高校数学I 二次関数の活用—文章の条件を定義域と式に直して最適な値を探す｜武蔵野個別指導塾

ひもの本数から長方形の面積を立式し、頂点を使える定義域と辺の上限による解の適否を照合します。

よくあるのは、定期テストの復習で面積の式は作れたのに、長さの条件を忘れてしまう場面です。放物線の頂点を求めても、その位置で図形が作れなければ答えには使えません。文章にある長さを図に移し、変数の範囲と面積の式を並べてから、元の場面に戻して答えを確かめましょう。

文章題で探すもの

出方の1つは、決まった長さの材料で長方形を囲むとき、面積が最大になる辺の長さを求める問題です。使う辺が3辺か4辺かによって、残りの辺の式が変わります。囲まない辺を数えてしまうと、その先の平方完成が正しくても別の問題を解いたことになります。

もう1つは、辺に上限や下限がある問題です。式の頂点が範囲に入ればそこで最大になり、入らなければ範囲の端を調べます。端を含むかどうかも文章から決めます。辺の長さは正ですが、「何 cm 以上」などの制限があれば、その等号を見落とさないことが必要です。

面積が指定されたときの辺を求める問題もあります。二次方程式の解が2つ出ても、両方が長さの条件を満たすとは限りません。整数に限るなどの条件があれば、その条件にも戻します。ここでは長さと面積を扱い、実在の数値を調べる必要はありません。

長さを文字にしたら範囲も書く

長方形の一辺を x cm と決めたら、向かい合う辺も x cm です。例えば3辺に合計 20 cm の材料を使うとき、同じ長さの2辺を先に引けば、残る1辺は (20 − 2x) cm です。面積を S cm² とすると S = x(20 − 2x) です。図1のように、式を作る矢印と範囲を決める矢印はどちらも同じ図形から出ます。

図1では、x が正で、残る辺 20 − 2x も正でなければ長方形になりません。したがって x > 0 かつ 20 − 2x > 0 より、0 < x < 10 です。x = 0 や x = 10 では一辺が0になり、面積は計算できても長方形の条件を満たしません。問題が面積0の退化した形まで認めると明示するなら端の扱いは変わるので、図形の条件を先に読みます。

定義域とは、ここでは文章の条件を満たす x の範囲です。式自体に x = 12 を代入する計算はできますが、残る辺は負になり、長さとして使えません。計算できる値と、問題に採用できる値を区別します。逆に、範囲を決める前に都合のよい整数だけを試しても、その間の値を含めた最大値の根拠にはなりません。

平方完成をすると、面積を「頂点の値から、0以上の量を引いた形」にできます。ただし、その頂点の x が定義域にあることを確認して初めて、等号が実現します。問題が最大値を尋ねているのか、そのときの長さも尋ねているのかを見て、単位を付けて答えます。

基本例：3辺を囲む長方形

壁に接する長方形の区画を作ります。壁に沿う1辺には材料を使わず、残る3辺に合計 24 cm のひもを、余りなくまっすぐ使います。壁に垂直な2辺の長さは等しいものとします。面積が最大になるときの2種類の辺の長さを cm、最大面積を cm² で、整数または正確な分数で求めてください。

図2のように壁に垂直な辺を x cm と置きます。壁と反対側の辺は、全体の 24 cm から x cm を2本引いて (24 − 2x) cm です。3辺の合計が 2x + (24 − 2x) = 24 になることも、この段階で確かめられます。

長方形の辺はともに正なので、x > 0 と 24 − 2x > 0 を連立し、定義域は 0 < x < 12 です。面積を S cm² とすると、縦と横の積から次の式になります。

S = x(24 − 2x)

S = -2x² + 24x

S = -2(x² − 12x)

S = -2((x − 6)² − 36)

S = -2(x − 6)² + 72

二次の係数 -2 をくくってから平方を作り、最後に括弧を展開して定数を戻しました。(x − 6)² は0以上なので S は 72 以下です。等号が成り立つのは x = 6 のときで、6 は 0 < x < 12 に入ります。したがって、この値は実際に作れる長方形で達成されます。

もう一方の辺は 24 − 2 × 6 = 12 cm です。答えは、壁に垂直な辺が 6 cm、壁に平行な辺が 12 cm、最大面積が 72 cm² です。元の条件へ戻すと、ひもは 6 + 6 + 12 = 24 cm で余りません。面積も 6 × 12 = 72 cm² です。頂点の座標を出した後、この2つの確認をすると、辺の取り違えと単位の間違いを発見できます。

なお、範囲の両端では一辺が0となり長方形になりません。今回は頂点が範囲の内側にあるため、端を含めなくても最大値は実現します。端を含まない問題で、常に端の値を最大値として採用できるわけではありません。

頂点が範囲に入らないとき

周の長さが 40 cm の長方形を作ります。一方の辺は 12 cm 以上 15 cm 以下です。この辺の長さと、面積の最大値を、それぞれ cm と cm² を単位として整数または正確な分数で求めてください。

制限された辺を x cm とすると、向かい合う辺を2本ずつ足して周が 40 cm です。もう一方の辺を y cm と置けば、2x + 2y = 40、したがって y = 20 − x です。与えられた 12 ≤ x ≤ 15 の範囲では y も 5 cm 以上 8 cm 以下で正です。よって、この範囲の各 x は長方形を作ります。

面積を S cm² とすると、S = x(20 − x) = -x² + 20x = -(x − 10)² + 100 です。放物線の頂点は x = 10 ですが、指定された範囲にありません。そこで、12 ≤ x ≤ 15 なら 2 ≤ x − 10 ≤ 5 となることに注目します。どちらも正なので (x − 10)² は x = 12 で最小の 4 となり、S はそのとき最大です。

x = 12 のとき y = 8、S = 12 × 8 = 96 です。求める辺は 12 cm、最大面積は 96 cm² です。確認すると周は 2 × (12 + 8) = 40 cm で、12 cm は指定範囲の端を含みます。もう一方の端 x = 15 では面積が 15 × 5 = 75 cm² です。頂点の 100 cm² は式の最大値ですが、長さの制限を満たす答えではありません。

分かれ目は、頂点が範囲の内側か、端か、外側かです。頂点が含まれる端と一致すれば、その端で頂点の値を取ります。頂点が外なら、平方の部分を比べて、頂点に近い側を選びます。端を含まない場合には、その端に近づけても到達できず、最大値が存在しないこともあります。例えば上の条件を 12 < x ≤ 15 に変えると、96 cm² に近づけますが 96 cm² は取れません。任意の許される x について (12 + x) / 2 は12より大きく x より小さいため、より大きな面積を作れます。この場合は最大値なしです。

最大値を求める問いでは、式の値が大きい点を見つけるだけでなく、その値を実際に取れることも示します。たとえば端を含まない場合、そこに近い辺を選ぶことはできても、端そのものを選ぶことはできません。近づける値と、実現する最大値を区別します。端を含むかどうかは、不等号の下の横線に表れます。

また、長さを置く場所は自由ですが、置いた場所を途中で変えてはいけません。制限された辺を x と置けば、問題の上限や下限をそのまま x に移せます。別の辺を x と置く場合は、制限された辺を x の式で表してから不等式を作ります。どちらの置き方でも、元の長方形に戻した結果は一致します。

計算が合っていても条件を落とす誤り

図3は、直前の問題で x = 10 をそのまま答えにする誤りを示します。平方完成から 100 cm² を得る計算自体は正しいものの、x = 10 は 12 ≤ x ≤ 15 を満たしません。式を満たすことと、長方形の指定された辺として使えることは別の確認です。

図3のように、使える区間を先に示し、頂点との位置関係を見ます。範囲内で頂点に最も近い x = 12 を選べば、制限を満たす最大面積は 96 cm² と直せます。頂点の数値を書いたところで解答を終えず、もとの不等式に代入する癖をつけましょう。

別の誤りは、3辺の問題で 24 − x を残りの辺とすることです。x の辺が2本あるため、ひもの合計を戻すと x + x + (24 − x) = 24 + x となり、正の x では 24 cm を超えます。正しくは 24 − 2x です。式の各項が図のどの辺かを指し、合計を計算し直すと修正できます。

面積から方程式を解くときも、解が出た時点では終了しません。辺が正か、上限と下限に合うか、整数などの追加条件に合うかを調べます。条件に外れる解を捨てる理由まで書けば、途中の代数計算と図形の判断が読み取れる答案になります。

手を動かす問題

次の3問はそれぞれ独立した設定です。長方形の辺は正とし、長さは cm、面積は cm² を単位として、整数または正確な分数で答えてください。小数への丸めは不要です。

1. 周が 28 cm の長方形を作ります。面積を最大にする2辺の長さと最大面積を求めてください。
2. 3辺を合計 18 cm のひもで余りなく囲み、残る1辺を壁に沿わせます。壁に垂直な2辺の長さは等しく、その長さは 2 cm 以上 4 cm 以下です。最大面積とそのときの2種類の辺の長さを求めてください。
3. 周が 26 cm の長方形で、一方の辺は 4 cm 以下です。面積が 40 cm² のとき、その辺ともう一方の辺の長さを求めてください。候補の適否も説明してください。

答えと道筋

1. 一辺を x cm とすると、もう一辺は (14 − x) cm です。両辺が正なので 0 < x < 14。面積は x(14 − x) = -(x − 7)² + 49 です。x = 7 は範囲内にあるので、2辺とも 7 cm、最大面積は 49 cm² です。周は 2 × (7 + 7) = 28 cm、面積は 7 × 7 = 49 cm² と元の条件に戻ります。

2. 壁に垂直な辺を x cm とすると、残りの辺は (18 − 2x) cm です。2 ≤ x ≤ 4 ではその辺も正で、面積は x(18 − 2x) = -2(x − 9/2)² + 81/2 です。頂点の 9/2 は 4 より大きいため範囲外です。区間では 9/2 − x が正で、x が大きいほどその二乗は小さくなります。よって x = 4 で最大になり、残りの辺は 10 cm、面積は 40 cm² です。ひもの合計 4 + 4 + 10 = 18 cm と面積 4 × 10 = 40 cm² を確認します。反対の端 x = 2 では面積 28 cm² です。

3. 制限された辺を x cm とすると、もう一辺は (13 − x) cm、範囲は 0 < x ≤ 4 です。面積の条件から x(13 − x) = 40、整理して x² − 13x + 40 = 0、(x − 5)(x − 8) = 0 です。候補は x = 5、8 ですが、どちらも x ≤ 4 を満たしません。したがって条件に合う長方形はありません。候補を元の面積に戻すと 5 × 8 = 40 で周も 26 cm ですが、指定された辺の上限を超えます。方程式の解があることと、文章題の解があることは一致しない場合があります。

3問目で上限を 5 cm 以下に変えた場合はどうでしょうか。候補 5 と 8 のうち、5 は上限を満たし、8 は満たしません。したがって制限された辺は 5 cm、もう一方は 8 cm です。上限を 5 cm 未満とした場合は、5 も境界で除かれるので解はありません。同じ式でも等号の有無で、採用できる候補が変わります。

図を描くとき、問題に書かれた長さと、自分で置いた文字を区別しておくと、周の式を読み直しやすくなります。面積の式に代入した後も、その文字がどちらの辺を指すかを忘れずに答えへ戻してください。

持ち帰る要点

辺を文字で置き、残りの辺を材料や周から表します。図の辺の本数にも注意します。
長さの正負と追加条件から定義域を決めます。
平方完成の頂点と範囲を比べ、端を含むかも確かめます。
得た長さを元の合計と面積へ戻します。

どこで止まったかを見つける

最初の式が立たないときは、図に同じ長さの辺が何本あるかを書き込みます。式は立つのに範囲が出ないときは、各辺が正である条件を別々の不等式にしてから共通部分を取ります。平方完成後に迷うなら、頂点の x と範囲の端を数直線に置き、使える点かどうかを説明してみます。

個別指導で確かめる際も、完成した答えだけでなく、ひもの合計を作った式、範囲を決めた不等式、頂点を採用した理由を順に言葉にできるかを見ると、止まった箇所が特定できます。解がない問題では、候補を消した条件を指で示せるかも確認します。面積の式と長さの条件がそろって初めて、図形の最適な値が決まります。