高校数学A 条件付き順列—隣り合う条件と離れる条件を整理して並べ方を数える｜武蔵野個別指導塾

二人を一組にする方法と隙間に入れる方法を、内部の順序まで追って整理する条件付き順列です。

よくあるのは、定期テスト前の高校生が、隣り合う二人を一組として数えたあと、その二人の内部の順序を落としてしまう場面です。一組にまとめる発想は合っていますが、組の中を入れ替えた列も別の並びです。どの操作で何を決めたかを短い言葉で添えると、掛け忘れを見つけやすくなります。ここでは異なる人や物を一直線に並べる場合を扱い、円形の並びは扱いません。

条件の読み方で手順を選ぶ

条件付き順列では、まず何を別の並びとして数えるかを決めます。左から見た順序が異なれば別とするなら、同じ二人が隣り合っていても、左右が逆なら別です。人を文字で表すと、ABとBAを区別することが見えます。

出方の1つは、指定された人どうしが隣り合う型です。二人をひとかたまりと見て他の人と並べ、最後にかたまりの中の順番を決めます。次に、指定された人を両端に置く型があります。端の担当を先に決めると、中央の並べ方と重ねずに数えられます。もう1つは、指定された人どうしが隣り合わない型です。残りの人を先に並べ、その両端を含む隙間に指定された人を入れます。

「隣り合わない」は間に少なくとも1人いるという意味です。両端にいる場合も条件に合います。一方、「両端にいない」とは別の条件です。条件を読み違えると、計算が正しくても求める集まりが変わります。式を書く前に、条件に合う列と合わない列を1つずつ試す習慣をつけましょう。

かたまりと隙間は何を表すか

図1のように、AとBをひとかたまりにすると、列全体では一つの場所を占めます。ただし、ひとかたまりの中身はABとBAの2通りです。かたまりを1個と数えるのは位置を決める段階に限り、二人を区別しなくなるわけではありません。

図1の下段では、先に並べたC、D、Eの前後と間に4個の隙間があります。両端も隙間に含めるので、3人のまわりの隙間は4個です。ここにAとBを別々の隙間へ1人ずつ入れれば、二人の間にC、D、Eの少なくとも1人が入ります。同じ隙間へ2人を入れると二人は隣り合うため、今回は使えません。

異なるn個を一直線に並べる方法は、左から順にn、n-1、というように残りを選んで掛けます。これをn!と書きます。例えば4!は4×3×2×1で24です。積の各因子が何を選ぶ数なのかを明記すると、別の手順と混同しません。

数え方が正しいことは、条件に合う列を漏らさないことと、同じ列を二度数えないことの両方で確かめます。隣接の列では、完成した列から二人のかたまりの場所と内部の順番を一意に取り出せます。隙間の方法でも、完成した列から先に並べた人の順序と、各指定者の入った隙間が一意に戻ります。この対応があるので、各手順を掛け合わせられます。

隙間を使うとき、先に並べる対象が固定されているかも確かめます。例えば、指定された二人以外を先に並べるなら、その順番が変わるたびに隙間の周囲の人も変わります。先に並べた順番を1つ決めた後で隙間を選ぶので、順番の数と隙間の選択の数を掛けられます。先に指定された二人を並べてから残りを入れる方法もありますが、その場合は後から入れる人によって二人が離れるかどうかを別に管理しなければなりません。

隙間の個数が足りない場合も、同じ考えで判断できます。指定された人をそれぞれ別の隙間に入れる必要があるのに、隙間の数より人数が多ければ、条件を満たす列はありません。無理に積の式を続ける前に、実際に入れる場所が残っているかを確認します。逆に、隙間を使う条件が「少なくとも二人は離れる」のように変わると、全員を別々の隙間へ入れる方法では条件に合う列を落とすことがあります。何を離すのかを対象ごとに読みましょう。

基本例題：二人が隣り合う列

異なる5人A、B、C、D、Eが横一列に並びます。AとBが隣り合う並びは何通りですか。左右が異なる並びは区別し、答えを整数で求めてください。

AとBをまとめたものをXと置きます。X、C、D、Eの4個を並べるので、左端から置く順に選択肢は4通り、3通り、2通り、1通りです。図2のように、外側の並びを決めてからXの中を開きます。

4 × 3 × 2 × 1 = 24

これはXの内部をまだ決めていない数です。各並びについて、Xの中はAB、BAの2通りあります。したがって、求める数は次のとおりです。

24 × 2 = 48

答えは48通りです。例えばX C D EからはAB C D EとBA C D Eができます。どちらも5人が1回ずつ現れ、AとBが隣り合います。逆に条件を満たす列のAとBをまとめれば、必ずX、C、D、Eの並びの1つに戻ります。内部の順番も元の列から決まるため、48通りに漏れも重複もありません。

検算として、条件を付けない5人の列は5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120通りです。AとBが離れる場合は、まずC、D、Eを6通りに並べ、その4個の隙間からA、Bの場所を順に4通り、3通りで決めます。6 × 4 × 3 = 72通りなので、隣り合う48通りと合わせると120通りに戻ります。隣り合う場合と離れる場合は重ならず、どの列もどちらかに入るため、この照合ができます。

隣接する向きが「AがBのすぐ左」と指定された場合は、内部がABの1通りに限られます。その場合に2を掛けると、条件に合わないBAも含めてしまいます。反対に「どちらが左でもよい」なら、内部の2通りを必ず残します。条件の言葉を確認してから、かたまりの内部を数えましょう。

応用例題：両端と隣接を同時に満たす

異なる6人A、B、C、D、E、Fが横一列に並びます。AとBが両端にいて、CとDが隣り合う並びは何通りですか。左右の異なる並びを区別し、答えを整数で求めてください。

まず両端を決めます。左端がAなら右端はB、左端がBなら右端はAです。端の決め方は2通りです。AとBを端に置いた後、中央には4人分の連続した場所が残ります。

中央のCとDを一組Yと見ます。Y、E、Fの3個を並べる方法は3 × 2 × 1 = 6通りです。Yの内部はCD、DCの2通りです。端の選択と中央の選択を掛けて、

2 × 6 × 2 = 24

答えは24通りです。端と中央の決め方から列が一意に決まり、完成した列からも端の配置、Yの位置、Yの内部を取り出せます。例えばA C D E F Bは両端がAとBで、CとDは隣り合っています。逆の端配置やDCの順も別に数えられています。

ここで、もし「AとBのどちらも端にいない」へ条件を変えると、端の2通りという最初の段階は使えません。許される位置の範囲自体が変わるからです。また、中央が連続していない別の配置では、空いた場所どうしが必ず隣接するとは限りません。かたまりを作れる場所が連続しているかも、図や位置番号で確かめます。

別の確かめ方として、両端を決めた1通りに注目します。例えば左端をA、右端をBに固定したとき、中央の4人の並びは全部で4! = 24通りです。このうちCとDが隣り合うのは、一組とE、Fの3個の並びに内部の2通りを掛けた12通りです。端を逆にした場合も同じ12通りなので、合わせて24通りになります。条件を一度に処理しにくいときは、このように一部を固定して残りを数え、固定の仕方を戻すと整理できます。

端の2通りと中央の2通りは意味が異なります。前者はAとBのどちらを左端に置くか、後者はCとDのどちらをかたまりの左に置くかです。どちらかの2を省くと、元の条件を満たす列の半分を落とします。また、かたまりの内部を並べる操作は、かたまりを置く中央の場所をもう一度選ぶ操作ではありません。同じ操作を重ねて掛けていないか、各因子に対応する選択を書き添えて確認します。

誤答から数え漏れを探す

基本例題で「4! = 24通り」と答える誤りを考えます。図3のように、これはABを一組として並べる外側の選択までは数えています。しかし、同じ外側の並びからBAという列もできます。AとBは異なる人なので、内部を逆にした列は別です。

修正は4! × 2 = 48通りです。図3では1つの外側の並びからABとBAが分かれます。2を足すのではなく、外側の24通りのそれぞれに2通りずつ対応するので掛けます。内部の順番が固定されている問題なら、掛ける数は1です。

別の失敗として、離れる二人を同じ隙間に入れてしまうことがあります。残りの人がどれだけ並んでいても、同じ隙間に2人だけを入れればその2人の間には誰もいません。隙間を別々に選び、後から入れる人の候補が1つ減っているか確かめましょう。順に選んでいるのにさらに2で割ると、異なる人の左右の入れ替えを落としてしまいます。

検算で別の方法を使うときも、同じ条件を数えているかが必要です。たとえば全体から隣接を引く方法では、同じ5人を同じ向きの直線上に並べ、残りを「隣り合わない」として扱います。両端を区別しない数え方を途中で混ぜれば、引き算の前後で対象が一致しません。何を1通りとするかを最初から最後までそろえましょう。

練習問題

いずれも異なる対象を横一列に並べ、左右が異なる順序は区別します。答えは通り数を整数で求めてください。

1. 異なる4冊の本P、Q、R、Sを並べます。PとQが隣り合う並びは何通りですか。
2. 異なる5枚のカードJ、K、L、M、Nを並べます。JとKが隣り合わない並びは何通りですか。
3. 異なる7人G、H、I、J、K、L、Mが並びます。GとHが両端にいて、IとJも隣り合う並びは何通りですか。
4. 異なる6個の印a、b、c、d、e、fを並べます。a、b、cがこの順に連続して並ぶ場合は何通りですか。

練習の答えと道筋

1. PとQを一組にすると、組、R、Sの3個を並べます。3 × 2 × 1 = 6通りで、組の中はPQとQPの2通りです。よって6 × 2 = 12通りです。完成した列では4冊が1冊ずつあり、PとQは隣り合います。全24通りから離れる12通りを引いても12通りです。

2. L、M、Nを先に並べると3 × 2 × 1 = 6通りです。その前後と間の4個の隙間にJ、Kを別々に入れます。Jの場所は4通り、Kの場所は残る3通りです。6 × 4 × 3 = 72通りです。各列に戻してもカードは5枚あり、JとKの間には少なくとも1枚あります。全120通りから隣接する4! × 2 = 48通りを引いても72通りです。

3. GとHの端の配置は2通りです。中央の5人についてIとJを一組にすると、組とK、L、Mの4個を並べます。内部の順番も2通りなので、2 × 4 × 3 × 2 × 1 × 2 = 96通りです。端と組を元に戻すと7人が1人ずつ並び、両端と隣接の条件が成り立ちます。端と組の内部は列から一意に復元できます。

4. abcを一組とすると、組とd、e、fの4個です。組の内部はabcと指定されているため、内部の並べ替えは1通りです。4 × 3 × 2 × 1 = 24通りです。例えばd abc e fと戻せば6個が1回ずつ現れ、a、b、cは指定順で連続します。完成した列のabcをまとめる操作も一意なので、数え落としはありません。

手元に残す要点

隣接する二人は一組にし、内部の順番も数えます。 離す二人は、残りの人の両端を含む別々の隙間に入れます。 両端の条件は端の配置から決め、残った場所を確かめます。 完成した列から手順を逆にたどり、漏れと重複を調べます。

途中式から見えるつまずき

4!だけを書いたときは、4個の中に何を入れたか説明してみてください。かたまりを挙げられても、その内部を開いた2列を示せなければ、外側と内側を別の段階として考える練習が必要です。逆に2を掛けた理由が「二人いるから」だけなら、順番が固定された問題へ変えたときに判断できるかを確かめます。

隙間で迷ったときは、先に並べた対象の左端と右端にも印を付け、完成例から元の並びへ戻します。個別指導で確認するなら、どの因子がどの選択に対応するか、1つの列を使って本人の言葉で説明してもらいます。条件を満たす列と満たさない列を比べると、計算の前に直すべき読み違いが見えてきます。