中学受験算数 平行四辺形の面積—切り移す図から底辺と高さの組を見つける｜武蔵野個別指導塾

斜めの辺と高さを区別し、切り移しと逆算で面積を求める道筋を、平行四辺形からたどります。

よくあるのは、斜めの辺の長さを高さとして掛ける小5の場面です。底辺の横に長さが書かれていると、もう一方の辺を選びたくなります。しかし、面積を決める高さは、選んだ底辺に対して直角に測った長さです。

紙の端を切って反対側に移し、長方形に直すと、その理由が見えてきます。底辺と高さを組にして読み取り、面積から高さを逆に求めるところまで練習しましょう。

どんな条件から広さを求めるか

平行四辺形の問題には、底辺と高さがそのまま示されている型があります。図が斜めに傾いていても、直角の印を見て高さを選べば、底辺と掛け合わせられます。斜めの辺にも数字がある場合は、その数字を使うかどうかを先に判断します。

次に、面積と底辺から高さを探す型があります。面積は底辺に高さを掛けた結果なので、面積を底辺で割ります。求めた長さを元の掛け算に戻して、面積と一致するか確かめることもできます。

さらに、底辺として選ぶ辺を変え、別の高さを求める型があります。高さは図形に固定された1本ではなく、どの辺を底辺に選んだかで変わります。違う辺に対応する高さを混ぜないことが、判断の分かれ目です。

切り移して見える底辺と高さ

平行四辺形は、向かい合う2組の辺がそれぞれ平行な四角形です。向かい合う辺の長さも等しくなります。底辺として下の辺を選ぶと、高さはその辺と向かい合う辺との間を直角に結んだ長さです。

図1の左側で、上の頂点から下の辺へ垂直な線を引きます。左端の三角形を切り取り、右側に移すと、右の長方形になります。移した三角形は向きを変えずにぴったり収まります。移す前と後では、切り取った分を捨てたり重ねたりしていないので、面積は変わりません。

できた長方形の横の長さは元の底辺と同じです。縦の長さは、底辺と上の平行な辺との間の垂直な距離です。長方形の面積は横と縦を掛けるので、平行四辺形の面積も次の式で求められます。

面積 = 底辺 × 高さ

この切り方は、垂線が底辺の途中に落ちる形で説明しています。垂線が辺の外に落ちるほど傾いた形でも、底辺を延長して平行な2本の線の間の距離を測れば、高さは同じ考えで決まります。切り移すときは、元の形を重ねたりすき間を残したりしないよう、何を移したかを追います。

高さは斜めの辺の長さとは限りません。直角の印がない線の長さを、見た目の縦らしさだけで高さと決めないようにします。辺を底辺に選び直すと、以前の高さをそのまま使えるとも限りません。選んだ底辺と直角になっているか、毎回確かめます。

基本例題：使う長さを選ぶ

平行四辺形の底辺は 8 cm、高さは 6 cm です。底辺に隣り合う斜めの辺は 10 cm です。面積を求めましょう。

図2では、底辺に直角な線が 6 cm と示されています。10 cm は斜めの辺であり、この底辺に対する高さではありません。図の左端から垂線の足までを 8 cm とすると、斜めの辺と高さは 6 cm、8 cm、10 cm の直角三角形の辺になり、条件は成立します。

まず底辺と高さの組を式にします。

8 × 6 = 48

したがって面積は 48 cm² です。単位が cm² になるのは、1辺が 1 cm の正方形を何個分と数える広さだからです。計算が済んだら、式の 6 が図の直角の印につながっているかを振り返ります。

もし 8 × 10 としていたら、使った 10 cm が底辺に直角かどうかを図に戻って見ます。数字が問題に書かれていることと、今回の式に必要であることは別です。使わない数がある問題でも、条件を省かずに読み取り、役割を確かめてから計算します。

少し難しい例題：底辺を選び直す

平行四辺形の一辺は 12 cm、その辺に対する高さは 5 cm です。別の辺は 10 cm です。この 10 cm の辺を底辺としたときの高さを求めましょう。

最初に、わかっている組から面積を求めます。12 cm と 5 cm は対応しているので、次のようになります。

12 × 5 = 60 cm²

次に底辺を 10 cm の辺に変えます。面積は同じ平行四辺形のままなので、60 cm² です。10 cm に求める高さを掛けると 60 cm² になります。掛け算を逆にたどり、面積を底辺で割ります。

60 ÷ 10 = 6 cm

答えは 6 cm です。確かめると、10 × 6 = 60 cm² となり、最初の面積に戻ります。5 cm は 12 cm の辺に対応する高さで、10 cm の辺に対してそのまま掛けることはできません。

この条件は、長さ 10 cm の辺が底辺となす角について、高さが 5 cm になる形で成立します。切り移して面積を出す段階と、別の底辺から高さを逆算する段階を分けると、どの数字をどの式に入れるかが明確になります。

誤答から直角の印へ戻る

図2の問題で、8 × 10 = 80 cm² と答えたとします。これは誤答です。底辺の隣にある辺を高さだと思い、斜めの長さを掛けたことが原因です。

図3の赤い辺は 10 cm、緑の線は 6 cm です。下の辺を底辺にすると、直角を作っているのは緑の線です。誤った式を消す前に、10 cm が図のどこを表していたか指でたどります。その後、垂直な 6 cm に置き換え、8 × 6 = 48 cm² と直します。

別の間違いとして、逆算で 60 ÷ 5 を選ぶことがあります。これは 12 cm の辺に対応する高さ 5 cm を使っており、求めたい 10 cm の辺に対する高さにはなりません。どの辺を底辺にしたのかを先に書き、その底辺で面積を割れば、組の取り違えを防げます。

斜めの辺がたまたま高さと同じ長さになるかを見た目で判断する必要はありません。底辺に直角かどうかを確認し、求める高さの両端が底辺を含む直線と向かいの辺を含む直線にあるかを確かめます。

切り移しを紙で追う

平行四辺形を紙に描き、下の辺を底辺とします。上の左の頂点から底辺へ垂線を下ろし、その線に沿って左側の三角形を切ります。残った部分の右側に、切った三角形を滑らせて当てます。外側の斜めの辺が重なり、上と下の辺がそれぞれ一直線になる位置を探します。

移した三角形の縦の辺は、もとの垂線と同じ長さです。右端にも同じ高さの縦の辺ができるので、全体が長方形になります。長方形の横の辺は、もとの上の辺と同じ長さで、向かい合う下の底辺とも等しくなります。切り口の長さを底辺に足したり、移した三角形の面積をもう一度足したりする必要はありません。

切った部分が右側にはみ出して長方形にならないときは、三角形の向きや当てる場所を見直します。動かす前後で同じ面積を保っていても、辺の合わせ方が違えば長方形にはなりません。移動後の形が長方形であることと、面積が変わらないことは、別々に確かめることができます。

左へ傾いた形なら、右側を切って左へ移す方法もあります。大事なのは切る側の名前ではなく、底辺に垂直な切り口を作り、反対側の斜めの辺に重ねることです。紙を使わないときも、切り取る部分と移す先を同じ色で印付けると、どこが移ったか追いやすくなります。

高さが図形の外にあるとき

底辺を延長しなければ垂線の足が届かない形もあります。その場合、頂点から底辺を含む直線までの垂直な長さを高さとして使います。延長した部分の長さを底辺に加えるのではありません。底辺として選んだ元の辺の長さと、そこに垂直な距離を掛けます。

例えば底辺が 7 cm、高さが 3 cm のとき、垂線の足が辺の外側にあっても面積は 7 × 3 = 21 cm² です。延長線は高さを測るための目印です。底辺そのものを長くしたわけではないので、延長した分を 7 cm に加えると別の図形の面積を計算することになります。

高さを引く場所は、向かい合う平行な辺の間なら変えられます。どの場所でも、底辺と直角に結んだ距離は同じです。線が長く見えるように斜めに引くと、平行な辺の間を結んでいても高さにはなりません。両端がそれぞれの直線にあることと、直角であることを合わせて見ます。

逆算を表にして考える

面積を底辺で割る理由は、1 cm 幅の帯に分けて考えるとつかめます。切り移した長方形の横が 12 cm、面積が 72 cm² なら、横に 1 cm ずつの帯が 12 本あります。それぞれの帯の面積は等しく、72 ÷ 12 = 6 cm² です。幅 1 cm の帯の面積が 6 cm² なので、縦の長さは 6 cm です。

割る数がどちらの長さかは、問題で求めるものによって変わります。面積と高さから底辺を求めるときも、出した底辺と高さを掛けて元の面積に戻します。式が合っていても、答えに cm² と書くと広さの単位になってしまいます。求めたものが長さか面積かを最後に確認しましょう。

底辺も高さもわからず、斜めの辺の長さだけが与えられたときには、その情報だけで面積は決まりません。同じ長さの辺でも、傾きが変われば平行な辺の間の距離が変わるからです。数字を見つけてすぐ掛けるのではなく、対応する垂直な距離が示されているかを探します。

図に数が多い場合は、底辺に丸を付け、対応する高さに直角の印を添えてから式を書きます。求める長さが高さなのか面積なのかも、問題文に印を付けて区別しましょう。

練習：辺の組を読み替える

次の問題はそれぞれ別の平行四辺形です。必要なら自分で図を描き、底辺と高さの組に印を付けてください。

1. 底辺が 9 cm、その底辺に対する高さが 4 cm の平行四辺形があります。面積は何 cm² ですか。
2. 面積が 84 cm²、底辺が 14 cm の平行四辺形があります。この底辺に対する高さは何 cm ですか。
3. 一辺が 15 cm、その辺に対する高さが 8 cm です。別の辺は 12 cm です。別の辺を底辺とした高さは何 cm ですか。
4. 底辺が 20 cm、その底辺に隣り合う斜めの辺が 13 cm です。斜めの辺の上端から底辺へ垂線を引くと、その足は斜めの辺の下端から底辺上を 5 cm 進んだ位置にあり、垂線の長さは 12 cm です。面積は何 cm² ですか。

練習の答えと道筋

1. 底辺と高さが対応しているので、9 × 4 = 36。答えは 36 cm² です。高さの 4 cm は、9 cm の辺とその向かいの辺の間の垂直な距離です。

2. 面積を底辺で割ります。84 ÷ 14 = 6。答えは 6 cm です。14 × 6 = 84 と戻して確かめると、条件の面積になります。面積を割るので、答えの単位は長さの cm です。

3. まず 15 × 8 = 120 cm² と面積を出します。底辺を 12 cm の辺に変えても面積は変わりません。120 ÷ 12 = 10 より、答えは 10 cm です。12 × 10 = 120 cm² として確かめられます。最初の 8 cm は 15 cm に対応する高さです。

4. 13 cm は斜めの辺で、底辺への高さは垂線の 12 cm です。20 × 12 = 240 より、答えは 240 cm² です。垂線の足までの 5 cm は高さではなく、底辺上の位置を表します。斜めの辺、垂線、足までの区間は 5 cm、12 cm、13 cm の直角三角形を作るため、示した長さは両立します。

覚えておくこと

底辺を選んだら、その底辺に垂直な高さを組にします。 面積は底辺 × 高さで求めます。 面積と底辺がわかるとき、高さは面積 ÷ 底辺です。 底辺を選び直したら、対応する高さも確かめます。

お子さまの考えを聞くとき

お子さまが斜めの辺を掛けたら、まず式のそれぞれの数が図のどこにあるかを指してもらいます。次に「選んだ底辺と直角になっている線はどれかな」と問い返し、直角の印に自分で気づける時間を取ります。

すぐに正しい式を伝えるより、切った三角形をどこに移すと長方形になるかを紙で試してみると、底辺と高さの役割が見えます。逆算で迷うときは、求めた高さを掛けて元の面積に戻るか、お子さま自身に確認してもらいます。直角の線を選ぶ一手が、平行四辺形の広さにつながります。