誤りにも注意します。まず可能な成功回数を0から試行回数まで並べ、条件を満たす回数に印を付けます。余事象を使うときは印のない回数を引くので、境界の2回が引く側に入っていないかを点検します。

練習問題

次の各問題では、指定した操作の各回が独立であるとします。確率は既約分数で答えてください。

1. 表と裏がそれぞれ同様に確からしい硬貨を5回投げます。表がちょうど3回出る確率を求めてください。
2. 白玉1個と黒玉3個の袋から1個を取り出して色を記録し、戻して十分に混ぜる操作を3回行います。各回に各玉は同様に確からしく選ばれます。白玉が少なくとも1回出る確率を求めてください。
3. 1から8までの数字が1つずつ書かれた札から1枚を選び、数字を記録して戻す操作を2回行います。各回に各札は同様に確からしく選ばれます。偶数が多くても1回出る確率を求めてください。
4. 1から5までの数字が1つずつ書かれた札から1枚を選び、数字を記録して戻す操作を4回行います。各回に各札は同様に確からしく選ばれます。1の札がちょうど2回出る確率を求めてください。

練習問題の答えと確かめ

1. 表の位置の選び方は 5C3 = 10 通りです。どの列も表3回、裏2回なので確率は (1/2) の5乗、すなわち 1/32 です。答えは 10/32 = 5/16 です。元の表裏の列は32通りあり、そのうち表の位置を3つ選ぶ10通りが条件を満たすので、10/32 と確かめられます。

2. 白玉が1回以上の反対は、3回とも黒玉が出ることです。黒玉の確率は毎回 3/4 なので、答えは 1 − (3/4) × (3/4) × (3/4) = 1 − 27/64 = 37/64 です。玉を区別した3回の列は64通りあり、白玉が出ない列は27通りです。残り37通りという数は袋の条件に戻しても一致します。

3. 偶数が多くても1回とは、0回または1回です。反対は2回とも偶数となる場合です。偶数の札は4枚あるため、答えは 1 − (4/8) × (4/8) = 3/4 です。札の数字の組は64通りあり、両方偶数の16通りを除いた48通りが条件に合います。48/64 = 3/4 です。

4. 1の札を引く確率は 1/5、それ以外は 4/5 です。成功位置は 4C2 = 6 通りなので、答えは 6 × (1/5) × (1/5) × (4/5) × (4/5) = 96/625 です。札の数字の列は625通りです。成功位置6通りのそれぞれで、残る2か所には1以外の数字を4通りずつ入れられ、6 × 4 × 4 = 96 通りとなります。

回数ごとの確率を足す方法では、同じ結果が複数の回数に入らないことも確かめます。1つの結果の列に含まれる成功の回数は1つに定まるため、異なる回数の事象は重なりません。したがって、必要な回数の確率をそのまま足せます。

覚えておくこと

• 独立で成功確率が一定か、操作の条件を確認します。
• 1列の確率に、成功位置の組合せの数を掛けます。
• 以上や以下は、含まれる回数を書き出して足すか、余事象を使います。
• 計算後は元の結果の列に戻して、分子と分母を確かめます。

式のどこで迷ったかを見つける

1列の積を書けても答えが小さすぎるときは、成功位置の選び方が抜けていないかを見ます。反対に、組合せを掛けた後でもう一度順序を数えていれば、同じ列を重複している可能性があります。条件が「以上」のときは、式だけでなく含めた回数の一覧を見て、境界が入っているかを確かめます。

個別指導で確かめるなら、基本例題の 2/27 が何を表すかを本人に説明してもらい、残る2列を実際に書いてもらいます。さらに袋の例で、戻す操作が確率にどう関わるかを尋ねます。位置と確率の両方を言葉にできれば、数字が変わっても式の意味を追えます。成功の位置を数えることが反復試行の鍵です。