高校数学A 組分け—組に名前があるかを確認して重複を取り除き数える｜武蔵野個別指導塾

同じ人数の組を入れ替えたときの重複と、名前の有無による違いを具体例で追います。判断の鍵は組分けです。

よくあるのは、定期テスト前に、名前のない二組を作る問題で、選んだ組と残った組を入れ替えた場合まで別に数えてしまう場面です。たとえば、ある人たちを2つの組に分けるとき、先に選んだ側に印を付けて計算すると、印を外した後にも同じ分け方が残ります。式を書く前に、完成した組を入れ替えても答えが変わらないかを考えましょう。人はそれぞれ区別し、どの人も指定された1つの組に入るものとして考えます。

何を区別して数えるか

組分けでは、まず完成した答えをどこまで同じと見るかを読み取ります。赤組と青組のように名前が決まっていれば、同じ人たちのかたまりでも、赤組と青組を交換した結果は別の答えです。一方、名前のない組なら、紙に左右を入れ替えて書いても、人の集まりが同じなら同じ答えです。並べた順番ではなく、各組の中身に注目します。

出方の1つは、同じ人数の組を名前なしで作る型です。順に組を選ぶ計算をすると、同じ大きさの組に仮の順序を付けた分だけ重複します。もう1つは、人数の異なる組を作る型です。2人組と3人組なら、人数を見ればどちらの組か区別できるため、入れ替えたとしても新たな選び方は生じません。さらに、同人数でも名前がある型では、名前への割り当てが答えの一部です。名前があるかないかと、人数が等しいかを別々に確認します。

人数が同じだから必ず割る、という覚え方では不十分です。何を順に選び、その計算に完成した答えが何回現れるかを調べます。ここで扱うのは、区別できる人を指定人数の組に分ける数え方です。組の内部の席順や、分けた後の並び順は数えません。

仮の名前と組合せ

異なる n 人から r 人を選ぶ方法の数を nCr と書きます。選ぶ順序は区別しません。たとえば A、B、C、D の4人から2人を選ぶとき、AとBを選ぶこととBとAを選ぶことは同じ1通りです。組の中では順序を問わないので、この組合せが使えます。以下では、組の人数の合計は人の総数と一致し、空の組は作らないとします。

図1のように、4人を名前のない2人組2つに分けた答えの1つを考えます。ABとCDという組分けに対し、先にABを選ぶ方法と先にCDを選ぶ方法があります。計算の途中で「先に選ぶ組」と「残る組」という仮の名前を付けたためです。完成後にその名前を外すと、2つの計算結果は同じ分け方を表します。

図1の2行は同じ組分けです。逆に、完成した任意の分け方から先に選ぶ組を決める方法は、2組のうちどちらかを選ぶ2通りです。したがって、どの答えも一律に2回ずつ現れます。このように、割る数は「組が2つあるから」と決めるのでなく、1つの答えに戻る選び方の数として説明できます。

名前のある組なら状況が変わります。ABが赤組、CDが青組という答えと、CDが赤組、ABが青組という答えは異なります。赤組の人を選べば残りが青組なので、選び方を2で割る必要はありません。色の名前を外す操作があるかどうかが、判断の分かれ目です。

3組以上の場合も、同人数の組に付けた仮の順序を外します。たとえば名前のない同人数の3組なら、完成した3組を第1、第2、第3の順に選ぶ順序は 3 × 2 × 1 = 6 通りです。どの完成形にも同じ6通りが対応するため、順に選んだ総数を6で割ります。ただし、人数が違う組まで一緒に入れ替えることはできません。

基本例題：6人を二組に分ける

問題：異なる6人 A、B、C、D、E、F を、名前のない3人組2つに分けます。組の中の順序は区別しません。分け方を整数で求めてください。

まず、3人を先に選び、残りをもう一方の組にします。先に選ぶ3人の選び方は、6人から3人の組合せなので、次の通りです。

6C3 = (6 × 5 × 4) / (3 × 2 × 1)

= 120 / 6

= 20

分母の 3 × 2 × 1 は、選んだ3人を並べる順序を区別しないために取り除く数です。この20通りでは、先に選んだ組と残った組に、まだ仮の区別が付いています。組の内部の順序を取り除くことと、組どうしの順序を取り除くことは別の段階です。

図2のように、ABCとDEFという完成形は、ABCを先に選んでも、DEFを先に選んでも現れます。どの完成形でも先に選べる組はちょうど2つです。ほかの人の組への移動がなければ、先に選んだ組はこのどちらかに限られます。

したがって、求める数は次のようになります。

20 / 2 = 10

答えは10通りです。図2の2行が表す答えは1つなので、20をそのまま答えると2倍になります。逆に、もう一度3人の並び方で割る必要はありません。6C3 の時点で、ABCとBACのような組内の順序は区別していないからです。

答えを場面に戻して、Aを含む組に注目する方法でも確かめられます。Aと同じ組の残り2人を、BからFの5人から選ぶと、5C2 = 10 通りです。Aを含む組は完成形ごとに必ず1つなので、この方法には組どうしの重複がありません。残りの3人も必ずもう一組になり、両組とも3人です。10という結果は問題の人数と名前のない条件に戻しても一致します。

人数が異なる組と、同じ人数が混ざる組

問題：異なる7人を、名前のない3人組1つと2人組2つに分けます。組の中の順序は区別しません。分け方を整数で求めてください。

最初に3人組を選びます。この組は人数で他の2組と区別できるので、選び方は 7C3 = 35 通りです。残った4人から、仮に第1の2人組を選びます。その選び方は 4C2 = 6 通りで、残り2人が第2の2人組になります。よって仮の順序を付けた数は次の通りです。

35 × 6 = 210

このままでは、2人組どうしを入れ替えた同じ完成形を2回数えています。たとえば3人組がABC、2人組がDEとFGである完成形は、DEを先に選ぶ場合とFGを先に選ぶ場合に現れます。3人組を2人組と交換することは、指定された人数に合わないので数えません。したがって、同じ大きさの2組に生じた重複だけを取り除きます。

210 / 2 = 105

答えは105通りです。3組あるからといって 3 × 2 × 1 で割ると、3人組と2人組の交換まで重複として除いてしまいます。3人組を選ぶ段階では、完成形ごとに選ぶべき組は1つだけです。残った2組の選ぶ順序に限って2通りあるため、割る数は2です。

この答えも、問題の形に戻して確かめます。3人組の候補は35通りあり、そのどれを選んでも残る4人の組分けは3通りです。たとえば残りがD、E、F、Gなら、DEとFG、DFとEG、DGとEFの3通りで、Dの相手を決めれば残りも決まります。35 × 3 = 105 となり、各答えは3人、2人、2人を使い切ります。

条件を変えて、2人組に「前半」「後半」という異なる名前が付くなら、同じ2組の割り当てを交換すると別の答えです。その場合は210通りで、2では割りません。名前のない3人組は1つしかなく、3人組に仮の名前を付けたことによる重複もありません。問題の文にある名前を消さずに数えることが必要です。

誤答を一つずつ修正する

図3は、4人を名前のない2人組2つに分ける場合の誤りです。2人を先に選ぶ 4C2 = 6 を、そのまま答えとするのは誤答です。ABを選んでCDが残る場合と、CDを選んでABが残る場合は、名前のない完成形としては同じです。図3のように、式の6は完成形の数ではなく、仮の先後が付いた数を表しています。

同じ完成形は、先に選ぶ組を変えた2回に限って現れます。よって 6 / 2 = 3 と修正します。実際に、ABとCD、ACとBD、ADとBCの3通りです。Aの相手はB、C、Dの3人のいずれかであり、相手が決まれば残りの組も決まるため、抜けや重複はありません。

反対の誤りは、組に名前がある場合まで2で割ることです。赤組がABで青組がCDの場合と、赤組がCDで青組がABの場合を比べると、各人の所属する名前が変わっています。赤組を選ぶ6通りは、それぞれ異なる答えなので6通りのままです。交換後も問題が求める答えとして同じか、具体的な1組で確かめてから割りましょう。

さらに、人数の違う組をまとめて割ることも避けます。2人組と4人組なら、2人組を選んだ後の残りは4人です。4人組を先に選ぶ手順を書き直すことはできますが、同じ計算の中で「先に選ぶ2人組」が4人組になるわけではありません。同じ答えがその計算に何回現れるかを数えると、余計な割り算を見つけられます。

練習問題

どの問題も人は互いに区別し、各人はちょうど1つの組に入ります。組の中の順序は区別しません。分け方を整数で答えてください。

1. 異なる8人を、名前のない4人組2つに分けます。何通りですか。
2. 異なる5人を、名前のない2人組1つと3人組1つに分けます。何通りですか。
3. 異なる6人を、展示係、記録係、連絡係という名前のある2人組3つに分けます。何通りですか。
4. 異なる8人を、名前のない2人組1つと3人組2つに分けます。何通りですか。

練習の答えと考え方

1. 35通りです。4人を先に選ぶと 8C4 = 70 通りです。残りも4人なので、完成した2組のどちらを先に選んでも同じ答えになります。70 / 2 = 35 です。別の確かめとして、特定の1人の同じ組に入る3人を残り7人から選ぶと、7C3 = 35 です。選ばれなかった4人がもう一組になり、両組の人数は4人です。

2. 10通りです。2人組を選ぶと 5C2 = 10 通りで、残る3人が3人組になります。人数によって組を区別できるので、2では割りません。3人組から選んでも 5C3 = 10 です。どちらの選び方も、選んだ組と残りを合わせて5人を一度ずつ使います。

3. 90通りです。展示係を 6C2 = 15 通りから選び、残る4人から記録係を 4C2 = 6 通りで選びます。残る2人は連絡係です。したがって 15 × 6 = 90 です。名前を交換すると担当が変わるので、3組の順序を取り除く割り算はしません。各答えでは各係に2人ずつ入り、6人が重ならずに使われます。

4. 280通りです。まず2人組を 8C2 = 28 通りで選びます。残る6人から仮の第1の3人組を 6C3 = 20 通りで選ぶと、残りが第2の3人組です。3人組の先後を交換すると同じ答えなので、28 × 20 / 2 = 280 です。2人組を固定した後、残りの6人について特定の1人と組む2人を選べば 5C2 = 10 通りとも確かめられます。28 × 10 = 280 で、各組の人数は2人、3人、3人に戻ります。

数え方を選ぶための確認

計算の前に、組の人数を書き出し、同じ人数がいくつあるかを確認します。その上で、組に付く名前や役割が答えに残るかを読み取ります。名前がなければ、完成した組を囲む線の色や紙の左右は、分け方の違いにはなりません。人の移動が起きた場合は、少なくとも1つの組の中身が変わるので別の分け方です。

複数の組を順番に選ぶ式では、残りの人数を更新することも必要です。すでに選んだ人を次の組の候補に戻すと、1人が2つの組に入る計算になります。反対に、人数の合計が足りないまま式を終えると、どの組にも入らない人が残ります。最後に各組の人数を足して全員に一致するかを確かめ、さらに選んだ組が重ならないことを確認します。

覚えておくこと

名前がある組の交換は、所属先が変われば別の答えです。 名前のない同人数の組は、仮の順序を外して重複を除きます。 人数の違う組は、人数によって見分けられます。 割る数は、完成した1つの答えが計算に現れる回数です。

途中式からつまずきを見つける

組合せの式は合っているのに答えが違うときは、その式が数えるものを言葉に戻してみましょう。「先に選んだ組」と「残りの組」を分けて書き、完成後にその区別が必要かを確認します。割り算の前後で何を数えているかが変わるため、式の横に「仮の順序あり」「名前なし」と書く方法も役立ちます。

個別指導で確かめるなら、まず1つの完成形を本人に書いてもらい、同じ完成形が最初の選び方に何回出るかを説明してもらいます。次に組へ名前を付けた条件に変え、交換した2つの答えを比較します。割る数だけを覚えていた場合も、何が同じで何が異なるかを組の中身からたどれます。組分けの答えは、完成形の区別から決まります。