高校受験の数学 標本調査—無作為な抽出と標本の割合から全体の数量を見積もる｜武蔵野個別指導塾

標本40個中14個の割合から全体600個の印付き個数を求める自作例題で、推定の手順と限界を学びます。推定を支えるのは偏りの少ない標本です。

よくあるのは、中3が都合のよい回答だけを集めて、全体でも同じ割合だと決める場面です。希望する活動に賛成の人へ先に声をかけると、集めた回答の中では賛成が多くなるかもしれません。その割合を正しく計算できても、全体の様子を表しているとは限りません。標本調査では、割り算の前に「誰を、どのように選んだか」を読みます。計算と選び方の両方をそろえて、答えの意味を説明しましょう。

回答の集め方から読み始める

扱うのは、全数調査と標本調査の違い、母集団と標本、無作為抽出、標本の割合による全体の数量の推定とその限界です。実在の調査結果や制度の数値、高校で扱う詳しい推定の方法は扱いません。以下の個数や人数は、考え方を説明するために作った問題の条件です。

問題の出方は大きく3つに整理できます。1つ目は、何を調べたいかに合わせて調査方法を選ぶ問題です。たとえば箱の部品を1個ずつ壊して強度を調べると、調べた部品は使えなくなります。全体の状態を知りたくても、全数調査が適さない場合があるわけです。一方、少人数の班で翌日の参加人数を確定したいなら、一部の人の回答からの推定では足りません。何を知るための調査かが判断の出発点です。

2つ目は、標本の選び方を説明する問題です。「取り出す数が多い」「近くにいる人に聞く」「賛成の人から順に聞く」といった条件を読み、特定の性質に偏る仕組みがないかを調べます。無作為抽出は、調べる側の好みで対象を選ばず、母集団の各対象が等しい機会で選ばれるようにする方法です。目を閉じて手近な物を取っただけでは、奥の物が取りにくいこともあり、十分な説明にならない場合があります。

3つ目は、標本で求めた割合を母集団へ広げる問題です。標本の中で条件に当てはまる個数を標本の大きさで割り、その割合を母集団の大きさに掛けます。ただし、この計算で得る数は全数を数えた結果ではありません。「推定される」「およそ」といった言葉が答えに必要な理由まで押さえます。抽出が偏っていれば、掛け算を丁寧にしても、その欠点は消えません。

全体と取り出した一部を別の枠に入れる

調べたい対象の全体を母集団、その中から取り出して調べる一部を標本といいます。母集団に含まれる対象の数が母集団の大きさ、標本に含まれる対象の数が標本の大きさです。「標本」という言葉そのものと、「標本の大きさ」という数を分けて読みましょう。箱から取り出した40個の部品が標本で、40がその大きさです。

全数調査は母集団の対象を一つずつ調べる方法です。標本調査は一部を調べ、その結果を基に母集団の性質を推定する方法です。全数調査でも数え忘れや記録の誤りには注意が必要ですが、少なくとも調べていない対象を標本の割合で補う必要はありません。標本調査ではその補いをするため、抽出方法の説明が重要になります。

図1のように、母集団の枠から一部を取り出す向きと、標本の結果から全体を見積もる向きは逆です。図の小さな点は関係を表す模式的な印であり、点の数を数えて母集団の大きさを決めるものではありません。最初に全体の範囲を確定し、その中から取り出し、最後に全体へ戻って考えます。

たとえば、ある箱に入った部品全体を知りたいのに、箱の上の層からしか取り出さなければ、下の層が調査から外れます。上と下で品質が違う可能性があるとき、この方法には偏りが入り得ます。十分に混ぜる、全体に通し番号を付けて番号を無作為に選ぶなど、全体へ選ばれる機会を広げる工夫が必要です。どの方法が使えるかは、対象の形や取り扱える条件によって変わります。

番号を使う場合も、番号を付けただけでは無作為抽出になりません。小さい番号から順に選ぶのでは、並べた順番に影響されます。たとえば番号札を同じ形にしてよく混ぜ、見ないで必要な枚数を取り出し、対応する対象を調べるという手順なら、選ぶ人の好みを避けられます。同じ対象を重ねて数えない調査では、取り出した番号札を戻さないことも明記します。

標本の大きさを増やすと、適切な無作為抽出では、一般に一部の偶然の違いに左右されにくくなると考えられます。しかし、同じ場所からばかり取り出す偏りは、数を増やすだけで解決するとは限りません。「何個か」と「どう選ぶか」は別の点検項目です。また、無作為に選んでも毎回まったく同じ割合になるわけではありません。偏りを避ける工夫と、偶然の違いが残ることを同時に理解します。

40個の結果を600個へ広げる基本例題

ある容器には部品が600個入っています。全体から無作為に取り出した40個を調べると、そのうち14個に印がありました。母集団でも標本と同じ割合で印があると考えたとき、印のある部品は全体で何個と推定されますか。個数を整数で答え、推定であることが伝わる文にしてください。

まず、母集団は容器内の部品600個です。標本は取り出して調べた40個で、印のある14個はその標本の一部です。ここで14を600で割ると、調べた範囲と全体の範囲が混ざります。標本の割合を作る段階では、分子も分母も調べた40個の枠内の数を使います。

標本での印のある割合 = 14/40

14/40 = 7/20

したがって、標本では20個当たり7個に印がある割合です。これを母集団600個にも当てはめるので、全体で印のある部品の推定個数をx個とすると、次のように書けます。

x/600 = 7/20

x = 600 × 7/20

600 ÷ 20 = 30

30 × 7 = 210

よって、印のある部品は全体で210個と推定されます。図2のように、600は40の15倍なので、14も15倍にする見方で確かめられます。計算を割合から進める方法でも、対応する2つの量を同じ倍率で広げる方法でも、同じ結論になります。

検算では、210/600 = 7/20となり、標本の14/40と等しいことを確認します。また、210個という見積もりを40個分へ戻すと、210 × 40/600 = 14となり、問題で与えられた標本の個数に戻ります。210は0以上600以下の整数なので、全体の一部の個数としても矛盾しません。

ただし、この検算は、採用した割合と計算が対応していることを確かめたものです。実際に容器内の印を数えて210個だったことを証明したのではありません。標本が別なら、印の数が14個と少し違うこともあります。答えに「推定されます」と書くのは自信のない表現だからではなく、調べた方法と結論の強さを正確にそろえるためです。

全体の大きさを逆向きに求める

今度は全体の個数がわからない場合です。袋に入った同じ形の札のうち、36枚に印を付けて袋に戻し、十分に混ぜました。その後、無作為に45枚を取り出したところ、印のある札が9枚含まれていました。札を加えたり失ったりせず、印の有無によって取り出しやすさは変わらないとします。全体でも標本と同じ割合で印があると考え、札の総数を整数で推定してください。

ここで36枚と9枚は、どちらも印のある札の数ですが、属する枠が違います。36枚は母集団内の印付きの総数で、9枚は取り出した標本内の印付きの数です。45枚は標本の大きさです。札の総数をx枚とすると、同じ種類の割合を左右にそろえて、次のように置きます。

36/x = 9/45

9/45 = 1/5

36/x = 1/5

x = 36 × 5

x = 180

全体の札は180枚と推定されます。式の途中は、標本で印付きが5枚当たり1枚だから、全体でも印付き36枚が全体の1/5を占めると読みます。したがって全体は36枚の5倍です。分数の式の扱いに迷う場合でも、この言葉の対応から立て直せます。

180枚と置いて場面へ戻すと、印付きの割合は36/180 = 1/5です。その割合で45枚を取り出したと考えると、45 × 1/5 = 9枚になり、標本の結果と一致します。印のない札も全体では180 − 36 = 144枚、標本では45 − 9 = 36枚です。144/180 = 36/45 = 4/5となり、反対側の割合も対応しています。

基本例題との分かれ目は、何が未知かです。全体の大きさがわかっていて一部の個数を求めるなら、全体の大きさに割合を掛けます。印付きの総数がわかっていて全体の大きさを求めるなら、その総数を割合で割ります。見覚えのある数を機械的に掛けるのではなく、母集団と標本について「全体」「印付き」を並べてから計算します。

なお、取り出した標本に印付きが0枚なら、36/x = 0という式から有限の総数を求めることはできません。袋に印付きが存在しないと断定するのも誤りです。標本に含まれなかった可能性があるからです。推定は、標本の結果さえあればどんな条件でも同じ手順で数が決まる仕組みではありません。

正しい割り算でも選び方の誤りは残る

活動への賛否を全体120人について知りたいとします。賛成しそうな人へ先に声をかけて20人から回答を集め、そのうち16人が賛成でした。ある解答が「16/20 = 4/5なので、120 × 4/5 = 96。全体の賛成は必ず96人です」と書いたとします。計算の値は合っていますが、推定の根拠と結論の書き方に問題があります。

原因の1つは、聞く相手を賛成しそうかどうかで選んだことです。賛成の割合を知りたいのに、賛成の多さに関係する基準で対象を選んでいます。その20人の割合を、聞いていない人にも当てはめる根拠が弱くなります。図3のように、「都合で選ぶ」段階で偏りが入るので、後の割り算だけを直しても改善しません。

修正するときは、全体120人に番号を付け、番号札をよく混ぜて20人分を重複なく選ぶなど、賛否を見て相手を決めない方法へ変えます。さらに、選ばれた人のうち回答があった人だけを勝手に残すと、回答しなかった人の傾向が抜けるおそれがあります。無作為に選ぶことと、選んだ対象から結果を集めることは、両方とも確認が必要です。

もう1つの原因は「必ず」としたことです。適切に抽出した20人に16人の賛成があったとしても、それだけで全体の賛成が96人と確定するわけではありません。その場合の結論は「標本と同じ割合だと考えると、96人と推定されます」です。元の偏った回答については、単に「必ず」を消すだけで十分な修正にならず、選び方を見直す必要があります。

計算自体にも別の誤りが起こります。標本40個中14個の例で14/600を作るのは、標本内の部分を母集団の大きさで割った混同です。分数の横に「標本内の印付き/標本の大きさ」と言葉を添えれば、分母が40である理由を取り戻せます。答えが小さすぎると感じたら、値だけを変えるのではなく、最初に作った割合の枠を確認しましょう。

自分で選び方と割合をつなぐ4問

次の問題は、前の例題とは別の場面です。数値を求める問題では、問題に示された同じ割合の考え方を用い、推定であることも答えに含めます。まず4問を読んで解き、その後の解答で途中の対応を照合してください。

問1　図書室にある720冊の本について、補修が必要な冊数を知りたいとします。全体に番号を付けて無作為に60冊を選んだところ、15冊に補修が必要でした。全体でも同じ割合と考えると、補修が必要な本は何冊と推定されますか。整数で答えてください。

問2　同じ大きさの玉が入った袋で、あらかじめ54個に印を付けて戻し、十分に混ぜました。無作為に取り出した70個の中には、印付きが21個ありました。印の有無で取り出しやすさは変わらず、玉の増減もありません。全体でも同じ割合と考えて、玉の総数を整数で推定してください。

問3　全体180人の昼休みの過ごし方を調べます。「運動している人が多いはずだ」と考え、運動場にいる30人へ聞きました。全体の傾向を推定するための標本の選び方として、どこに問題がありますか。問題点を1つと、抽出方法の直し方を1つ、言葉で答えてください。

問4　840本の苗から無作為に48本を選ぶと、つぼみのある苗が18本でした。全体でも同じ割合と考え、つぼみのある苗の本数を整数で推定してください。また、別に無作為抽出をやり直した48本では20本につぼみがあったとします。結果の違いだけで、どちらかの調査に必ず誤りがあるといえますか。理由も答えてください。

解答では元の調査の量へ戻す

問1では、標本の大きさが60、補修が必要な標本内の冊数が15です。標本での割合は15/60 = 1/4です。したがって、720 × 1/4 = 180となり、補修が必要な本は180冊と推定されます。元の標本の大きさへ戻すと、180 × 60/720 = 15冊で、与えられた結果になります。残りは720 − 180 = 540冊と見積もられ、部分が全体を超える矛盾もありません。

問2では、標本の印付きの割合が21/70 = 3/10です。総数をx個とすると、54/x = 3/10です。全体の3/10が54個なので、まず1/10分は54 ÷ 3 = 18個、それを10倍してx = 180となります。玉の総数は180個と推定されます。54/180 = 3/10を70個に当てはめると、70 × 3/10 = 21個になり、印付きの数を再現できます。標本70個より総数180個の方が大きい点も確認します。

問3では、運動場にいる人に限定したため、別の場所で過ごす人が選ばれる機会を失っている点が問題です。たとえば全体180人に番号を付け、同じ形の番号札をよく混ぜて30枚を重複なく取り出し、その番号の人に聞く方法へ変えます。「運動している人を減らす」と調べる側が人数を調節する修正では、再び好みが入ります。全体から選ぶ手順そのものを示すことが解答の要点です。

問4の最初の標本では、割合は18/48 = 3/8です。全体では840 × 3/8 = 315本と推定されます。315 × 48/840 = 18となり、元の標本の結果に戻ります。2回目の結果を使えば20/48 = 5/12なので、840 × 5/12 = 350本という別の推定になります。どちらも整数で、全体840本以内に収まっています。

315本と350本の差は35本ですが、差があることだけで、どちらかの調査が必ず誤りだとはいえません。同じ母集団から無作為に選んでも、含まれる苗が違えば標本の割合は変わり得ます。まず抽出方法や記録に問題がないかを確認し、そのうえで標本による推定には違いが生じることを説明します。2つの推定のうち都合のよい方を選び、実際の全数だと断定するのは避けます。

手元に残す4つの確認

母集団は知りたい対象の全体、標本はそこから調べる一部です。
無作為抽出では、調べる人の好みによる選択を避けます。
標本内の部分を標本の大きさで割り、同じ割合を全体へ当てはめます。
求めた数量は推定であり、全数を数えた確定値とは区別します。

式が止まる位置で確かめることを変える

割合の式が書けないときは、計算練習を増やす前に、問題文の各数へ「全体の大きさ」「標本の大きさ」「その中の部分」と書き添えてみます。14/600のような混同なら、40個の枠の中で何を数えたかを図に戻して確かめます。式は合うのに答えの説明が弱いときは、「実際に数えた数」と「割合から求めた数」を本人の言葉で区別できるかを見ます。

個別指導で確認するなら、正しい答えの数だけを見ず、抽出方法のどの語を根拠にしたかを尋ねます。番号札を使う説明なら、全体に番号を付けたか、混ぜたか、重複をどう避けたかを順に確認できます。保護者がお子さまの解答を見る場合も、「なぜその分母にしたのか」「全体を本当に数えたのか」の2点を聞くと、理解の位置が見えます。標本の割合を全体へ広げる根拠は、計算より前の選び方にあります。