高校数学A 円順列—回転で重なる並べ方を固定する一人から整理して数える｜武蔵野個別指導塾

円卓で一人を固定する理由と、隣り合う条件の数え漏れを図で追い、回転の重複から円順列を読み解きます。

よくあるのは、定期テスト前の高校生が、円卓に座る全員を一列に並べるときと同じように、全員分の階乗を書いてしまう場面です。席を紙に描くと上下左右に位置がありますが、円卓ごと回して重なる配置は同じものとして数えます。どの席を基準にしたかで答えを増やさないために、一人を決めてから残りの人の順をたどります。ここでは全員を区別し、左右反転した配置は別とします。裏返せる数珠の並べ方は扱いません。

何を区別して数えるか

円順列の問題では、まず「回転したら同じ」という約束の下で、異なる人たちを円形に並べる場合の数を求めます。次に、特定の2人が隣り合う、あるいは隣り合わないという条件を付ける型があります。さらに、固定した人の左右の席や、まとまりの内部の順序に注意して数える型もあります。

どの型でも、最初に何を同じ配置とみなすかを読みます。席に番号があり、番号の違いを区別する問題なら、円卓を回したものを同じとする設定とは異なります。また、回転しても時計回りの順番は変わりませんが、左右を反転するとその順番は逆になります。ここで扱う条件では、反転だけで一致する配置はまとめません。

階乗の記号 n! は、n から 1 までの整数を順に掛けた数です。例えば 4! は 4 × 3 × 2 × 1 です。公式を当てる前に、残った席が何席あり、そこへ誰を置くのかを言葉にすると、階乗の中身を決めやすくなります。

一人を目印にして円を読む

異なる n 人が円卓を囲み、回転で重なる並べ方を同じとします。1人を A と決め、A の位置を図の上側に固定します。A から時計回りに残りの n − 1 人を読めば、その並びは一直線上の順列として表せます。最初の席に n − 1 通り、次に n − 2 通りと続くので、円順列は (n − 1)! 通りです。

この固定は、A に特別な席を与える条件を問題に追加したのではありません。回転で同じになる配置の代表を、A が上に来る向きで描き直しています。どの配置でも A は1人なので、回せばその位置をそろえられます。そろえた後は残りの時計回りの順が一致する場合に限り同じ配置です。

図1のように、A、B、C、D の時計回りの順が同じなら、紙の上で A の位置が変わっても回転で重なります。一方、A を固定した後に B と D を入れ替えると時計回りの順は A、D、C、B となり、回転だけでは元に戻りません。これは反転した配置であり、ここでは別に数えます。

別の確かめ方として、区別できる席を一時的に設けると n! 通りあります。1つの円順列を席に置く方法は、A の席の選び方に応じて n 通りです。よって n! ÷ n = (n − 1)! です。全員が異なるので、A の位置が異なる置き方は別の席への置き方となり、どの円順列も同じ n 回ずつ数えられます。割る数が n になる理由を説明できることが、単に式を覚えるより役立ちます。

固定する場所と数え始める方向

紙に円を描くと、上の席や右の席が目に入ります。しかし、回転で重なる配置を同じとするとき、上という位置は配置そのものの特徴ではありません。目印の A を上に置く操作は、向きの異なる図を比較しやすくするための約束です。A 以外の人を目印に選んでも、同じ配置の集合を数えるので答えは変わりません。

時計回りに読むと決めることにも意味があります。A を固定して B、C、D と読んだ並びと、反時計回りに B、C、D と読んだ並びを混ぜると、同じ配置を別の列として書くおそれがあります。読む方向を一方にそろえ、その後で反転した配置と比較します。円の境目も隣り合うので、列の最後の人と目印の人との関係も確認します。方向を選ぶことと、反転した配置を同じにすることは別の操作です。

具体的に A、B、C、D の場合、A を固定して時計回りに読める列は BCD、BDC、CBD、CDB、DBC、DCB の6つです。それぞれ異なる順なので、回転だけでは互いに重なりません。例えば BCD を反転すると DCB となり、この2つは別の列として残ります。固定した後に何が違えば別なのかを、この小さい例で確かめておくと、大きな人数でも判断できます。

席に番号が付いていて番号ごとの着席を区別するなら、A の席にも選択肢が残ります。その場合は A の席を決める選択を省けません。問題文の「回転で同じ」という条件が、固定によって消してよい違いを決めています。図が円形であるという見た目だけで、必ず人数で割るとは限りません。

基本例題：2人の隣をひとまとまりにする

異なる5人 A、B、C、D、E が円卓を囲みます。回転で重なる配置は同じとし、左右反転は別とします。A と B が隣り合う並べ方は何通りですか。答えは整数で求めてください。

A と B をひとまとまりと考えると、円の周りに置くものは、そのまとまり、C、D、E の4つです。まとまりを1つの目印として固定し、残り3人を時計回りに並べます。まとまりの中では A、B の順と B、A の順の2通りがあります。

図2のように、まとまりを固定すると、その外の人を置く順番は次のように数えられます。

残り3人の並べ方 = 3 × 2 × 1 = 6 通り

まとまりの内部の並べ方 = 2 × 1 = 2 通り

求める並べ方 = 6 × 2 = 12 通り

各段階で使う人は異なります。まず C、D、E の順を決め、次に A と B のどちらを先に読むかを選ぶので、積の法則が使えます。内部の2通りは円全体を回したものではありません。例えばまとまりから時計回りに A、B、C、D、E と読む配置と、B、A、C、D、E と読む配置では、A を基準にした隣人の位置が異なります。

答えを元の条件に戻して確かめます。まとまりの中の A と B は必ず隣り合い、C、D、E はそれぞれ1回ずつ現れます。逆に A と B が隣り合う配置なら、その隣接部分を1つにまとめられます。まとまりを固定したときの C、D、E の順と内部の順が決まるため、漏れや重複はありません。

A を固定して数える方法でも確認できます。B の席は A の両隣の2通りで、残りの3席に C、D、E を置く方法は 3! 通りです。したがって 2 × 3! = 12 通りです。両隣は異なる席であり、回転では入れ替わりません。

条件を反対側から数える

異なる6人 P、Q、R、S、T、U が円卓を囲みます。回転で重なる配置は同じとし、左右反転は別とします。P と Q が隣り合わない並べ方は何通りですか。答えは整数で求めてください。

まず条件を付けない円順列を求め、そこから P と Q が隣り合う配置を除きます。隣り合うか隣り合わないかのどちらかに分かれ、両方に属する配置はありません。したがって、差を取ると求める配置が残ります。

条件のない配置は、P を固定して残り5人を並べるので、5! = 120 通りです。隣り合う配置は P と Q をまとめると、まとまりと残り4人の計5つを円形に並べます。まとまりの中の順は2通りなので、4! × 2 = 48 通りです。よって 120 − 48 = 72 通りです。

直接数えても同じ答えに戻ります。P を固定したとき、他の5席のうち P の隣でない席は3席です。そのどれかに Q を置き、残り4人を4席に並べると、3 × 4! = 72 通りです。固定した P の両隣を除いた席を数えているので、どの配置も P と Q が隣り合いません。逆に条件を満たす配置では Q はこの3席のいずれかにあり、残りの人の順も一意に決まります。

「隣り合う」から「隣り合わない」に条件が変わると、まとまりをそのまま作る方法では求めるものが逆になります。全体から除く方法と、置ける席を直接選ぶ方法のどちらでも、何を数えたかを式のそばに書いてください。差を取るときは、引く配置が全体に含まれているかも確認します。

誤答を直す：全員の階乗をそのまま使う

異なる4人 A、B、C、D の円順列を求めるとき、4! = 24 通りとする誤答を考えます。4! は、区別できる4つの席に4人を置く数です。円卓ごと回した配置も別々に数えているため、回転を同一とする問題の答えにはなりません。

図3のように、時計回りの順が A、B、C、D の配置は、A を置く席を変えると4通り描けます。しかし円卓を回すと互いに重なるので、円順列としては1通りです。図の4つは同じ時計回りの順を保っています。同じことは他の配置にも成り立ち、4! に含まれる各円順列は4回ずつ数えられています。

修正すると 4! ÷ 4 = 3! = 6 通りです。A を固定して B、C、D の順を決めても、3 × 2 × 1 = 6 通りと得られます。例えば A、B、C、D と A、D、C、B は反転の関係にありますが、この問題では別です。さらに2で割ると、左右反転を別とする条件に反してしまいます。

もう一つの失敗は、隣り合う2人をまとめた後で内部の順を忘れることです。まとまりの外側の順が同じでも、2人を入れ替えた配置は異なります。ただし、まとめる対象に固定した人を含める場合と含めない場合では、どこを目印にしたかを明示しなければ重複を見落としやすくなります。完成した配置から元の選択を復元できるかを調べると、数え方の不具合を見つけられます。

自分で確かめる問題

次の各問では、全員を区別し、回転で重なる配置を同じ、左右反転した配置を別とします。答えは整数で求めてください。

1. 異なる7人が円形に並んで記念写真を撮ります。並び方は何通りですか。
2. 異なる6人が円形の花壇の周りに立ちます。指定した2人が隣り合う並び方は何通りですか。
3. 異なる5人が円形に並んで話し合います。指定した2人が隣り合わない並び方は何通りですか。
4. 異なる7人が円卓に座ります。指定した3人が連続する並び方は何通りですか。

答えと考え方

1. 1人を固定し、残る6人を時計回りに並べるので、6! = 720 通りです。どの並びにも全員が1回ずつ入り、固定した人からの順で元の配置を復元できます。席を区別した 7! 通りを7で割っても同じ数です。

2. 指定の2人をまとめると、まとまりと他の4人で計5つです。円形の並べ方は 4! 通り、内部は2通りなので、4! × 2 = 48 通りです。指定の一方を固定すると、もう一方は両隣の2席、残りは 4! 通りとなり、同じ48通りです。どちらの方法でも指定の2人は隣り合います。

3. 全体は 4! = 24 通りです。指定の2人が隣り合う配置は、まとまりと他の3人を円に並べて、3! × 2 = 12 通りです。差は 24 − 12 = 12 通りです。直接には一方を固定し、隣でない2席から他方の席を選び、残り3人を並べるので 2 × 3! = 12 通りです。この2席は両隣を除いた席なので、求める条件に戻ります。

4. 指定の3人をひとまとまりとすると、まとまりと残り4人の計5つを円に並べます。外側は 4! 通り、内部は 3! 通りなので、4! × 3! = 144 通りです。円上で連続した3席の始めは、直前に指定外の人がいる位置として一意に決まります。したがって、完成した配置からまとまりとその内部の順を取り出せ、重複しません。指定外の4人もそれぞれ1回ずつ並んでいます。

要点

回転で同じ配置は、目印の1人を固定して1回だけ数えます。
異なる n 人の円順列は (n − 1)! 通りです。
隣り合う人をまとめたら、内部の順も数えます。
隣り合わない条件は、全体から隣り合う配置を引いても求められます。
左右反転を同じにするかは問題の条件で判断します。

途中式からつまずきを見つける

全員の階乗を書いた答案では、回転して重なる配置を何回数えたか、具体的な4人の並びを回して説明してみます。固定後に残る人数と席数が一致しない場合は、基準の人がすでに席を占めているかを確かめます。隣接の問題で答えが半分になった場合は、まとまりの内部を入れ替えた配置を描き、回転だけで重なるかを調べます。

個別指導で確かめるなら、式の答えだけでなく、固定した目印、まとまりの外側の並び、内部の順をそれぞれどの因数で数えたかを本人に説明してもらいます。引き算を使った答案なら、全体から除いた配置がどの条件に当たるかを言葉にします。円を一周して基準に戻るまでの順番を読めば、境目の隣接も見落とさずに判断できます。