高校数学A 和の法則と積の法則—重ならない場合分けと連続する選択を区別して数える｜武蔵野個別指導塾

樹形図と表で選択の重なりや枝ごとの違いを調べ、足す場面と掛ける場面を見極める和と積の法則です。

よくあるのは、定期テスト前に選択肢の数を見て、足すか掛けるか決めないまま式を書く場面です。3種類と4種類という数字が並んでも、どちらか一方を選ぶのか、両方から1つずつ選ぶのかで答えは変わります。まず何を1通りと数えるかを言葉にし、その1通りを作る道筋を描いてみましょう。式の記号は、道筋を整理した後で選びます。

どんな選択を数えるか

問題の型には、別々の種類からどちらかを選ぶものがあります。例えば赤いカードか青いカードを1枚選ぶとき、赤と青が重ならなければ、それぞれの枚数を足します。赤でも青でもあるカードが含まれる設定なら、単純な足し算ではそのカードを二度数えます。分類の名前だけでなく、実際に同じ結果が両方に入らないかを確認します。

別の型は、複数の選択を続けて1つの結果を作るものです。行き先と交通手段を1つずつ決めるような場面では、最初の選択それぞれに対し、次に選べる数が同じなら掛け算が使えます。結果に選んだ順番や役割が含まれるかも重要です。行き先と交通手段の役割は違うので、選んだ2つを入れ替えたものとして数える必要はありません。

さらに、最初の選択によって次の候補数が変わる型もあります。その場合は最初の候補数と、どれか1つの後に続く候補数をそのまま掛けられません。枝ごとに数えて足すか、同じ数の枝をまとめます。ここでは樹形図と表による数え方を扱い、集合の一般的な記号や公式には広げません。

足す箱と掛ける枝

和の法則は、数える対象を重ならない場合に分け、それぞれの個数を足す考え方です。分けた各場合に漏れがなく、1つの結果が2つ以上に入らないことが必要です。このように同時には起こらない場合を、互いに排反といいます。例えば選んだ1枚の色が赤である場合と青である場合は、各カードがどちらか一色なら排反です。

積の法則は、1つの結果を順に作るときに使います。最初にa通りあり、そのどの選択の後にも次がb通りあるなら、組はa × b通りです。最初の1通りごとにb個の結果があり、そのまとまりがa個あるからです。ただし、異なる選択の道筋が同じ結果を表すなら、そのままでは重複します。完成した結果と道筋が1対1に対応するかも確かめます。

図1のように、どちらかを選ぶ分岐では、終点を別の箱に分けて足します。両方を選ぶ分岐では、最初の各枝から同じ数の枝を伸ばし、終点を数えます。図1の2つの絵は同じ問題を別の方法で解いたものではなく、選択条件の違いを示しています。

図1の左は2通りまたは3通りから1つを選ぶので5通りです。右は最初の2通りのそれぞれに次の3通りがあり、6通りです。どちらも数字は2と3ですが、右では各結果に2段階の選択が含まれます。式の前に「または」なのか「そして」なのかを、自分の言葉で書くと区別しやすくなります。

ただし、問題文に「または」とあるだけで常に足せるわけではありません。両方の条件を満たす結果があれば重なるためです。また「そして」とあるだけで、候補数が一定と決まるわけでもありません。樹形図の枝の数と終点の意味を調べることが、記号を選ぶ根拠になります。

樹形図を描くときは、左から右へ選択を進め、枝の先に完成した結果を書きます。途中の枝だけを数えると、まだ選択が終わっていないものまで1通りに含めてしまいます。終点を数えた後で、2つの異なる道筋が同じ結果を表していないかを調べます。例えば2人を役割を決めずに選ぶ場面では、先に甲、次に乙と選ぶ道筋と、先に乙、次に甲と選ぶ道筋は同じ2人を表します。役割がないのに道筋をそのまま別々に数えることはできません。

表を使う場合も、行と列の名前を先に決めます。1行が最初の選択、1列が次の選択を表し、条件に合うマスを数えます。選べない組があるときは、そのマスを除いてから数えます。すべての行に同じ数のマスが残るとは限らないので、行数と列数を掛ける前に、使えるマスが長方形に並んでいるかを確認します。

基本例題：表の1マスを1通りにする

ある展示で、しおりを1枚と台紙を1枚選んで組にします。しおりは鳥、木、星の3種類、台紙は白、青の2種類です。どのしおりにもどの台紙も使え、同じ種類のものは区別しません。組の種類は何通りですか。整数で答えてください。

1通りは「しおりの種類と台紙の種類の組」です。先にしおりを決めると3通りあります。鳥を選んだ後の台紙は白と青の2通りで、木や星を選んだ後も同じ2通りです。図2のように行をしおり、列を台紙にすると、1マスが1組に対応します。

図2の各行には2マスあり、3行あります。よって式は次のようになります。

3 × 2 = 6

答えは6通りです。足し算なら2 + 2 + 2 = 6であり、掛け算はこの同じ数のまとまりを短く書いたものです。鳥と白の組は鳥の行と白の列の交点に1回だけ現れます。木や星についても同様なので、表のマスの数は組の種類と一致します。

台紙を先に選んでも、白のとき3通り、青のとき3通りです。そのため2 × 3 = 6とも書けます。どちらの順に選ぶ説明でも、完成する組は同じです。3 + 2 = 5とすると、しおりだけ、台紙だけを別々の候補として数えてしまい、両方を含む組の数になりません。

答えを場面へ戻すと、鳥には白と青、木にも白と青、星にも白と青が対応します。3種類の各しおりについて2種類ずつあり、6マスに漏れも重なりもありません。候補がすべて組めるという条件が、各行の長さを同じにする根拠です。

条件によって枝の長さが変わる例

文化行事の案内板に、異なる記号A、B、C、Dから2つを選んで左から順に並べます。同じ記号は2回使えず、Aを使う場合は必ず左に置きます。並びは何通りですか。整数で答えてください。

まず左にAを置く場合は、右にB、C、Dのいずれかを置けます。したがって3通りです。次にAを使わない場合は、左にB、C、Dの3通りがあり、右には残りの2通りがあります。この場合は各左の選択の後に右の候補が2通りずつなので、3 × 2 = 6通りです。

Aを使う並びと使わない並びは重ならず、条件を満たす並びは必ずどちらかに入ります。よって3 + 6 = 9通りです。実際にAを使うものはAB、AC、ADです。使わないものはBC、BD、CB、CD、DB、DCです。9個はいずれも左右で異なる記号を使い、Aがあれば左にあります。

ここで左の候補を4通りとし、右の候補を常に3通りとして4 × 3 = 12とするのは誤りです。左がB、C、Dのとき、右にAを置くことはできません。左がAなら右は3通りですが、それ以外なら右は2通りです。枝の長さがそろわないため、全体を1つの積にせず場合分けしました。

別の確かめ方では、制限をいったん外すと4 × 3 = 12通りです。そこからAが右にあるBA、CA、DAの3通りを除くと12 − 3 = 9通りです。除いた3つは互いに異なり、禁止される並びを漏れなく表します。引き算の方法でも、何を除いたかを明示すると検算になります。

重なりを見つけて数え直す

1から6までの番号が1つずつ書かれた6枚の札から1枚選びます。偶数または3の倍数の札は何枚ですか。整数で答えてください。「偶数は3枚、3の倍数は2枚だから3 + 2 = 5枚」とするのは誤答です。

図3のように偶数は2、4、6、3の倍数は3、6です。6は両方に入るので、3 + 2では同じ札を2回数えています。和の法則でそのまま足すには、数える場合が排反でなければなりません。数字が違う2つの条件でも、条件を満たす札が重なることはあります。

図3では、偶数の3枚を先に数え、残る3の倍数のうち偶数でない3を1枚加えます。3 + 1 = 4なので答えは4枚です。対象の札を並べると2、3、4、6で、どれも元の条件の少なくとも一方を満たします。1と5はどちらも満たしません。

もう1つの直し方は、3 + 2から重複した6の1回分を引くことです。3 + 2 − 1 = 4となります。重なりが何枚かを調べずに1を引くのは危険です。重なりがない場合や複数枚ある場合には、その個数に応じて修正します。何を1回余分に数えたのか、札の名前を示せるかが点検の目印です。

誤答を直すときは、偶数であることと3の倍数であることを別々の箱の名前にしただけで、札そのものが別になるわけではないと考えます。2は偶数の箱に入り、3は3の倍数の箱に入りますが、6は両方の箱に入ります。箱に入れた回数と実際の札の枚数を区別することが必要です。逆に、偶数と奇数のように1枚が同時に両方へ入らない分類なら、各箱の枚数をそのまま足せます。

練習問題

それぞれ、数える対象を明確にして整数で答えてください。候補の名前が異なるものは区別します。

1. 科学室で標本を1つ選びます。鉱物は4種類、植物の種子は5種類あり、両者に共通する標本はありません。鉱物か種子のどちらか1種類を選ぶ方法は何通りですか。
2. 飲み物を麦茶、豆乳の2種類から1つ、容器を丸、四角、三角、六角の4種類から1つ選びます。どの組も可能なとき、飲み物と容器の組は何通りですか。
3. 異なる数字1、2、3、4、5から異なる2つを選んで十の位と一の位に置きます。十の位が偶数である2桁の整数は何個ですか。
4. 1から10までの整数から1つ選びます。4の倍数または5の倍数は何個ですか。

練習の答えと道筋

1. 鉱物と種子は共通せず、選ぶ1種類はいずれか一方です。4 + 5 = 9より9通りです。場面へ戻すと鉱物4種類と種子5種類がそれぞれ1回現れ、両方に数えられる標本はありません。掛け算にすると2種類を組にする数になり、1種類を選ぶ条件と合いません。

2. 麦茶の後には4種類の容器があり、豆乳の後にも同じ4種類があります。2 × 4 = 8より8通りです。表にすれば2行4列で、各マスに飲み物と容器が1つずつ入ります。2 + 4では完成した組を数えていません。8組を飲み物ごとに分けると、それぞれ4組に戻ります。

3. 十の位は2または4の2通りです。そのいずれを選んでも、一の位には残りの4個を使えます。2 × 4 = 8より8個です。十の位が2なら21、23、24、25、4なら41、42、43、45です。どの数も2桁で十の位が偶数、2つの数字は異なります。十の位を先に決めた後、同じ数字を一の位に残さないことが必要です。

4. 4の倍数は4、8の2個、5の倍数は5、10の2個です。この範囲には両方を満たす整数がないので、2 + 2 = 4より4個です。並べ直すと4、5、8、10で、いずれも1から10の範囲内です。範囲を広げれば共通する倍数が現れるため、今回重ならないという確認を別の範囲にもそのまま使わないようにします。

練習3では、最初に十の位を決めることで「偶数」という条件をすぐ反映できます。一の位から決める方法もありますが、先に2か4を使ったかどうかで十の位の候補数が変わります。例えば一の位が2なら十の位は4に限られ、1なら2と4の両方が使えます。どちらから始めても、枝ごとの候補を正しく数えれば同じ8個に到達します。条件の強い位置から決めると、枝の数がそろいやすいことが見て取れます。

練習4では、条件を満たす数を実際に列挙してから足し算の可否を判断しました。片方に当てはまらないことを確かめるには、各候補をもう一方の条件へ戻します。4と8はいずれも5の倍数ではなく、5と10はいずれも4の倍数ではありません。条件の名前が異なることだけを根拠にせず、候補そのものを照合しています。

手元に残す要点

• 和は、漏れなく重ならない場合の個数を足します。
• 積は、各段階の選択が1つの結果に対応し、次の候補数が一定のときに使います。
• 枝ごとに候補数が変わるときは、枝を分けて数えます。
• 最後に結果を元の条件へ戻し、漏れと重複を確かめます。

途中式からつまずきを探す

式が足し算でも掛け算でも、まず「1通りには何が入るか」を説明してみてください。答えが個々の候補の数なのか、複数の選択を含む組の数なのかが曖昧なら、1つ具体例を書き、同じ形の結果を表の1マスに置きます。条件を満たさないマスにも印を付けると、候補数が変わる理由が見えてきます。

個別指導で確かめるなら、基本例題の3 × 2の「2」がどのしおりの後にも同じ理由と、案内板の例で右の候補数が変わる理由を、図の枝を指しながら説明してもらいます。和を使う式では、異なる場合に同じ結果が入らないことも具体例で確かめます。選択の道筋と完成した結果が対応すれば、足すか掛けるかの判断に根拠が生まれます。