中学受験の算数 仕事算—全体をそろえて一日分の仕事から日数を出す｜武蔵野個別指導塾

1日分をそろえて足し、途中参加では残りを求めてから日数を出す仕事算をたどります。

よくあるのは、小6のお子さまが、1人ずつなら別々の日数で終わる作業について、2人で行う日数を足して2で割る場面です。たしかに平均の日数は出ますが、2人で手を動かせば、1日に進む仕事はそれぞれの分を合わせた量になります。何日かかるかを見る前に、同じ1日でどれだけ進むかを比べてみましょう。箱を整理する場面を思い浮かべると、全体とその一部分の関係がつかみやすくなります。

問題文から見つけたい三つの形

仕事算では、終わらせる仕事の全体を決め、それを毎日同じ調子で進めます。1人で全部を終える日数から1日分を出す形、2人が初めから協力する形、途中からもう1人が加わる形があります。どの形でも、人数や日数をいきなり足すのではなく、同じ全体に対する1日分をそろえます。

初めから協力するときは、2人の1日分を足して、全体をその合計で割ります。途中参加なら、まず1人で進めた分を全体から引き、残りを2人の1日分で割ります。最初から2人で行ったことにしてしまうと、参加前の仕事を余分に数えてしまいます。

問題文に「毎日同じ量を進める」「同じ仕事をする」とあるかに注意します。作業の速さが変わったり、片付ける物が途中で増えたりするなら、同じ計算をそのまま使うことはできません。物が増えながら減る問題は別の考え方が必要です。ここでは全体が増えず、それぞれの1日分が変わらないものを扱います。

全体と1日分をそろえる

仕事量（しごとりょう）は、終わらせる仕事の大きさです。何箱かは知らなくても、全体を1として考えられます。たとえば、ある人が同じ量ずつ6日で終えるなら、1日分は全体の6等分の1、つまり1/6です。6日分を合わせると、1/6を6回分で1になります。

図1のように、全体を同じ大きさの6つに分けると、1日分はそのうちの1つです。全体が何箱か決まっていなくても、同じ全体を分けていることが図から読み取れます。別の人が3日で終えるなら、その人の1日分は1/3です。同じ大きさに分けて比べれば、1/3は1/6の2つ分です。

図1の色のついた部分は、6日で終える人の1日分です。白い残りは全体の5/6で、区切られた5つの部分がそれぞれ1日分にあたります。分母（ぶんぼ）の6は全体を何等分したか、分子（ぶんし）の1はそのうち何個分かを表します。分数を足すときは、同じ大きさの部分にしてから個数を足します。

全体を1ではなく、便利な整数で表す方法もあります。6日と3日で終える人を比べるなら、全体を6とすると、1日分はそれぞれ1と2です。この6は実際の箱数と決めたのではなく、仕事全体を等しい部分に分けた数です。全体を6と決めた後は、途中の仕事も残りも同じ単位で数えます。

「1日分」は日数とは違います。1人で6日かかる人の1日分を6と書いてしまうと、6日で全体の36になってしまいます。1日分に、その人が1人で終える日数をかけて全体に戻るかを見れば、取り違えに気づけます。また、2人が同じものを二重に数えず、別々の部分を同時に進めると考えます。

基本例題：2人で箱を整理する

同じ箱の整理を、あきさん1人では8日、いとさん1人では12日で終えます。2人は毎日それぞれ同じ量を整理し、同じ箱を重ねて数えずに、初めから一緒に作業します。全部を終えるまで何日かかりますか。日数は分数で答えてください。

まず全体を1として、それぞれの1日分を求めます。あきさんの1日分は1/8、いとさんの1日分は1/12です。8日と12日には共通の倍数24があるので、全体を24の同じ部分に分けて考えます。図2のように、1日分はそれぞれ24分の3と24分の2になります。

計算を1行ずつ追います。

1 ÷ 8 = 1/8 = 3/24（あきさんの1日分）

1 ÷ 12 = 1/12 = 2/24（いとさんの1日分）

3/24 + 2/24 = 5/24（2人の1日分）

1 ÷ 5/24 = 24/5（日）

答えは24/5日です。帯分数なら4と4/5日です。最後の割り算は、全体を24の部分と見れば、1日5部分ずつ進むので24 ÷ 5と考えられます。4日で20部分が終わり、残る4部分に4/5日かかります。1日より短い時間にも同じ割合で進むと考えます。

答えを元に戻して確かめます。2人の1日分5/24に24/5日をかけると1です。それぞれの1日分にも8日または12日をかけると、どちらも全体の1に戻ります。答えの24/5日は、それぞれが1人で行う8日、12日より短く、2人で進む様子とも合います。ただし、短いという確認だけでは正しい日数まで決まらないので、仕事量に戻す計算も行います。

日数の8と12の平均を出すと10日です。これは2人の1日分を足した結果ではありません。10日では2人が5/24ずつ10回進めることになり、全体をこえてしまいます。日数の平均を計算する前に、求めたいのは1日あたりに進む量だと押さえましょう。

途中から加わるときの分かれ目

同じ花だんの草取りを、さきさん1人なら10日、なおさん1人なら15日で終えます。さきさんが最初の2日間は1人で行い、その後なおさんが加わります。毎日の仕事量はそれぞれ一定で、同じ場所を重ねて数えません。始めてから全部終わるまでの日数を、分数で答えてください。1日より短い時間も同じ割合で進むものとします。

ここでは2つの期間に分けます。最初の2日間はさきさんの1日分だけ、その後は2人の1日分を足します。全体を1として、どの時点で何が残るかを順に書きます。

1 ÷ 10 = 1/10（さきさんの1日分）

1 ÷ 15 = 1/15（なおさんの1日分）

1/10 × 2 = 1/5（最初の2日間に終えた分）

1 − 1/5 = 4/5（2人で取りかかる時点の残り）

1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6（2人の1日分）

4/5 ÷ 1/6 = 24/5（日、2人になってから）

2 + 24/5 = 34/5（日、始めから終わりまで）

答えは34/5日です。全体を30と見直すと、さきさんは1日に3、なおさんは2を進めます。最初の2日で6が終わり、残り24を2人で1日5ずつ進めるので24/5日です。この24/5日は参加後の時間です。聞かれているのは開始からの日数なので、最初の2日を加えます。

検算では、最初の1/5と、参加後の1/6 × 24/5 = 4/5を合わせて1です。参加するまでの日数が長く、1人で先に終わってしまう設定なら、残りに2人の仕事量を当てる前に、すでに終わる時点を確認します。今回の2日では1/5が終わり、残りがあるので、参加後の計算へ進めます。

日数を平均した答えを直す

基本例題の8日と12日を使い、誤って (8 + 12) ÷ 2 = 10日とする場合を見ます。図3のように10日分の仕事を考えると、1日分5/24を10回なので50/24となり、全体の24/24をこえます。作業が終わった後も計算上は進め続けていることになり、10日という答えは条件に合いません。

誤りの原因は、1人ずつの所要日数（しょようにっすう）を、2人の1日分のように扱ったことです。日数は全体を終えるまでの長さで、足すべき量はその逆にあたる1日分です。修正するときは8と12をそれぞれ全体1から割り出し、1/8と1/12を足します。全体をその合計で割れば、先ほどの24/5日になります。

もう1つの誤りは、途中参加の問題で、最初の2日分を引かずに全体を2人の1日分で割ることです。それでは参加前にも2人が働いた計算になります。時間の順に「1人」「2人」と書き、その区切りで残りを出しましょう。逆に、最初の2日で終えた分を残りと勘違いしても、仕事の合計が1に戻りません。残りと終えた分を足して全体になるか、そこで確認します。

手を動かす練習

次の4問は、それぞれ全体が一定で、1人あたりの1日分も一定です。1日より短い時間にも同じ割合で作業し、同じ部分を重ねて数えないものとします。答えは日数なら分数、仕事量なら分数で書いてください。

1. カードの仕分けを、みきさん1人なら9日で終えます。3日間で終える仕事は全体の何分のいくつですか。
2. 紙を折る作業を、れいさん1人なら6日、ゆうさん1人なら18日で終えます。初めから2人ですると何日かかりますか。
3. 本を棚に並べる作業を、あおいさん1人なら12日、はるさん1人なら8日で終えます。あおいさんが最初の3日を1人で行い、その後はるさんが加わると、開始から何日で終わりますか。
4. 袋詰めを、ひなさん1人なら4日、そらさん1人なら20日で終えます。ひなさんが最初の2日を1人で行い、その後2人で仕上げると、参加後に何日かかりますか。

答えとたどり方

1. 1日分は1 ÷ 9 = 1/9です。3日分は1/9 × 3 = 3/9 = 1/3です。答えは全体の1/3です。残りは2/3で、終えた分と合わせると1に戻ります。9日では1/9 × 9 = 1となり、元の条件も満たします。

2. 1日分は、それぞれ1/6と1/18です。1/6 + 1/18 = 3/18 + 1/18 = 4/18 = 2/9なので、全体を終えるには1 ÷ 2/9 = 9/2日です。答えは9/2日です。2/9 × 9/2 = 1で、ちょうど全体を終えます。1人で行う6日より短いことも合っています。

3. 最初の3日で1/12 × 3 = 1/4を終え、残りは1 − 1/4 = 3/4です。2人の1日分は1/12 + 1/8 = 2/24 + 3/24 = 5/24です。参加後は3/4 ÷ 5/24 = 18/5日です。最初の3日を足し、3 + 18/5 = 33/5日が答えです。1/4 + 5/24 × 18/5 = 1と、全体に戻して確かめられます。

4. 最初の2日で1/4 × 2 = 1/2を終え、残りは1/2です。2人の1日分は1/4 + 1/20 = 5/20 + 1/20 = 3/10です。残りにかかる日数は1/2 ÷ 3/10 = 5/3日です。今回は参加後の時間を聞いているので、2日を足さず、答えは5/3日です。1/2 + 3/10 × 5/3 = 1となり、残りをちょうど終えます。

練習3と4は、最後に求める時間の始まりが違います。練習3は最初から、練習4は参加してからです。式に答えの単位と期間を書いておくと、途中まで正しく求めた数を別の答えとして使う間違いを防げます。

練習で答えを確かめる際は、式が合っているかだけでなく、何を全体としたかも見直します。たとえば1人の仕事を全体の1とし、もう1人には別の量を全体の1としてしまうと、分数の形が同じでも足せません。同じ作業の同じ全体を指していることが、1日分を合わせる条件です。

また、仕事量を整数で置く場合は、最初に決めた全体を計算の途中で変えないようにします。全体を24としたのに残りだけを1として混ぜると、単位がそろいません。分数の方法と整数の方法を行き来するときは、それぞれの全体を欄の上に書き、最後に同じ日数になることを比べます。答えが分数の日数なら、整数の日数と1日未満の部分に分けて、途中でどれだけ残るかを確かめることもできます。

参加の時点を線で区切るときは、何日目に加わるという言葉にも注意します。最初の2日間が終わってから加わるなら、1人の期間はちょうど2日です。問題文の時点があいまいに見える場合は、数え始めと参加の瞬間を図に書いて読み直します。

ノートに残す要点

全体を1など同じ量に決め、1日分を出します。 一緒に作業する期間は、それぞれの1日分を足します。 途中参加では、先に終えた分を引いて残りを出します。 求めた日数を仕事量に戻し、全体と合うか確かめます。

保護者の方へ

お子さまが日数を足していたら、すぐに式を直す前に、全体を表す線と1日分を指して説明できるか聞いてみてください。線を等分するところで止まるなら、1人が終える日数だけ同じ大きさに分ける一手を促します。1日分は言えるのに途中参加で迷うなら、参加する時点に線を引き、そこまでに終えた分をたずねます。

答えが合っていても、参加後の日数と開始からの日数を区別できるか、問題文に戻って確かめてみましょう。間違えた式も消す前に、何を数えたかったかを言葉にすると、日数と仕事量のどちらが違ったか見つけやすくなります。全体と1日分を行き来すれば、仕事の進み方が見えてきます。