高校数学I 分散と標準偏差—偏差の二乗から散らばりを計算して単位を読み分ける｜武蔵野個別指導塾

偏差の二乗をデータ数で割る理由と、単位や一次変換による変化をたどり、計算の誤りから見直す分散と標準偏差です。

よくあるのは、定期テストの復習で高校生が偏差の平均を散らばりの指標にする場面です。平均より大きい値と小さい値の偏差を足すと、広がりがあっても打ち消し合います。0という結果を見て、値がすべて同じだと考えると、資料の形を取り違えます。偏差を二乗してから平均する手順を、実際の数と単位で確かめましょう。

どんな形で問われるか

1つ目は、いくつかの値から平均、偏差、分散、標準偏差を順に求める問題です。途中の表を作れば、引き算の向きと二乗のし忘れを点検できます。標準偏差は分散の正の平方根として求め、分散が0なら0です。

2つ目は、二乗した値の平均と平均値の二乗の差を使う問題です。もとの値を1つずつ引き直さなくてもよい一方で、引く順序を間違えると負の数が出ることがあります。分散は二乗の平均なので負にはなりません。

3つ目は、各値に同じ数を掛けたり足したりした後の分散を考える問題です。足し算は中心を動かしますが、中心からの距離は変えません。掛け算は距離自体を変えるため、分散と標準偏差で倍率が異なります。ここでは与えられたデータの個数で割る分散を扱い、不偏分散は扱いません。

偏差から散らばりへ

平均は値の合計をデータ数で割ったものです。各値から平均を引いた差を偏差といいます。平均より大きければ偏差は正、小さければ負、等しければ0です。たとえば値が2、4、6なら平均は4で、偏差は順に-2、0、2です。図1のように平均から左右への差を符号つきで記録します。

図1の偏差を足すと0ですが、両端の値は平均から離れています。実際、一般に値の合計から「平均をデータ数回足した数」を引けば0なので、偏差の平均は常に0です。そこで各偏差を二乗すると、符号による相殺を避けられます。この例の二乗は4、0、4です。その平均8/3が分散で、標準偏差は√(8/3)です。

値の単位がcmなら偏差の単位もcmです。偏差を二乗した分散の単位はcm²、平方根を取った標準偏差の単位はcmに戻ります。標準偏差は元の値と同じ単位で散らばりの大きさを表せます。ただし、標準偏差は各値と平均の距離をそのまま平均した値ではありません。二乗して平均し、最後に平方根を取った値です。

データ数が正の整数nで、各値をx₁、x₂、…、xₙ、平均をmとすると、分散は次の式です。

分散 = {(x₁ − m)² + (x₂ − m)² + … + (xₙ − m)²}/n

どの項も0以上ですから、分散も0以上です。分散が0になるのは、各偏差が0、つまりすべての値が平均に等しい場合です。データ数が0では平均も定義できないため、この式を使えません。

基本例題：表で一段ずつ計算する

問題：4本の紙片の長さを、自作のデータとして1 cm、3 cm、5 cm、7 cmとします。平均、分散、標準偏差を求めてください。平均と分散は整数、標準偏差は根号を含む正確な値で表し、それぞれ単位も付けます。

まず、平均は合計を4で割ります。

平均 = (1 + 3 + 5 + 7)/4 = 16/4 = 4 cm

次に各値から4を引きます。図2のように偏差とその二乗を対応させます。

偏差の和は-3 − 1 + 1 + 3 = 0です。この確認は引き算を見直す手掛かりになりますが、和が0なら各偏差が正しいと保証されるわけではありません。個々の引き算も確認します。

二乗の和は9 + 1 + 1 + 9 = 20です。与えられたデータは4個なので、分散は20/4 = 5 cm²です。標準偏差は分散の平方根で、√5 cmです。負の平方根を選ぶことはありません。

元の条件に戻して確かめると、平均4 cmに偏差-3、-1、1、3 cmを順に足して1、3、5、7 cmとなります。紙片の長さが元の4本に戻り、合計も16 cmです。したがって、偏差の並びと平均の対応を確認できます。

別の式も導いてみましょう。各偏差の二乗を展開し、平均を取ると、値の二乗の平均から2mを掛けた値の平均を引き、最後にm²を加えます。値の平均はmなので、真ん中の部分は-2m²です。よって分散は「値の二乗の平均 − 平均の二乗」です。

この紙片では値の二乗の平均は(1 + 9 + 25 + 49)/4 = 21 cm²です。平均の二乗は16 cm²なので、21 − 16 = 5 cm²と同じ結果になります。二乗の平均と平均の二乗は別の量で、両方を同じものとして扱うことはできません。

同じ平均でも形は異なる

平均が同じ2組の資料を比べると、中心と散らばりの役割が見えてきます。例えば3、4、5と、0、4、8はいずれも平均が4です。前者の偏差は-1、0、1で、分散は2/3です。後者の偏差は-4、0、4で、分散は32/3です。平均が同じという情報だけでは、平均からどれほど離れた値があるかは決まりません。後者の偏差は前者の4倍なので、分散が16倍になっていることも確認できます。

一方、3、4、5をそれぞれ2増やした5、6、7では、平均も2増えて6になります。偏差は-1、0、1のままです。分散は2/3のままで、標準偏差も変わりません。全体を同じ距離だけ動かした場合と、平均からの距離を伸ばした場合を区別すると、一次変換の式を覚えるだけでなく意味から確認できます。

値の単位が同じ資料どうしでも、分散の差は元の値の差と同じ単位ではありません。分散が4増えたからといって、平均からの距離が4増えたとは言えません。標準偏差を比べる場合にも、それが個々の値のすべての距離を表すわけではない点に注意します。集めた値を平均からどの程度の規模で離れているかを見るための指標として読みます。

二乗平均との差を使う前の確認

二乗の平均を使うときは、まず各値を二乗してから合計し、個数で割ります。平均の二乗は、先に平均を出してからその結果を二乗します。操作の順序が異なるので、計算欄を分けると混同を防げます。差が負になったときは、引く順序、二乗の符号、データ数のいずれかを見直します。

例えば値がすべて同じなら、各値は平均に等しく、偏差はすべて0です。このとき二乗の平均と平均の二乗も等しく、差は0です。逆に少なくとも1つの値が平均と異なれば、その偏差の二乗は正で、ほかの二乗は負にならないので、分散は正です。0となる条件を確認すると、計算結果が場面に合っているかを判断できます。

少し難しい例題：単位を変えた後の値

問題：ある4枚のカードの長さは2 cm、4 cm、6 cm、8 cmです。それぞれの数値を-2倍してから10を加えた数を、新しい記録とします。新しい記録の平均、分散、標準偏差を求めてください。記録は単位を付けない数とし、平均と分散は整数、標準偏差は根号を含む正確な値で表します。

元の平均は(2 + 4 + 6 + 8)/4 = 5です。偏差は-3、-1、1、3なので、その二乗の平均は(9 + 1 + 1 + 9)/4 = 5です。元の標準偏差は√5です。

各値を-2倍して10を加えると、新しい値は6、2、-2、-6です。平均は元の平均を同じように変えて、-2 × 5 + 10 = 0です。実際に(6 + 2 − 2 − 6)/4 = 0となります。新しい偏差は6、2、-2、-6、二乗は36、4、4、36です。

したがって新しい分散は(36 + 4 + 4 + 36)/4 = 20、標準偏差は√20 = 2√5です。新しい各値から10を引いて-2で割ると、順に2、4、6、8に戻ります。平均も0から同じ逆の操作で5に戻るので、記録の作り方と答えが対応しています。

一般に元の値をx、平均をmとし、新しい値をax + bとすると、新しい平均はam + bです。新しい偏差は(ax + b) − (am + b) = a(x − m)です。したがって分散はa²倍、標準偏差は|a|倍です。bは偏差を取ると消えます。

ここでaが負なら、偏差の符号は逆になりますが、標準偏差は負にならないため倍率は-aです。aが正なら倍率はa、aが0なら全値がbになり分散も標準偏差も0です。たとえば長さをcmからmmに直す場合、数値は10倍なので分散の数値は100倍、標準偏差の数値は10倍になります。単位もそれぞれmm²、mmに変わります。

誤答を手掛かりに直す

平均4のデータ2、4、6について、「偏差の平均が0だから分散は0」と答えたとします。図3のように偏差の和を求める段階と、偏差の二乗の平均を求める段階は別です。

偏差は-2、0、2で和は0です。しかし二乗は4、0、4なので、分散は(4 + 0 + 4)/3 = 8/3です。誤りの原因は、正負が打ち消される和を距離の大きさと取り違えたことです。各偏差を二乗してから足し、データ数3で割るように直します。元の平均4に偏差を足せば、2、4、6に戻ります。

別の失敗として、偏差の二乗の合計をデータ数より1小さい数で割ることがあります。この範囲で使う分散は、与えられた値の個数で割ります。分母に迷ったら、まず表の値の個数を書き出してください。平方根を取る前の分散と、取った後の標準偏差の単位を混同する場合もあります。cm²の平方根はcmと書き、元の量と照らして点検します。

練習：手順と変換を使い分ける

次の3問はそれぞれ独立した自作のデータです。答えは問題をまとめた後にあります。分数は約分し、根号は正確な形で表してください。

1. 3本の棒の長さが1 cm、2 cm、6 cmです。平均と分散を分数または整数で、標準偏差を根号を含む正確な値で求め、それぞれ単位を付けてください。
2. 4つの数0、2、2、4について、二乗の平均と平均の二乗を求め、分散と標準偏差を整数または根号を含む正確な値で求めてください。単位はありません。
3. 5つの数3、3、5、7、7をそれぞれ3倍して2を引きます。変換後の平均、分散、標準偏差を整数または根号を含む正確な値で求めてください。単位はありません。

解答と道筋

1. 平均は(1 + 2 + 6)/3 = 3 cmです。偏差は-2、-1、3 cm、二乗は4、1、9 cm²です。分散は(4 + 1 + 9)/3 = 14/3 cm²、標準偏差は√(14/3) cmです。平均3に偏差を戻すと1、2、6 cmとなり、合計9 cmも元の条件と合います。

2. 平均は(0 + 2 + 2 + 4)/4 = 2、二乗の平均は(0 + 4 + 4 + 16)/4 = 6です。平均の二乗は4なので、分散は6 − 4 = 2、標準偏差は√2です。偏差は-2、0、0、2で、平均2を足すと元の4つの数に戻ります。偏差の二乗からも(4 + 0 + 0 + 4)/4 = 2と確認できます。

3. 元の平均は(3 + 3 + 5 + 7 + 7)/5 = 5です。偏差は-2、-2、0、2、2なので、分散は(4 + 4 + 0 + 4 + 4)/5 = 16/5です。変換後の平均は3 × 5 − 2 = 13、分散は9 × 16/5 = 144/5、標準偏差は√(144/5)です。変換後の値は7、7、13、19、19で、その平均は13です。それぞれに2を足して3で割れば元の5つの数に戻ります。変換後の偏差の二乗の和は36 + 36 + 0 + 36 + 36 = 144となり、5で割れば分散も一致します。

要点を短く

偏差は各値から平均を引いた差です。 分散は偏差の二乗の平均で、データ数で割ります。 標準偏差は分散の平方根で、元の値と同じ単位です。 各値をa倍してbを加えると、分散はa²倍、標準偏差は|a|倍です。

つまずいた場所を見つける

表を書いても偏差の列で止まるなら、平均を各値から引く向きを確認します。偏差を二乗できるのに分散が合わないときは、二乗の和とデータ数を指で対応させます。値が同じ資料では分散が0になるかも、式の意味を見直す手掛かりです。

個別指導で確かめるなら、答えだけでなく、値を変えたときの平均と偏差を本人の言葉で説明できるかを見ると、どこで操作が途切れたかを特定できます。負の数を掛けたときに標準偏差が負にならない理由まで、二乗と平方根の順に戻って確かめます。偏差の符号と大きさを区別できれば、散らばりを数で読み取れます。