高校数学I 一次不等式—負の数を掛ける操作と解の範囲を数直線で確かめる｜武蔵野個別指導塾

負の数で割るときの不等号と、連立条件の重なる範囲を確認し、整数解を端点から選ぶ手順を身につけます。

よくあるのは、定期テストの復習で、負の数で割っても不等号を変えずに答えを書いてしまう場面です。計算の途中までは合っているのに、最後の範囲が反対側になると、端点以外の数を代入したときに条件を満たしません。符号を変える理由と、答えの範囲を確かめる方法をつなげて整理しましょう。

式と条件がどう出会うか

一次不等式を解く操作から、連立した条件の重なり、整数の選択、残りの量を使う立式までを確かめます。

出方の型は大きく3つあります。1つ目は括弧や分母を整理して、文字を含む不等式を解く型です。最後に文字の係数が負になる場合は、不等号の向きに注意します。2つ目は複数の条件を同時に満たす範囲や整数を求める型です。それぞれの範囲を出した後、共通部分を選びます。3つ目は文章の「以上」「未満」などを式に翻訳し、もとの場面で許される値と重ねる型です。

どの型でも、答えは1つの数とは限りません。条件を満たす数の集まりを範囲で表し、境界が含まれるかまで示します。途中式が短くても、境界に等号が付くかを落とさず書きましょう。

不等号が伝えること

不等式は、左右の大小関係を表す式です。a < b は a が b より小さいこと、a ≦ b は a が b 以下であることを表します。後者には等しい場合も含まれます。a > b、a ≧ b はそれぞれ大きい、以上を意味します。文字に入れた数が条件を満たすとき、その数を不等式の解と呼びます。

数直線では、右へ行くほど数が大きくなります。図1のように、x < 2 では2を含まず左側を、x ≧ 2 では2を含んで右側を選びます。白丸は境界を含まない印、塗った丸は含む印です。矢印は、その方向へ範囲が続くことを示します。

図1の2つの範囲は、境界が同じでも向きと端点の扱いが違います。たとえば2は上の条件には入らず、下の条件には入ります。2に近い数でも、1.9は上、2.1は下に入ります。境界そのものと両側の数を分けて考えると、丸の種類と矢印の向きを確かめられます。

両辺に同じ数を足したり引いたりしても、大小関係は変わりません。また、同じ正の数を掛けたり割ったりしても向きは変わりません。一方、同じ負の数を掛けたり割ったりすると、大小が逆になります。たとえば 1 < 3 の両辺に -1 を掛けると -1 > -3 です。数直線で原点からの向きが反対になり、右と左が入れ替わるからです。

0を掛けると両辺はともに0になり、もとの大小関係を区別できません。0では割ることもできません。したがって、係数が0になる可能性がある式を扱うとき、負か正かを決めずに割ってはいけません。負の係数が明らかな計算では、割る行に向きを変える理由を添えると見直しやすくなります。

基本例題：括弧を外して範囲へ

次の不等式を解き、解を不等号を用いた範囲で表してください。境界の値は整数または正確な分数で表します。

3 − 2(x + 1) ≧ 7

まず括弧の中の各項に -2 を掛けます。符号を含めて分配すると、次のようになります。

3 − 2x − 2 ≧ 7

左辺の数をまとめます。

1 − 2x ≧ 7

両辺から1を引きます。同じ数を引く操作なので、不等号の向きはそのままです。

-2x ≧ 6

両辺を負の数 -2 で割るため、不等号を逆向きにします。

x ≦ -3

これが解です。図2のように、境界の -3 を含めて左側が解の範囲です。負の数で割る行を図と対応させると、答えを右向きに書く誤りを見つけやすくなります。

図2にある境界をもとの式に戻すと、x = -3 では左辺が 3 − 2(-3 + 1) = 7 です。等号が成立するので、-3 を含むことは妥当です。境界より左の -4 では左辺が9となり、9 ≧ 7 を満たします。右の -2 では左辺が5となり、条件を満たしません。この不等式の左辺は x が1増えると2減るので、境界より左と右で大小が逆転することも説明できます。代入は向きの点検に役立ちますが、代表の数だけを調べたことを範囲全体の証明とはしません。

なお、最初から両辺に 2x を足し、さらに両辺から7を引いても解けます。この方法なら -4 ≧ 2x、つまり 2x ≦ -4 となり、正の2で割って x ≦ -2 となりそうですが、これは途中の定数整理が誤りです。正しくは 1 − 2x ≧ 7 から両辺に 2x を足すと 1 ≧ 7 + 2x、両辺から7を引いて -6 ≧ 2x、したがって x ≦ -3 です。別の操作でも同じ範囲になるかを確かめると、符号以外の計算ミスも発見できます。

条件を重ねるときの分かれ目

次の条件を同時に満たす整数 x を求め、小さい順に列挙してください。

2x + 1 > -4、かつ 3 − x ≧ 0

それぞれを別々に解きます。最初の不等式は両辺から1を引いて 2x > -5、正の2で割って x > -5/2 です。もう一方は両辺から3を引いて -x ≧ -3、負の -1 で割って x ≦ 3 です。両方を同時に満たすので、範囲は -5/2 < x ≦ 3 です。

整数を並べると -2、-1、0、1、2、3 です。左端の -5/2 は整数ではなく、それより大きい整数から選びます。右端の3は等号付きなので入ります。もとの条件に端の整数を戻すと、x = -2 では -3 > -4 かつ 5 ≧ 0、x = 3 では 7 > -4 かつ 0 ≧ 0 です。隣の整数 -3 は最初の条件を満たさず、4 は後の条件を満たしません。一次式の増減と先ほどの範囲から、その間の整数が条件に入ることも確かめられます。

共通部分の有無にも分かれ目があります。たとえば x > 4 と x ≦ 4 の共通部分はありません。境界の4は後者には入りますが前者には入らず、4より大きい数は後者に入りません。この場合の答えは「解なし」です。これに対し x ≧ 4 と x ≦ 4 なら、両方に入るのは4です。境界が同じときは、両方の等号を確認してから共通部分を決めます。

実数の解が存在しても、整数解が存在するとは限りません。たとえば 1/3 < x < 2/3 には 1/2 などの実数が入りますが、整数は入りません。「解なし」と「整数解なし」は、求められた数の範囲を添えて区別しましょう。数直線に範囲を描いてから整数の目盛りを見ると、空いている理由が明確になります。

文章から式を作る際は、数量の関係をいったん言葉で置き直すことも役立ちます。「残りがある量以上」なら、もとの量から使った量を引いた結果が、その量に等しい場合も許されます。「ある量より多く残す」なら、等しい場合は許されません。同じ数値が境界に現れても、言葉によって丸の種類が変わります。

また、複数の条件が矛盾するときは、無理に端点を並べて範囲を作らず、どの条件が重ならないかを確かめます。たとえば x < 0 と x > 1 を同時に満たす数はありません。各条件には解がある一方で、共通部分には数がないからです。条件が「かつ」なら両方を満たす範囲を選びます。片方の範囲だけを採用しないよう、最後に答えを両方へ戻しましょう。

向きの誤りを直す

-3x < 6 を x < -2 とする答えを考えます。両辺を -3 で割る計算自体は必要ですが、負の数で割ったときに不等号を逆にしていないことが原因です。正しくは x > -2 です。図3では、誤った範囲と正しい範囲を境界の両側に示しています。

図3で白丸になっている -2 をもとの式へ入れると、左辺は6です。6 < 6 は成り立たないので、境界を含めないことがわかります。正しい側の0を入れれば 0 < 6 で成立し、誤った側の -3 を入れると 9 < 6 で成立しません。割る数が負かどうかを確認し、境界と両側を点検することで、向きと丸の両方を修正できます。

もう1つの誤りは「以上」を > と書くことです。以上は等しい場合を含むため ≧ です。文章題では、境界の値を入れて「ちょうど条件に達した場合が許されるか」を日本語で問い直してください。式の計算が正しくても、最初の翻訳が違えば答えは条件からずれます。

手を動かす問題

次の4問は、問題を読んでからまとめて解いてみましょう。範囲の端は整数または正確な分数で表し、整数を求める問題では小さい順に列挙してください。

1. 5 − 3(x − 2) < 2 を解き、不等号を用いた範囲で表してください。
2. 2x − 5 ≧ 1、かつ 4x + 1 < 19 を同時に満たす整数を求めてください。
3. 長さが20 cmのひもから、1本につき3 cmのしおり用のひもを x 本切り出します。切り落としや結び目による長さの減少はないものとし、残りを少なくとも2 cmにします。x は0以上の整数です。作れる本数を小さい順に列挙してください。
4. -2 < 3x + 1 < 2 を満たす整数を求めてください。

解答と確かめ

1. 括弧と負の係数

分配法則で 5 − 3x + 6 < 2、整理して 11 − 3x < 2 です。両辺から11を引くと -3x < -9 です。負の -3 で割るため向きが逆になり、答えは x > 3 です。

境界の3では左辺が2で、2 < 2 は偽なので含みません。4を元の左辺に入れると 5 − 3・2 = -1、2を入れると 5 − 3・0 = 5 です。4は条件を満たし、2は満たしません。もとの左辺は x が増えると減るため、境界より右側が解です。分配の際に -3 と括弧内の -2 を掛けた結果が +6 であることも点検します。

2. 共通部分から整数を選ぶ

最初の式は 2x ≧ 6 より x ≧ 3、次の式は 4x < 18 より x < 9/2 です。共通部分は 3 ≦ x < 9/2 なので、整数解は 3、4 です。

3を戻すと 2・3 − 5 = 1、4・3 + 1 = 13 で両方の条件を満たします。4を戻すとそれぞれ3と17で、こちらも条件を満たします。隣の2は最初の条件、5は後の条件を満たしません。各式の係数は正なので、解いた範囲の外に別の整数解が現れることはありません。

3. 残りの長さから立式する

切り出した長さの合計は 3x cm、残りは 20 − 3x cmです。少なくとも2 cmという条件から 20 − 3x ≧ 2 と立式します。両辺から20を引くと -3x ≧ -18、負の -3 で割ると x ≦ 6 です。

x は0以上の整数なので、答えは 0、1、2、3、4、5、6 本です。0本なら残り20 cm、6本なら 20 − 3・6 = 2 cmで、どちらも条件を満たします。各本数が1増えるごとに残りは3 cmずつ減るため、その間の本数も残りが2 cm以上です。7本では必要な長さが21 cmとなり、もとの20 cmを超えます。範囲を求めた後に本数の条件を重ね、実際に切り出す長さへ戻して確認します。

4. 真ん中の式を両方の境界と比べる

両側から1を引くと -3 < 3x < 1 です。3は正なので、不等号の向きを変えずに各辺を3で割り、-1 < x < 1/3 を得ます。この範囲の整数は0です。

0をもとの真ん中の式に戻すと1となり、-2 < 1 < 2 が成り立ちます。隣の -1 では真ん中が -2、1では4となり、いずれも条件を満たしません。端の -1 は等号なしなので含まれません。もう一方の端 1/3 は整数ではありませんが、真ん中が2となり、やはり条件には入りません。

数直線に書くときは、左端と右端のどちらに等号があるかを別々に確認します。分数の境界は、隣り合う整数との大小を確かめてから目盛りを置くと、整数の選び漏れを防げます。

覚えておくこと

同じ負の数で両辺を割ると、不等号を逆にします。
連立では各条件の共通部分を取ります。
等号と整数という条件を、最後の答えまで保ちます。
境界とその両側をもとの条件に戻します。

どこで止まったかを見分ける

途中式を見返すときは、答えの向きだけでなく、どの行で操作したかを指で追ってみましょう。括弧を外した行で符号が違うなら分配法則、負の数で割る行で向きが違うなら大小関係の反転を、それぞれ小さな数の例から確認できます。数直線の丸が違う場合は、境界をもとの式に入れて等号が成立するか調べます。

個別指導で確かめるなら、生徒が各操作の理由を言葉にできるか、連立の2つの範囲を別々に描いて重なりを指せるかを見ます。文章題では、求める数の単位と取り得る値を先に説明し、答えを残りの量へ戻して条件に合うかを尋ねます。計算が合っていても、整数である条件や「ちょうど」を見落とす箇所はここで表れます。不等号の向きと端点は、もとの条件へ戻る道しるべです。