中学受験算数 円の面積と円周—半径と直径を区別して長さと広さを求める｜武蔵野個別指導塾

半円の曲線に直径を足す理由を、面積との違いや自作問題とともにたどる円周の道筋です。

よくあるのは、半円の周を求めるときに曲がった部分を計算し、まっすぐな直径を足さずに答える場面です。円の周りを半分にした長さと、半円の形を一周する長さは同じではありません。境界を指でたどり、通った線を式に移すと違いが見えてきます。

円の問題では、長さと広さも区別します。同じ半径から出発しても、求める量によって掛ける数と答えの単位が変わります。まず図に与えられた長さが半径か直径かを記し、次に何を一周するのか、どの部分を塗るのかを確かめましょう。

円では何を求めるのか

出方の1つは、半径から円周と面積をそれぞれ求める問題です。円周は外側の曲線の長さ、面積は内側の広さです。同じ数字を使うからといって、同じ式や単位で答えることはできません。式を書く前に、求めるものの横に「長さ」か「広さ」かを書き添えると、掛け方を選びやすくなります。

もう1つは、直径が示された円や半円の問題です。円周には直径を使いますが、面積には半径を使います。直径を2で割ってから面積の式に進む必要があります。逆に半径が与えられたときには、円周を求めるために2倍して直径にします。

さらに、半円の曲線の長さと半円全体の周を読み分ける問題があります。曲線は元の円周の半分です。半円の周には、その曲線の両端を結ぶ直径も含まれます。何を求められているかを最後まで読み、図の境界に指を沿わせてから計算します。

半径と直径、周と面積の関係

円の中心から円周までの直線の長さを半径といいます。中心を通り、円周の2点を結ぶ直線の長さが直径です。直径は半径を2本つないだ長さなので、直径は半径の2倍です。図1の横線は中心を通っており、左右の半径が集まって直径になっています。

図1では、外側の線が円周、淡く塗った内側が面積を考える部分です。円周は直径に円周率を掛けて求めます。円周率とは円周を直径で割ったときの割合です。問題で3.14を使うよう指定されたときは、円周を「直径 × 3.14」で計算します。半径から始めるなら「半径 × 2 × 3.14」です。

円の面積は「半径 × 半径 × 3.14」です。半径を2倍する式とは異なり、半径の長さを2回掛けます。長さをcmで表すと、面積はcm²で表します。たとえば半径が2 cmなら、直径は4 cmです。円周率を3.14とすると円周は4 × 3.14で12.56 cm、面積は2 × 2 × 3.14で12.56 cm²です。数が偶然同じでも、線の長さと広さは別の量です。

半円は円を直径で2つに分けた片方です。面積は円の面積の半分になります。一方、半円の周を考えるときは、元の円周の半分に、切り口となる直径を加えます。直径を足すのは面積ではなく、閉じた形の境界の長さを求めるときです。曲線だけを問う場合には直径を加えません。

基本例題：半円の境界を一周する

問題：図2の半円は半径が5 cmです。円周率を3.14として、半円の周の長さと面積をそれぞれ小数で求めましょう。長さはcm、面積はcm²で答えます。

図2の曲線を左端から右端へたどり、直線を通って左端へ戻ると半円を一周します。周には曲線と直径が含まれます。まず元の円を考え、次の順に計算します。

1. 5 × 2 = 10。半径が5 cmなので直径は10 cmです。
2. 10 × 3.14 = 31.4。直径に円周率を掛けると、元の円の円周は31.4 cmです。
3. 31.4 ÷ 2 = 15.7。円周の半分が半円の曲線で、長さは15.7 cmです。
4. 15.7 + 10 = 25.7。曲線と直径を足すので、半円の周は25.7 cmです。
5. 5 × 5 × 3.14 = 78.5。元の円の面積は78.5 cm²です。
6. 78.5 ÷ 2 = 39.25。半円の面積は39.25 cm²です。

答えは周が25.7 cm、面積が39.25 cm²です。直径の10 cmを足すのは4行目だけです。面積は、切り口の線を加えても広さが増えるわけではないため、円の面積を半分にして終えます。

途中の量を整理すると、元の円周は31.4 cm、曲線は15.7 cm、直径は10 cmです。曲線が元の円周より短いこと、半円の周が曲線より直径分だけ長いことを確かめると、足し忘れや2倍のし忘れに気づけます。面積の計算でも、半円の広さが元の円の広さの半分になっているかを見ます。

直径から面積を逆に使う問題

問題：直径が12 cmの円形の紙から、その中心を通る直線で半円を1枚切り取ります。円周率を3.14として、残った半円の周と面積を小数で求めましょう。長さはcm、面積はcm²で答えます。

基本例題との違いは、初めに示されるのが直径であることです。半円の曲線を求めるには、その直径をそのまま元の円周の式に使えます。面積を求めるときは直径を半分にして、半径を準備します。直径をそのまま2回掛けると、求めたい円より広い面積になってしまいます。

12 × 3.14 = 37.68。元の円の円周は37.68 cmです。 37.68 ÷ 2 = 18.84。残った半円の曲線は18.84 cmです。 18.84 + 12 = 30.84。曲線に切り口の直径を加え、周は30.84 cmです。 12 ÷ 2 = 6。面積に使う半径は6 cmです。 6 × 6 × 3.14 = 113.04。元の円の面積は113.04 cm²です。 113.04 ÷ 2 = 56.52。残った半円の面積は56.52 cm²です。

答えは周が30.84 cm、面積が56.52 cm²です。曲線の長さを求める問いなら18.84 cmで終えますが、この問題は残った半円の周なので直径を足します。また、紙を切った線は半円の境界です。切り口が見えるかどうかではなく、求める図形を一周する線に入るかどうかで判断します。

間違いを図に戻して直す

基本例題で「5 × 2 × 3.14 ÷ 2 = 15.7 cmだから、半円の周は15.7 cm」とした答えは誤りです。計算自体は元の円周の半分を正しく出していますが、曲線の長さを半円の周と取り違えています。図3の曲線の終点から出発点へ戻るには、直線も通ります。

図3の直線は10 cmです。15.7 cmに10 cmを足して25.7 cmと直します。足した後には、直径を2回数えていないかも確認しましょう。元の円周には直径という直線は含まれず、円周を半分にした値にも直線は含まれていません。

別の誤りとして、面積を「10 × 10 × 3.14 ÷ 2」とする場合があります。10 cmは直径なので、面積の式に入れる半径はその半分の5 cmです。5 × 5 × 3.14 ÷ 2に直し、39.25 cm²を得ます。図に中心を記して端までの距離を見れば、直径と半径を選び直せます。

単位の誤りも確かめます。周の25.7にcm²を付けると、線の長さを広さとして表してしまいます。まず数を検算し、最後にその数が線か面かを見て単位を付けます。計算の途中で小数点を動かしたときは、元の数に戻して掛け算をもう一度確認します。

計算に入る前の見取り図

円の問題を読んだら、数字を見つけた順に掛けるのではなく、その数字がどこを表すかを図に書き込みます。中心から端までなら半径、中心を通って端から端までなら直径です。線が中心を通るという条件がない場合、円の端と端を結んだ線を直径と決めてはいけません。問題文の条件と図の印が示す範囲を先に確かめます。

次に、答える場所を線でなぞるか、面として塗るかを選びます。周なら途切れずに出発点へ戻れるかを確かめます。半円では曲線の端から直線を通って戻るため、直径が必要です。曲線部分だけを求める場合は、両端の間を曲線に沿って進んだところで終わります。問いの言葉が変わると数える線も変わるので、途中の計算が同じでも最後の操作を分けます。

面積では、塗る範囲が元の円の半分かどうかを見ます。直径で切った半円なら、中心をはさんで2つの部分が重なり合うので広さは等しくなります。円全体を求めてから2で割る方法は、この等しい分け方に基づいています。直径以外の線で切った形を、見た目だけで半円と決めて半分にしないようにします。

計算が終わったら、求めた量の大きさも点検します。半円の曲線は元の円周の半分ですから、元の円周を超えません。半円の周は曲線より直径の分だけ長くなります。面積は元の円の半分なので、元の面積に2を掛けた答えにはなりません。こうした関係は小数の掛け算で桁を誤ったときにも、式を見直す手がかりになります。

円周率を3.14とするのは、この問題群で決めた計算の条件です。途中の値にも単位を添えると、曲線の長さに面積を足すような異なる量の混同を防げます。半径や直径は問題ごとに変わりますから、前の問題で求めた数を次の図にそのまま移さず、毎回与えられた寸法から計算します。式に使った数字が図のどの線に対応するかも、答えを書く前にたどっておきます。長さの数値を面積の式に入れるときも、その長さが半径かどうかを確かめてから進みましょう。

練習：求める場所を先にたどる

いずれも円周率は3.14とし、答えは小数で表します。図を自分で描き、中心、与えられた長さ、求める線や面を記してから取り組みましょう。

1. 半径3 cmの円があります。円周と面積をそれぞれ求め、円周はcm、面積はcm²で答えましょう。
2. 直径8 cmの半円があります。曲線部分の長さと、半円の周の長さをそれぞれcmで求めましょう。
3. 半径7 cmの円形の紙を直径に沿って切り、半円を1枚作ります。その半円の面積をcm²で求めましょう。
4. 直径20 cmの円形の紙を直径に沿って2つに切ります。片方の半円の周と、もう片方の半円の面積をそれぞれ求め、周はcm、面積はcm²で答えましょう。

練習の答えと道筋

1. 直径は3 × 2 = 6 cmです。円周は6 × 3.14 = 18.84 cmです。面積は3 × 3 × 3.14 = 28.26 cm²です。円周の式には直径、面積の式には半径を入れます。答えは18.84 cmと28.26 cm²です。

2. 元の円周は8 × 3.14 = 25.12 cmです。曲線は25.12 ÷ 2 = 12.56 cmです。半円の周は12.56 + 8 = 20.56 cmです。答えは曲線が12.56 cm、周が20.56 cmです。同じ半円でも、問われた線が違うため答えも異なります。

3. 元の円の面積は7 × 7 × 3.14 = 153.86 cm²です。半円はその半分なので、153.86 ÷ 2 = 76.93 cm²です。答えは76.93 cm²です。切り口の直径は周を求めるときの線であり、面積には足しません。

4. 元の円周は20 × 3.14 = 62.8 cmです。その半分の曲線は62.8 ÷ 2 = 31.4 cmで、直径を足した周は31.4 + 20 = 51.4 cmです。面積に使う半径は20 ÷ 2 = 10 cmです。元の円の面積は10 × 10 × 3.14 = 314 cm²、半円は314 ÷ 2 = 157 cm²です。答えは51.4 cmと157 cm²です。2つの半円は同じ形と大きさなので、どちらの半円でも同じ周と面積になります。

手元に残す要点

• 直径は半径の2倍で、円周は直径 × 円周率です。
• 円の面積は半径 × 半径 × 円周率です。
• 半円の曲線は元の円周の半分、半円の周はその曲線と直径の和です。
• 半円の面積は元の円の面積の半分で、直径の長さを足しません。
• 長さにはcm、広さにはcm²のように、量に合った単位を付けます。

家で見守るときの確認

お子さまが半円の周を曲線だけで答えたら、先に正しい式を示す代わりに、紙の端を指で一周してもらいます。出発点へ戻るときに通った直線を指せるかを見ると、直径の足し忘れと計算の間違いを分けられます。直線に気づいたら、その長さを自分で図から探してもらいましょう。

直径が与えられた面積の問題では、中心から端までを指して「この長さはいくつ」と問い返します。半径を言えたら式を自分で書いてもらい、最後に長さか広さかを尋ねて単位を確かめます。答えに詰まったときは一度に全部を説明せず、一周する線か塗る面かを一緒に選ぶところから戻ります。半円の境界をたどる指が、次の式を選ぶ手がかりです。