中学受験の算数 通過算—列車が進む長さを端から端まで図にする｜武蔵野個別指導塾

列車の先頭と最後尾を始まりと終わりの位置に置き、橋の通過や列車同士の追い越しに必要な距離を読みます。

よくあるのは、小6のお子さまが橋を渡る列車の問題で、橋の長さだけを列車の速さで割る場面です。先頭が橋の向こうに着いたところで計算を終えると、最後尾（さいこうび）はまだ橋の上に残っています。列車全体が橋を渡り終えるまでには、どのくらい先へ進むのでしょうか。始まりと終わりの位置を絵に描くと、足りない距離が見えてきます。

どこからどこまでを数えるか

通過算（つうかざん）は、長さのある列車が、ある場所や別の列車を通り過ぎる時間などを求める問題です。列車の先頭が目印に着いた瞬間から、最後尾がその目印を離れる瞬間までを見ることが多くあります。長さがあるものを点として扱わず、端の位置まで追うことが出発点です。

出方の1つは、電柱のように長さを考えない目印を通る型です。先頭が電柱に着いてから最後尾が電柱を通るまでに、列車は自分の長さの分だけ進みます。速さと時間から列車の長さを求める問題にも、長さと速さから時間を求める問題にもなります。

2つ目は、橋やトンネルのように長さがある場所を通る型です。先頭が入り口に着いてから最後尾が出口を離れるまでの距離は、橋の長さと列車の長さを合わせたものです。「先頭が出口に着くまで」なら橋の長さだけなので、終わりの言葉を読み分けます。

3つ目は、2本の列車がすれ違う、または同じ向きに進んで追い越す型です。互いに長さを持つので、通過の始まりから終わりまでに、2本の長さの合計にあたる距離を相手から見て進みます。向かい合うときと同じ向きのときでは、距離の縮まり方が違います。

先頭を目印にして距離をとる

図1のように、列車の先頭が橋の入り口にある状態を始まりとします。橋を渡り終えるのは、最後尾が出口に着いた状態です。そのとき先頭は出口から列車の長さだけ先にあります。先頭の始まりと終わりを比べると、先頭が進む距離は橋の長さと列車の長さの合計です。

図1では、終わりの列車を橋の出口の右側に描いています。最後尾が出口にあるためです。橋の上に最後尾が少しでも残っている間は、列車全体が渡り終わったとはいえません。列車のどの部分を目印にしても進んだ距離は同じですが、始まりと終わりで同じ部分を選ぶ必要があります。

電柱を通るときは、橋の長さにあたる部分がありません。先頭が電柱に着いた後、最後尾がそこへ着くまでに、先頭は列車1本分進みます。速さが一定なら、進んだ道のりは「速さ × 時間」、時間は「道のり ÷ 速さ」で求められます。速さが秒速なら時間は秒、長さはメートルにそろえましょう。

列車同士の場合は、片方の列車からもう片方を見る方法が便利です。向かい合う列車なら、1秒ごとに2本が進む距離を足した分だけ、互いの間が縮まります。これを相対速度（そうたいそくど）といいます。同じ向きなら、速い列車が進む距離から遅い列車が進む距離を引いた分だけ、両者の位置の差が縮まります。

通過し始めるとき、向かい合う列車では先頭同士が出会います。通過し終わるときには最後尾同士が離れます。同じ向きの追い越しでは、後ろの速い列車の先頭が前の列車の最後尾に並ぶ瞬間から、その速い列車の最後尾が前の列車の先頭に並ぶ瞬間までを考えます。どちらも、相手から見て2本の長さの合計だけ動きます。

橋を渡り終えるまでの基本例題

長さ120 mの列車が、秒速20 mの一定の速さで長さ180 mの橋を渡ります。先頭が橋の入り口に着いてから、最後尾が橋の出口を通るまでに何秒かかりますか。秒を単位とする整数で答えましょう。

図2のように、始まりの先頭を入り口に置きます。終わりには最後尾が出口にあるので、先頭は出口より120 m先です。先頭が進む道のりを2つに分けると、橋の180 mと列車の120 mです。

まず、橋の入り口から出口までの180 mに、出口から終わりの先頭までの120 mを足します。

180 + 120 = 300（m）

この300 mが、求める時間の間に先頭が進む道のりです。1秒に20 m進むので、300 mを進む秒数は次のように求めます。

300 ÷ 20 = 15（秒）

答えは15秒です。式の中の300 mは橋の長さではなく、列車の先頭が進む道のりです。何の距離を割ったかを横に書いておくと、橋だけを使っていないか確かめられます。

逆に15秒から元の条件へ戻します。秒速20 mで15秒進むと、20 × 15 = 300 mです。そこから橋の180 mを引くと300 − 180 = 120 mで、列車の長さと一致します。9秒では20 × 9 = 180 m進むので、先頭が出口に着きますが、最後尾は入り口から60 m進んだ橋の上にあり、通過は終わっていません。

問題文が「先頭が入り口から出口へ着くまで」なら、求める距離は180 mです。「最後尾が出口を通るまで」とは終点が違います。同じ橋と列車であっても、どの部分がどこへ着く瞬間かによって式を変えます。

2本の列車では向きが分かれ目

長さ150 mの列車と長さ210 mの列車が、向かい合って一定の速さで走っています。速さはそれぞれ秒速18 mと秒速12 mです。先頭同士が出会ってから、最後尾同士が離れるまで何秒かかりますか。秒を単位とする整数で答えましょう。

先頭同士が出会った瞬間を始まりとします。一方の列車から見ると、もう一方が列車の長さ2本分にあたる距離を進むと通過が終わります。進む距離にあたる合計は、

150 + 210 = 360（m）

です。向かい合っているので、1秒ごとに進む距離を足して、相手から見た速さを求めます。

18 + 12 = 30（m/秒）

したがって、通過にかかる時間は、

360 ÷ 30 = 12（秒）

答えは12秒です。12秒間に一方は18 × 12 = 216 m、もう一方は12 × 12 = 144 m進みます。合わせると216 + 144 = 360 mで、2本の長さの合計と一致します。2本がそれぞれ自分の長さの分だけ進む必要があるわけではありません。2本が進んだ距離の合計が長さの合計になれば、最後尾同士が並びます。

同じ2本が同じ向きに進み、秒速18 mの列車が後ろから追い越す場合は、1秒につき位置の差が18 − 12 = 6 mずつ縮みます。先頭が相手の最後尾に並んでから自分の最後尾が相手の先頭に並ぶまで、相手から見て360 m進むので、360 ÷ 6 = 60秒です。確認すると、その間に速い方は1080 m、遅い方は720 m進み、差は360 mです。

同じ向きでも後ろの列車が遅ければ、この一定の速さのままでは前の列車に追いつきません。速さが等しい場合も、位置の差は縮まらないので追い越せません。速さを引く前に、どちらが前でどちらが速いかを図に書きます。出会いと追いつきの一般的な距離の考え方にもつながりますが、ここでは列車の端から端までを見ることに集中します。

橋だけを割った答えを直す

基本例題で「180 ÷ 20 = 9秒」とした答えを見てみましょう。計算そのものは、先頭が入り口から出口まで進む時間としては正しいです。ただし、問題は最後尾が出口を通るまでを聞いています。何を求めた式なのかを確かめると、計算の誤りと読み取りの誤りを区別できます。

図3のように、9秒後は先頭が出口に着いた状態です。最後尾は入り口から60 m進んだ橋の上にあります。列車の長さ120 mを進むための時間は120 ÷ 20 = 6秒です。そこからさらに6秒進んで初めて、最後尾が出口に着きます。

修正は9 + 6 = 15秒です。最初から橋と列車を合わせて300 ÷ 20としても同じです。図3の途中の状態を言葉にできれば、なぜ列車の長さを足すのか説明できます。橋だけを割った式を消す前に、何を表すかを書き添えると、次の問題で役立ちます。

別の間違いとして、すれ違いでも速さの差を使う場合があります。反対向きなら、互いに1秒ずつ進む距離が間を縮めるので足します。同じ向きなら両方が前へ進むため、速い方が余分に進んだ分だけ差が縮みます。矢印を2本描き、向きと前後を確かめてから式を選びましょう。

また、時速のまま秒をかけると、単位が合いません。例えば時速72 kmは1時間に72000 mです。1時間は3600秒なので、72000 ÷ 3600 = 秒速20 mです。単位をそろえてから距離を出し、答えにも秒やmを書きます。数字だけで計算を進めると、間違いに気づきにくくなります。速さを直した後は、1秒で何m進むのか声に出して確認しましょう。時間を求めた後も、速さに秒数をかけて元の道のりに戻せます。

手を動かす4問

どの問題も列車の速さは一定です。式を立てる前に、始まりと終わりの端を小さく描いてみましょう。時間は秒、長さはmを単位とする整数で答えてください。

1. 長さを知らない列車が、電柱を通り始めてから通り終わるまでに8秒かかりました。速さは秒速15 mです。列車の長さは何mですか。
2. 長さ90 mの列車が、長さ150 mのトンネルを秒速12 mで通ります。先頭が入り口に着いてから最後尾が出口に着くまで何秒ですか。
3. 長さ100 mと140 mの列車が、向かい合って秒速16 mと秒速14 mで走ります。先頭同士が出会ってから最後尾同士が離れるまで何秒ですか。
4. 長さ80 mの列車が、前を同じ向きに進む長さ160 mの列車を追い越します。後ろの列車は秒速25 m、前の列車は秒速15 mです。後ろの列車の先頭が前の列車の最後尾に並んでから、後ろの列車の最後尾が前の列車の先頭に並ぶまで何秒ですか。

答えとたどり方

1. 電柱を通る列車

先頭が電柱に着いてから最後尾が電柱を通るまで、列車は自分の長さだけ進みます。秒速15 mで8秒進むので、

15 × 8 = 120（m）

答えは120 mです。120 ÷ 15 = 8秒と戻すと、通過時間と一致します。電柱は長さのない目印として扱うため、列車の長さに別の長さを足す必要はありません。

2. トンネルから出るまで

先頭はトンネルの150 mを進んだ後、最後尾が出口に着くまで列車の90 m分をさらに進みます。先頭の道のりと時間は、

150 + 90 = 240（m）

240 ÷ 12 = 20（秒）

答えは20秒です。12 × 20 = 240 m、240 − 150 = 90 mと戻せます。先頭が出口に着くまでの150 ÷ 12秒とは、終わりの位置が違います。

3. 向かい合う列車

2本の長さの合計は100 + 140 = 240 mです。向かい合うので相手から見た速さは16 + 14 = 秒速30 mです。

240 ÷ 30 = 8（秒）

答えは8秒です。それぞれ8秒で128 mと112 m進み、合計は240 mです。最後尾同士が並ぶ条件に合います。

4. 同じ向きの追い越し

2本の長さの合計は80 + 160 = 240 mです。1秒あたりの進む距離の差は25 − 15 = 10 mです。後ろの列車から見た前の列車との位置の差が、1秒に10 mずつ縮みます。

240 ÷ 10 = 24（秒）

答えは24秒です。24秒で後ろの列車は600 m、前の列車は360 m進みます。差は240 mで、2本の長さの合計と一致します。前後と速さの大小を逆にすると追い越せない点にも注意します。

覚えておくこと

• 電柱を通る距離は列車の長さです。
• 橋を渡り終える距離は橋と列車の長さの合計です。
• 列車同士は2本の長さを合わせ、反対向きの速さは足し、同じ向きは差を使います。
• 始まりと終わりの端、速さと時間の単位を確かめます。

家で見守るとき

お子さまが式を選べないときは、答えを急いで教える前に、列車の先頭と最後尾が始まりと終わりにどこにあるか聞いてみてください。入り口から出口まで指でたどれたら、最後尾が出口に着くには先頭がさらにどこまで進むかを一手だけ促します。図が描けていれば、次はその距離をどの速さで割るかを本人に選んでもらえます。

式が違っていても、どの場面を表す計算なのかを尋ねると、橋の出口に先頭が着いた時刻を出しているのか、単位をそろえ忘れたのかを見分けられます。列車同士で迷ったときは、2本の矢印の向きを先に描き、1秒後に位置の差がどう変わるかを説明してもらいましょう。端の位置を追う図が、通過する時間の理由を支えます。