高校数学I 三角形の面積—二辺と間の角の正弦を使って高さと面積を結ぶ｜武蔵野個別指導塾

高さと角の対応から、鈍角や三辺が与えられた場合にも求められるのが三角形の面積です。

よくあるのは、定期テストの復習で高校生が間の角を確かめずに面積公式へ数を入れるという場面です。辺の長さが2つと角が1つ見えても、その角が2辺の交点にあるとは限りません。どの辺を底辺に選び、残る辺から高さをどう作るかを図に書き込むと、公式に入れる角を判定できます。鈍角の場合も高さは正の長さです。三角形の外に垂線が落ちる図まで含めて、同じ面積の式につなげます。

数字を入れる前に問われること

出題の型の1つは、2辺とその間の角から面積を求める問題です。長さを掛ける前に、2辺が接する頂点に角の印があるか見ます。式を覚えていても、隣り合わない位置の角を使うと、底辺に対する高さが別のものになります。

2つ目は、角が鈍角のときに高さを作る問題です。垂線の足は底辺の延長上に落ちます。三角形の外に線を引いても、底辺を含む直線への垂直な距離が高さであることは変わりません。補角の正弦を使えば、高さを正の数として表せます。

3つ目は、3辺の長さから面積を求める問題です。まず余弦定理で1つの角の余弦を出し、三角比の関係から正弦を求めます。どの2辺とその間の角を選んだかが途中式に残っていると、数値の対応を点検しやすくなります。ここでは三辺から別の面積公式を直接使う方法は扱いません。

高さを辺と角に置き換える

三角形ABCで、AB = c、AC = b、角BAC = Aとします。AはABとACの間の角です。面積をSとすると、底辺をABにしたときの高さは、Cから直線ABに下ろした垂線の長さです。この高さをhと置けば、まず

S = c × h ÷ 2

です。これは底辺と高さを掛け、その半分を取る面積の式です。斜めの辺ACを高さと見なしてはいけません。高さには底辺の直線に垂直という条件があります。

図1のようにAが鋭角なら、垂線の足をHとして直角三角形ACHを見ます。sin A = CH / ACなので、h = b sin Aです。したがって、

S = (1/2)bc sin A

を得ます。bとcの順を入れ替えても積は同じですが、Aはその2辺の間の角という対応を変えられません。底辺をACに替えれば、ABからの高さはc sin Aとなり、同じ式に戻ります。

図1の直角の印はCHとABが垂直であることを表します。Aが直角ならh = bで、sin 90° = 1を入れても同じ式です。Aが鈍角なら、HはAを越えたABの延長上にあります。角CAHは180° − Aなので、h = b sin(180° − A) = b sin Aです。このように足の位置は変わっても、面積の式は成立します。

三角形の内角は0°より大きく180°より小さいので、その正弦は正です。面積の計算で負の高さを採用しない理由もここにあります。頂点が一直線に並ぶ0°や180°では三角形ができないため、この説明の対象から外します。

基本例題：間の角から高さを求める

三角形ABCでAB = 8 cm、AC = 6 cm、角BAC = 30°です。面積を平方センチメートル単位で、整数または分数の正確な値で求めてください。

図2のように、まず与えられた角がABとACの間にあると確認します。ABを底辺として、CからABに下ろした垂線の足をHとします。CHをh cmとすると、直角三角形ACHで

sin 30° = h / 6

です。sin 30° = 1/2なので、両辺に6を掛けて

h = 6 × (1/2) = 3

となります。よって底辺と高さの式から、

S = 8 × 3 ÷ 2

S = 12 cm²

です。最初から面積公式を使っても、S = (1/2) × 8 × 6 × sin 30° = 12 cm²と同じ値になります。2つの辺とその間の角を確認してから代入する点は、高さを経由するときと同じです。

答えを図の条件に戻して確かめます。高さ3 cmを斜辺6 cmで割ると1/2で、与えられた30°の正弦に一致します。また、底辺8 cm、高さ3 cmの長方形を考えれば、その面積24 cm²の半分が12 cm²です。単位も長さ同士の積なのでcm²になります。面積12を高さそのものとして書かないようにします。

この図で、角ABCを30°として使うことはできません。30°の印が付いているのはAだからです。もし角Bの大きさが別途与えられていたとしても、その正弦と組にするのはBで交わるBAとBCです。公式の3つの入力を、図の1つの頂点を中心に拾います。

三辺から角を作るときの分かれ目

三角形PQRの辺PQ = 5 cm、PR = 7 cm、QR = 8 cmです。面積を平方センチメートル単位で根号を含む正確な値として求めてください。

5 + 7 > 8、5 + 8 > 7、7 + 8 > 5なので、与えられた3辺で三角形を作れます。PQとPRの間の角をPとし、その向かいの辺QRを使います。余弦定理より

8² = 5² + 7² − 2 × 5 × 7 cos P

64 = 25 + 49 − 70 cos P

70 cos P = 10

cos P = 1/7

です。余弦と正弦の関係から

sin² P = 1 − cos² P

= 1 − 1/49 = 48/49

を得ます。Pは三角形の内角なのでsin P > 0です。二乗を戻すときに正の値を選び、sin P = 4√3/7となります。面積は

S = (1/2) × 5 × 7 × (4√3/7)

= 10√3 cm²

です。余弦が負になる別の三角形でも、内角の正弦は正です。余弦の符号から角が鋭角か鈍角かを判断することと、正弦の正負を選ぶことは別に考えます。

条件に戻して確認します。求めたcos P = 1/7を余弦定理の右辺に入れると25 + 49 − 70/7 = 64で、向かいの辺は8 cmです。また、高さをPRから作れば7 × 4√3/7 = 4√3 cmです。底辺5 cmに掛けて半分にすると10√3 cm²となり、面積公式の結果と一致します。正弦も余弦も二乗の和が1になることを厳密な分数で確認できます。

三辺から角を選ぶときは、選んだ2辺の積と、その間の角の向かい側の辺を対応させます。余弦定理で向かい側を取り違えると、正弦への変換が正しくても別の三角形を計算してしまいます。計算に入る前に角と向かいの辺に印を付けると、式の各項の意味が残ります。

間の角を取り違えた答案を直す

三角形ABCでAB = 8 cm、AC = 6 cm、角ABC = 30°とします。角Aは与えられていません。このとき、誤って「面積は(1/2) × 8 × 6 × sin 30° = 12 cm²」と書いたとします。式の形は面積公式に似ていますが、8と6の間の角はAであり、30°はBにあります。

図3のように、Bを中心に2辺をたどると、30°を挟むのはBAとBCです。BCの長さをx cmと置けば、Bの角を使った面積は(1/2) × 8 × x × sin 30° = 2x cm²です。与えられた6 cmをxの位置に入れる根拠はありません。

この条件では三角形が実際に2通りでき、面積も1つに定まりません。余弦定理を角Bについて使うと、6² = 8² + x² − 2 × 8 × x × cos 30°です。整理するとx² − 8√3 x + 28 = 0で、x = 4√3 ± 2√5となります。どちらも正で、Bから出る2本の辺と30°を使って三角形を作れます。面積はそれぞれ8√3 + 4√5、8√3 − 4√5 cm²です。

両方のxを元の式に戻すと、x² − 8√3 x + 28 = 0が成り立ち、向かいの辺ACは6 cmに戻ります。角の値が同じでも、向かいの辺と残る辺の組合せが異なり得る点が原因です。修正では、まず30°を挟む辺を図から拾い、長さの不足に気づくことが先です。数が3つ見えても、公式の対応がそろったとは限りません。

面積から角を探すとき

面積と2辺が与えられ、間の角を逆に求める場合もあります。面積公式をそのまま角について解こうとせず、まず正弦の値を取り出します。たとえば2辺をp、q、面積をTとすれば、sin A = 2T / (pq)です。pとqは三角形の辺なので正であり、割る操作ができます。得られた値が1を超えれば、その数値の組合せでは三角形を作れません。高さが辺の長さを超えることに相当するからです。

正弦の値が0より大きく1より小さいとき、鋭角と鈍角の2つの候補があることにも注意します。2つは和が180°になる角です。角が鋭角という条件や、別の辺の長さなどで絞れるかを確認します。正弦が1なら内角は90°です。正弦が0なら面積は0となり、通常の三角形になりません。数式を変形できることと、図形として成立することを別々に点検します。

面積は底辺をどの辺に選んでも同じです。ただし高さは底辺の選択に応じて変わります。最初の底辺に対する高さを、別の辺にそのまま掛け直すと、同じ面積を再現できません。異なる2つの底辺で計算を比べるときは、それぞれの底辺に垂直な高さを新しく描きます。この見直しは、途中式の掛け算だけを点検するよりも、立式自体の誤りを見つける助けになります。

図を描く際には、長さが指定された辺と求める高さを別の印で区別します。補助線を足した後も、元の角の位置が変わらないことを見直してください。

自分で試す4問

以下では長さをcm、面積をcm²とし、答えは根号や分数を使った正確な値で表してください。図が必要なら、自分で辺と角の位置を描いてから式を立てます。

1. 三角形DEFでDE = 10、DF = 4、角EDF = 60°です。面積を求めてください。
2. 三角形GHIでGH = 6、GI = 5、角HGI = 150°です。面積と、底辺GHに対する高さを求めてください。
3. 三角形JKLでJK = 3、JL = 4、KL = 5です。角Jの余弦と正弦を求め、それらを使って面積を求めてください。
4. 三角形MNOの面積は6√2、MN = 6、MO = 4です。角Mは鋭角です。角Mを度数で求めてください。

解答と確かめ方

1. 60°はDEとDFの間です。DFから作る高さは4 sin 60° = 2√3です。したがって面積は10 × 2√3 ÷ 2 = 10√3 cm²です。高さを4で割ると√3/2となり、与えられた角の正弦に戻ります。底辺と高さの積の半分も答えに一致します。

2. 150°は鈍角なので、IからGHの延長に垂線を下ろします。sin 150° = sin 30° = 1/2より、高さは5 × 1/2 = 5/2 cmです。面積は6 × (5/2) ÷ 2 = 15/2 cm²です。高さを5で割ると1/2で、150°の正弦に一致します。底辺6 cmと高さ5/2 cmを面積の式に戻しても15/2 cm²です。

3. 3 + 4 > 5なので三角形が成立します。角Jの向かいはKLですから、余弦定理で25 = 9 + 16 − 24 cos Jとなり、cos J = 0です。内角の正弦は正なのでsin J = 1です。面積は(1/2) × 3 × 4 × 1 = 6 cm²です。余弦を戻すとKL² = 25となり、与えられたKL = 5に一致します。高さ4 cmと底辺3 cmからも面積は6 cm²です。

4. 角MはMNとMOの間なので、6√2 = (1/2) × 6 × 4 × sin Mです。両辺を12で割るとsin M = √2/2です。鋭角という条件からM = 45°です。これを元の面積式に戻すと12 × √2/2 = 6√2となります。鋭角という条件を外すと135°も同じ正弦を持つため、角を1つに決められません。

手元に残す要点

2辺の交点にある角を選びます。
高さはもう一方の辺と、その角の正弦の積です。
鈍角では底辺を延長して高さを取ります。
三辺からは余弦、正の正弦、面積の順に進みます。

どこで手が止まるかを見分ける

図に垂線を引けないときは、底辺を含む直線に垂直な線を頂点から引くところまで戻ります。垂線の足が辺の外にあっても、頂点から直線までの距離を高さとして読めるか確かめます。式を立てた後に止まる場合は、sinの分母がどの斜辺に対応するかを指でたどると、どの長さを掛けるか説明しやすくなります。

個別指導で確かめるなら、まず辺の数値を隠して、どの2辺と角が公式の組になるかを説明してもらいます。次に三辺の問題で、余弦定理の左辺に置く辺を指してもらい、正弦の平方根の符号を選ぶ理由を聞きます。最後に答えを高さと元の辺の関係へ戻せれば、計算の途中にある取り違えを見つけられます。面積の式は、図の高さと結び付けて初めて意味を持ちます。