高校数学A 順列—並べる場所に注目して条件のない並べ方から式を作る｜武蔵野個別指導塾

展示する絵を左・中央・右に置く例から、候補が減る理由と、選ぶだけの場合との数え方の違いを確かめられます。

よくあるのは、定期テスト前の高校生が、数人を選ぶだけの問題にも順列の式を使うという場面です。選ばれた人の組が同じなら同じ結果なのか、それとも役割を入れ替えれば別の結果なのかを確かめないまま計算すると、数字は出ても何を数えたのかが曖昧になります。まず、答えに残る情報を言葉にしてから場所を描きましょう。

どんな結果を別々に数えるか

順列は、異なるものからいくつかを取り出し、順序をつけて並べる方法です。例えば、作品を左から順に展示するときは、同じ作品を選んでも左右を交換すれば別の展示になります。左と右という場所が違うからです。一方、作品を保管するために選ぶだけなら、選んだ順番を入れ替えても保管する作品は変わりません。この区別が式を選ぶ出発点です。

出方の1つは、異なるものを全部一列に並べる問題です。最初の場所から順に候補を減らして掛けます。もう1つは、一部を選んで異なる場所や役割に割り当てる問題です。使う場所の数だけ候補の数を掛けます。さらに、順列の記号や階乗の式を計算し、その式が何を数えるか説明する問題もあります。どの場合も、同じものを繰り返し使わず、個々のものを区別できる設定を確認します。

ここでは条件のない直線上の並べ方を中心に扱います。隣り合うという条件を加えた数え方や、円形に並べる場合は扱いません。選ぶだけの場合との違いは確かめますが、選ぶだけの個数を求める公式の展開には進みません。

場所を埋めると候補が減る

図1のように、異なる4枚の札から2枚を取り、左と右に1枚ずつ置きます。左に置ける札は4通りです。左を1枚決めると、その札はもう使えないため、右に置ける札は残りの3通りです。どの札を左に選んでも右の候補は3枚なので、並べ方は4 × 3 = 12通りです。

図1の左にA、右にBと置く結果と、左にB、右にAと置く結果は別です。場所ごとに札の名前を記録すると、入れ替えたことが記録に残ります。候補の数を掛けるのは、左の1通りそれぞれに対し、右の3通りを組み合わせられるからです。同じ並びを2回作ることもありません。完成した並びを見れば、左と右にどの札を置いたかが一意に決まるためです。

異なるn個からr個を選んで一列に並べるとき、nPrと表します。nとrは整数で、ここでは1以上のrがn以下の場合を考えます。場所はr個あり、左から埋めると候補の数はn、n − 1、n − 2と1ずつ減ります。最後の場所では、既にr − 1個を使っているので候補はn − r + 1個です。したがって、nPrはnから始めて1ずつ減らしたr個の整数の積です。

全部のn個を並べるときは、最後の候補が1個になります。この積n × (n − 1) × … × 2 × 1をn!と書き、nの階乗と読みます。例えば4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24です。1!は1です。また0!は1と定めます。これは、何もない場所を何も置かずに完成させる方法を1通りと考えることにも対応します。

階乗を使うと、nPr = n! / (n − r)!と表せます。n!の末尾にある(n − r)から1までの積を割って取り除くと、先頭からr個の因子が残るからです。r = nなら分母は0!で、nPn = n!です。式を覚えるときも、分母で消える部分と、実際に埋める場所の数を対応させると間違いに気づけます。

式から場面を読み戻す

式だけを与えられたときも、因子を場所に戻してみます。例えば7P2 = 7 × 6は、異なる7個から、順序を区別する2つの場所を埋める数です。最初の場所の候補は7個、次は1個使用済みなので6個です。2という数字は最後の候補数ではありません。2つの場所を埋めるという意味です。

同じ7個から3つの場所を埋めるなら、もう1回選ぶので7P3 = 7 × 6 × 5です。7P2に5を掛けた形になり、2つの場所を埋めた後に残る5個から、3つ目を選ぶことに対応します。この関係を使うと、場所を1つ増やしたときにどの因子を追加するかを確かめられます。ただし、既に選んだものを再び使える設定なら候補はこのようには減らず、ここで扱う順列の式をそのまま使えません。

階乗の割り算にも同じ見方ができます。例えば7P2 = 7! / 5!では、7!の7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1から、5!の5 × 4 × 3 × 2 × 1が消えます。残るのは7 × 6です。約分した後の因子を2つの場所と照合すれば、分母を4!や6!と取り違えたことに気づけます。0!を含む場合も、定義した値1で割るので、全部を並べる階乗の結果と矛盾しません。

基本例題：展示の順番を決める

異なる5枚の絵から3枚を選び、展示台の左、中央、右に1枚ずつ並べます。同じ絵は2回使いません。並べ方は何通りですか。答えは整数で表してください。

図2のように3つの場所を描き、左から埋めます。左に置く絵は5枚のどれでもよいので5通りです。左を決めた後、中央に使える絵は残りの4枚です。さらに右には、使った2枚以外の3枚を置けます。

各段階で候補の数が前の選択の内容によらず一定なので、積を作ります。途中式を順に書くと、次のようになります。

5P3 = 5 × 4 × 3

5P3 = 20 × 3

5P3 = 60

答えは60通りです。階乗で表すなら、5P3 = 5! / 2! = (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1) = 60です。分母の2!は、並べない残り2枚の因子を取り除くために現れます。3枚を並べるので、積に残る因子が5、4、3の3個であることも確認できます。

答えを場面に戻しましょう。完成した展示には左、中央、右の3位置があり、それぞれ異なる絵が入ります。完成した展示を左から読み取れば、計算の各段階で選んだ絵が1通りに決まります。したがって、計算した60通りは展示を重複なく数えています。逆に、条件を満たす展示は必ず左からこの手順で作れるので、数え落としもありません。

もし問題が「3枚を選ぶ」だけで展示位置を決めなければ、同じ3枚を左から異なる順に並べた結果は、選んだ絵の組としては同じです。60をそのまま選び方の答えにすることはできません。問題文に「選ぶ」とあっても、続いて役割や位置を指定していれば、結果に順序が残るかどうかをさらに確認します。

全部並べる場合と一部を並べる場合

異なる6冊の本を棚に一列に並べます。次のそれぞれについて、並べ方を整数で求めてください。(1) 6冊全部を並べる。(2) 4冊を選び、左から4つの位置に並べる。同じ本は2回使いません。

1. 左端には6冊、次には5冊、その次には4冊が候補です。さらに3冊、2冊、最後は1冊と減ります。よって6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720通りです。最後の1を省いても積の値は変わりませんが、最後の場所も確かに埋まることを示しています。

2. 位置は4つなので、4回選んだ時点で並びが完成します。6P4 = 6 × 5 × 4 × 3 = 360通りです。残った2冊を並べる場所はないので、その2冊の順番は結果に含めません。階乗なら6P4 = 6! / 2! = 720 / 2 = 360です。

2つの答えを本の場面に戻すと、(2)の完成した4冊の並びそれぞれに対して、残り2冊を後ろの2位置に置く方法は2 × 1 = 2通りあります。そのため(2)の360通りを2倍すると、6冊全部を並べた(1)の720通りに戻ります。この対応は、一部だけの並びで残りまで区別していないかを確かめる方法にもなります。

条件が「4冊を棚に並べる」から「4冊を箱に入れる」に変わり、箱の中の順序を区別しないなら、同じ4冊の並べ替えは同じ結果です。箱に入れるという言葉だけでは順序を記録する設定もあり得るため、問題文が結果をどう区別するかを確認してください。順列の計算を先に決めず、完成した結果を交換して比べると判断しやすくなります。

誤答から場所を描き直す

図3は、異なる4枚の札から2枚を選ぶだけなのに、4 × 3 = 12通りをそのまま答えた場合です。札Aと札Bを選んだ結果は、Aの次にBを選んでも、Bの次にAを選んでも同じ組です。図3のように、順列の計算はこの1組に2つの順序を対応させています。

誤りの理由は、選ぶ途中の順序を、完成した結果の違いとして数えていることです。修正するときは、まず結果を「2枚の組」と書き、ABとBAが同じ組かを確かめます。この例では異なる2枚の各組に対し、順序は必ず2通りあるため、12 / 2 = 6通りです。実際にAB、AC、AD、BC、BD、CDの6組を書けば、元の4枚から2枚を選ぶ条件に戻して確かめられます。

逆に、左と右に置く問題で12を2で割るのも誤りです。ABとBAは左右の配置が違うので、割ると異なる結果をまとめてしまいます。割るかどうかの判断は、文字の並びの見た目ではなく、問題が区別する結果によります。空欄に入る候補を減らして掛ける前に、その空欄に意味があるかを確認しましょう。

また、5P3を5 × 4 × 3 × 2 × 1とする間違いもあります。3は最後の因子ではなく、埋める場所の数です。5から始まる因子を3個書けば5 × 4 × 3で止まります。最後の候補数と、選ぶ個数を混同したときは、実際に3つの枠を描いて各枠の上に候補数を書くと修正できます。

手を動かして確かめる問題

次の答えは、いずれも整数で表してください。同じものを繰り返して使わないものとします。

1. 異なる7色のリボンから2色を選び、上と下に1本ずつ飾ります。飾り方は何通りですか。
2. 異なる4種類の写真を4つの位置に左から一列に並べます。並べ方は何通りですか。
3. 異なる8人から司会、記録、発表の担当をそれぞれ1人ずつ決めます。1人が複数の担当を兼ねないとき、決め方は何通りですか。
4. 異なる3個の印から2個を選ぶだけの場合と、2個を選んで左右に置く場合を考えます。それぞれ何通りですか。

答えと考え方

1. 上に7通り、下に残り6通りあるので、7 × 6 = 42通りです。上と下を交換すると飾りが変わります。各完成形から上と下の色を読み取れるため、42通りは元の条件を満たす飾りを重複なく表します。

2. 左から候補は4、3、2、1種類です。4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24通りです。どの完成形にも異なる写真が4枚入り、左から選び直せるので数え落としはありません。3位置までの並び24通りに対し、最後の写真が1種類に決まることでも確かめられます。

3. 司会に8通り、記録に7通り、発表に6通りあるので、8P3 = 8 × 7 × 6 = 336通りです。例えば同じ3人でも司会と記録を交代すれば担当表が変わります。完成した担当表には異なる3人が入り、各役から選んだ人を読み取れるので、問題の条件に戻しても重複はありません。

4. 左右に置く場合は3 × 2 = 6通りです。印をA、B、Cとすれば、AB、BA、AC、CA、BC、CBです。選ぶだけの場合はABとBAのように各組が2回ずつ現れるため、6 / 2 = 3通りです。組を直接書くとAB、AC、BCで、どれも異なる2個を含み、3個の印から作れる組を尽くしています。

覚えること

• 順列では場所や役割を交換すると別の結果になります。
• 異なるものを使い切らずに並べるとき、場所の数だけ候補を掛けます。
• nPrはnから1ずつ減らしたr個の因子の積です。
• 全部並べるとn!通りで、0!は1です。
• 選ぶだけなら、順序の違いを同じ結果に戻して確かめます。

途中式からつまずきを探す

答えが合わないときは、最初に式ではなく完成した結果を見ます。選んだものを交換しても同じ結果と答えるのに順列を使っていれば、選択の順序と結果の順序を混同しています。反対に、左右を交換すると別の結果なのに割っていれば、区別すべき配置をまとめています。

個別に確かめるときは、本人に場所を描いてもらい、2番目の候補がなぜ1つ減るのかを説明してもらいます。続いて、積の因子が何個必要かを枠と対応させ、完成形を1つ挙げて逆に選択の手順をたどります。式の値だけでなく、数えた結果が問題の条件に戻るかを確認できれば、順列を使う場面を自分で見分けられます。