共通テスト数学のベクトルの点が線分の外へ出る—内分と外分の位置を先に確かめる｜武蔵野個別指導塾

同じ距離比を満たす内側と外側の2点を数直線に置き、線分上という条件に戻って採用する点を絞ります。

距離の比が合ったことと、点が指定された線分上にあることは別々に確かめます。同じ比を満たす点が線分の内側と外側に現れることがあるためです。まず点の並びを図に置き、距離の式を作り、最後に両方の条件へ戻して答えを選びます。

よくあるのは、高3の秋、比は合うのに求めた点が指定の線分上に無かった演習の場面です。計算欄にはきれいな分数が残り、距離の比も確かに一致しています。それでも問題文の「線分上」に線を引いて図を見ると、答えの点は端の向こう側にあります。計算結果を消す前に、比と位置のどちらが合っているのかを分けて調べます。

比が合うのに位置が違う理由

線分AB上の点Pについて、AP:PBという比を読むとき、APとPBはどちらも長さです。長さは向き付きの差とは違い、負にはなりません。一直線上の座標を使う場合、引き算の結果にそのまま比を当てると、点がどちら側にあるかという情報が抜け落ちることがあります。

たとえばAを0、Bを6とし、AP:PBが1:2の点を考えます。PがAとBの間ならPは2です。ところがPがAの左にある場合も、Pが-6ならAPは6、PBは12で、比は1:2です。2と-6は異なる位置ですが、距離の比は同じです。図1のように、比の一致だけでは、線分の内側と外側を区別できません。

線分AB上と指定されているなら、2は候補に残り、-6は外れます。逆にAの左側にある点を求める指定なら、-6が残り、2は指定外です。どちらも計算が破綻した点ではありません。求める点を選ぶ条件が異なるため、採用する答えが変わります。

図は見た目の確認だけで終わらせず、点の順番を文字で書いて使います。内側ならA、P、Bの順、外側の左ならP、A、Bの順です。点の順番が決まれば、各距離をどの順に引き算するかも決まります。比の式を立てる前にこの順番を置くと、長さに負の値を混ぜずに済みます。

答案のどこからずれたか

最初に問題文から、点の位置を指定する言葉と距離比の言葉を別々に拾います。「線分AB上」と「AP:PB = 1:2」は、片方を満たせばもう片方も自動的に満たすという関係ではありません。答案に両方への確認があるかを見ます。比の代入が正しくても、位置への照合がなければ、結論の直前に点検が残っています。

次に、答案で求めた座標を数直線に戻します。2なら0と6の間、-6なら0の左です。図を正確な縮尺で描けない場合も、数の大小を並べれば位置は判断できます。0 ≤ x ≤ 6を満たすかを調べることは、線分上の条件を数で確認する操作です。端点も線分には含まれますが、この比では端点のどちらも条件を満たしません。

そのうえで、距離の欄をもう一度計算します。座標の差をそのまま書くのではなく、APは両座標の差の絶対値、PBも同様に考えます。たとえばx = -6なら、APは|-6 − 0| = 6、PBは|-6 − 6| = 12です。符号付きの差を距離と取り違えた場合、位置の判定より前に距離の式を直します。

計算が合っているのに指定から外れた場合は、式そのものを全部消す必要はありません。外れた点の横に「比は合う、位置は合わない」と書けば、誤りの場所が見えます。反対に点の位置は正しくても距離比が違えば、位置の図だけでは正解になりません。図と式は別々の条件を調べ、最後に同じ候補へ重ねます。

この判断は、点の座標を単に求める公式の暗記とは焦点が違います。公式の形を知っていても、それを内分に使ったのか外分に使ったのか、問題の指定と一致したのかを確認しなければ、採用する点は決まりません。ベクトルで表した後も、点が直線のどの位置にあるかという幾何の条件に戻ります。

位置を置いてから式を作る

同じ自作例を最初からたどります。たとえば数直線上にA = 0、B = 6を置き、AP:PB = 1:2を満たす点Pのうち、線分AB上にあるものを求めます。ベクトルとして見れば、原点OからA、B、Pへ向かう位置ベクトルの向きと大きさを、ここでは一直線上の座標で表しています。

まず線分上という条件から0 ≤ x ≤ 6と置きます。Pの座標をxとすると、点はAからBの間なのでAP = x、PB = 6 − xです。どちらの式もこの範囲では負になりません。端点を含む範囲にしておくと、計算後に端点が条件を満たすかも確かめられます。

次に距離の比からAP:PB = 1:2、したがって2x = 6 − xです。これを解くとx = 2です。代入してAP = 2、PB = 4となり、2:4は1:2です。さらに0 ≤ 2 ≤ 6ですから、距離比と位置の両方を満たします。図2のように、位置の範囲を先に決めてから距離を式に変えると、どの引き算を使ったかが残ります。

ここで、位置ベクトルをそれぞれa、b、pと書くと、例の答えはp = (2a + b)/3です。AからBへ3等分したうちの1つ分進むので、A側の重みが2、B側の重みが1です。比の数字と係数の並びを記憶だけで結ぶのではなく、答えがAに近い点かどうかを図で確かめます。APがPBの半分なので、PはBよりAに近くなければなりません。

もし係数を逆にしてp = (a + 2b)/3とすると、この例では座標4です。その点の距離は4と2なので、AP:PBは2:1です。線分上にはありますが、指定された比が逆になります。位置だけの確認を通過しても、距離比への代入で止められます。

一方、範囲を決めずに「距離」を座標差のまま扱うと、引き算の向きに迷います。絶対値を使うなら、|x|:|6 − x| = 1:2と置き、各区間で絶対値を外します。内側と外側では距離の式が変わるので、範囲を分けずに同じ式を使い続けてはいけません。必要な範囲が指定されているなら、その範囲から始める方が条件と式の対応を追いやすくなります。

途中で答えが線分の外に出たら、すぐに比の計算を間違えたと決めつけず、どの区間で距離を表したかを調べます。外側の式を解いた結果が正しくても、線分上を問う場合には採用できません。式を直すのか、候補の選択を直すのかを分けて戻ります。

外側が指定された場合と確かめ問題

同じA = 0、B = 6、AP:PB = 1:2でも、PがAの左側と指定されたらx < 0です。このときAP = -x、PB = 6 − xなので、2(-x) = 6 − xとなり、x = -6です。距離は6と12で比は合い、-6 < 0も満たします。図3のように、内側の式と外側の式は、距離を正の長さとして表すために変わります。

Bの右側についても調べると、x > 6ではAP = x、PB = x − 6です。比から2x = x − 6となりx = -6ですが、これはx > 6に反します。したがって、この区間には条件を満たす点がありません。方程式の解が出ても、式を作ったときの範囲に戻して採否を判定します。

比が1:1なら別の注意が必要です。異なる2点から等距離の直線上の点は中点で、有限の外側の点はありません。外分の公式に数字を機械的に入れると分母が0になる形もあるため、そのまま計算を続けず、両端からの距離を比べ直します。AとBが同じ点なら、そもそも異なる2点を結ぶ線分としての上の議論は使えません。与えられた点が異なることも、図を置く際に確かめます。

確かめてみましょう。たとえば一直線上にC = 0、D = 8を置きます。CQ:QD = 3:1を満たす点Qについて、線分CD上にある点と、Dの右側にある点をそれぞれ求めてください。2つの点について、距離の比と位置の両方を確かめます。

解答は、線分上ではQ = 6、Dの右側ではQ = 12です。線分上で座標をyとすると、CQ = y、QD = 8 − yですから、y = 3(8 − y)よりy = 6です。距離は6と2で3:1となり、0 ≤ 6 ≤ 8です。Dの右側ではCQ = y、QD = y − 8なので、y = 3(y − 8)からy = 12です。距離は12と4で3:1となり、12 > 8も満たします。

6と12のどちらか一方しか見つからなかったときは、問われた位置ごとに距離の式を作った所へ戻ります。たとえば外側でQDを8 − yとすると負の数になり、長さの式として使えません。比が1:3になったときは、CQとQDの順序を問題文と照らし直します。数字が式に並んでいるだけでなく、どの距離に対応する数字なのかを声に出して確認します。

条件が抜けたときに立ち止まる

問題文が「直線AB上」とだけ指定し、内側か外側かを書いていない場合は、線分上の点だけを答えにする根拠がありません。先ほどの1:2の例なら、内側の2と左側の-6を両方調べ、右側には該当しないことも確かめます。直線は線分より広く、端の先にも続きます。指定の語を読み替えず、答える範囲を先に決めることが必要です。

ただし、比の条件が与えられたからといって、どんな場合も必ず内外に2点あると決めるのも危険です。1:1の例では外側の有限の点がありません。比の両方が正で、AとBが異なるという前提を確かめ、実際の式と範囲によって候補の有無を判断します。存在しない候補に対して無理に座標を作る必要はありません。

図を読むときにも、点名の順序が手がかりです。AP:PBは、最初がAからP、次がPからBへの距離です。PAとAPは同じ長さですが、AP:PBとPB:APは順番が逆です。比の左側が小さければPはAに近いという関係を、計算前に小さく書いておきます。答えが出た後でその関係に反していたら、数字の置き方を調べます。

数直線の原点をAに置いたのは計算を見やすくするためです。Aが原点でない場合も、点の順序と距離の差を正しく作れば、同じ位置関係を調べられます。原点からの距離と、AからPまでの距離を混同しないことが要点です。座標が負であっても距離は負にならず、座標の符号だけで長さの大小を決めてはいけません。

また、線分上にあるという条件には両端が含まれます。正の距離比では、Pが端点なら片方の距離が0になるため、その比を満たしません。端点を最初から図から除くのではなく、範囲に含めたうえで比を代入すれば、採用できない理由が残ります。境界を調べる習慣は、図だけでは判断しにくい答案の点検にも役立ちます。

計算が途中で合わなくなった場合は、最後の分数から戻る前に、各距離が負になっていないかを見ます。距離の式が負なら、引き算の順序か置いた範囲に問題があります。距離は正なのに比が逆なら、比の対応を調べます。両方合って位置だけ違うなら、その候補を消す理由は位置条件です。戻る場所を分ければ、正しく書けた部分を残したまま直せます。

答えを選んだ後にも、別の候補がなぜ外れたかを短く添えると、位置条件を使ったことが答案に残ります。図の点名と式の文字が一致しているかも見直します。点の名前を取り違えると、正しい計算を別の点の答えとして書いてしまうからです。

教科書へ持ち帰る途中式

教科書の内分点・外分点の節では、点の並びと位置ベクトルの式がどう対応しているかを、図と並べて確認します。公式の係数を忘れたときは、Aに近いはずの点が実際に近いかという小さな例を作り、係数の向きを検査します。距離比が等しい場合の扱いも、分母が0になる式の前に、長さの条件へ戻って調べます。

質問するときは、問題文の位置条件、描いた数直線、距離を表した2つの式、求めた座標をまとめて見せると、どこから判断が変わったかを追えます。「比は合うが線分上にない点を採用した」と具体的に伝えれば、計算の修正と条件の読み直しを区別できます。答えだけを見せるより、どの範囲で式を作ったかが伝わります。

個別指導で確かめるなら、問題文に引いた線と途中式を書いた紙を並べます。お子さまが描いた点の順序と、APやPBを引き算に直した行を照合し、最後の座標を元の図に戻します。答えが外に出た理由を、計算の符号と位置条件のどちらにあるかまで切り分けます。

距離比は点の候補を示し、線分上か外側かの条件が採用する点を決めます。求めた座標を図と距離の両方に戻して、指定された位置を選び取ります。