【中学受験算数】消去算を図解で総まとめ—2 つの未知数・加減法 代入法の考え方（文字を使わず）｜武蔵野個別指導塾

品物の個数をそろえる図と置き換えの線分図で、消去算の手順を確かめます。2種類の代金から3種類の組み合わせまで、例題と練習問題を通して家庭でも考え方をたどれます。

よくあるのは、習い事の帰りの自転車置き場で、お子さまが算数のプリントを見せながら「鉛筆と消しゴム、どちらの値段も書いていないのに、どうして答えが出るの」と手を止める場面です。合計の代金は書いてあります。でも、品物が2種類混ざっているので、そのまま個数でわることはできません。かけ算やわり算はできるのに、最初の式が決まらないのです。

消去算では、わからない量が混ざったままの情報を整理します。2つの買い方を比べ、同じ品物の同じ個数分を取り除くと、残りは1種類になります。ある品物を、同じ値段の別のまとまりに置き換える方法もあります。どちらも、すでに知っている計算が使える形へ、問題を組み直す考え方です。

初めから難しい記号を使う必要はありません。○と△を品物の代わりに並べ、「何が同じで、何が残るか」を説明できるところから始めましょう。計算の答えだけでなく、なぜその引き算でよいのかまで追えるようにしていきます。

この単元で身につけること

• わからない量と個数を分けて読みます。「1個の値段が不明」なのか「個数が不明」なのかを区別すると、何を○や△で表せばよいか決まります。
• 条件を同じ順番に並べます。品物の種類ごとに場所をそろえて書くと、どちらを何倍すれば同じ個数になるかを見つけやすくなります。
• 同じまとまりを引いて1種類にします。取り除くのは同じ品物の同じ個数分なので、その部分の値段を知らなくても代金の差を求められます。
• 条件全体を何倍かします。品物の一部だけを増やすのではなく、買い物の組を丸ごと増やすことで、正しい関係を保ちます。
• 同じ値のまとまりに置き換えます。○1個分を△2個分と決まった数に直せれば、残る未知の量を△だけにできます。
• 求めた答えをすべての条件で確かめます。1つの買い方に合うだけでは足りません。最初に書かれたどの条件にも合うことが、答えを決める最後の確認です。

これまで学んだ、同じ数ずつのまとまりをかけ算で求める考え方や、全体から一部分を引いて残りを求める考え方が土台になります。新しい計算の種類を増やすのではなく、計算する前の整理の仕方を身につける単元です。

基本の考え方

○と△は、同じ値のまとまりを表します

消去算は、いくつかの条件を組み合わせ、わからない量の種類を減らして答えを求める問題です。「未知数」という言葉は、まだわからない数を意味します。ここでは文字式や方程式を使わず、○と△、品物の名前、数の計算だけで考えます。

例えば、鉛筆1本の値段を○、消しゴム1個の値段を△と決めます。鉛筆3本と消しゴム2個なら「○○○と△△」です。○は鉛筆の本数そのものではなく、鉛筆1本分の値段を表しています。○を3個並べれば、その合計が鉛筆3本分の値段になります。同じ問題の途中で○の意味を変えないことが大事です。

このとき、同じ種類の品物はどの買い方でも同じ単価とします。鉛筆1本分の値段が買い方によって変わってしまうと、同じ○として比べられません。また、○と△という別の記号を使うのは品物を区別するためです。別の記号だから値段も必ず違う、という意味ではありません。

条件が長い文章で示されているときは、まず「何をいくつ、合わせていくら」と読み直します。鉛筆、消しゴム、合計の順番をそろえて2行に書くと、比較する場所がはっきりします。頭の中で品物を動かすより、紙に○と△を置く方が、取り除いたものを確認できます。

同じものを取り除くと、差だけが残ります

鉛筆3本と消しゴム2個が420円、鉛筆1本と消しゴム2個が220円だとします。どちらにも消しゴムが2個ずつあります。さらに、鉛筆も1本ずつ共通しています。この共通の買い物を取り除くと、最初の買い方だけに鉛筆2本が残ります。

図1のように、上と下の同じ位置に、同じ品物を並べてみましょう。灰色の枠で示した部分は、どちらも鉛筆1本と消しゴム2個です。上の行の赤い枠だけが、下の行にはない追加分です。

共通部分の値段は220円ですから、追加の鉛筆2本分は420 − 220 = 200円です。よって、鉛筆1本分は200 ÷ 2 = 100円になります。引き算をするとき、代金だけを見ているわけではありません。品物の差と代金の差を対応させているのです。

「消去する」と聞くと、片方の品物を勝手に消すように感じるかもしれません。実際には、同じ内容どうしを比べて差を取っています。消しゴムが無料になったのではありません。消しゴム2個分の値段が上にも下にも含まれているため、代金の差に影響しないということです。

この見方は、重さの問題でも同じです。同じおもりを同じ個数だけ含む2つの組なら、重さの差は、それ以外の部分の差になります。値段と重さが同じ問題に混ざるときは一緒に引けませんが、同じ種類の量どうしなら、まとまりを比べる考え方を使えます。

そろえて引く方法と、置き換える方法

初めから同じ個数があるとは限りません。片方に消しゴムが2個、もう片方に3個あるなら、2個の組を3組、3個の組を2組にすると、どちらも6個になります。そのために、鉛筆の本数も合計代金も、組と一緒に増やします。品物の一部だけを増やさないことが約束です。

同じ個数にそろえてから足したり引いたりする考え方は、「加減法」と呼ばれる方法につながります。ここでは主に引き算で1種類を取り除きます。引き算の前に「△が何個ずつそろったか」、引き算の後に「○が何個残ったか」と確かめれば、計算だけが先に進むのを防げます。

もう1つは「代入法」につながる置き換えです。○1個分が△2個分と30円の合計に等しいなら、○の場所を「△△と30円」に置き換えられます。すると、○と△が混ざった買い物が、△だけと決まった金額の組み合わせになります。ここでも、同じ値段だから交換できる、という理由が先にあります。

方法の選び方に迷ったら、条件を見てください。同じ品物の個数をそろえやすいなら引き算へ進みます。「1個分は別の品物の2個分より30円高い」のような関係があれば置き換えが使いやすくなります。名前を覚えてから解くのではなく、図で何をそろえられるかを見つけることが出発点です。

例題で解き方を確かめる

例題1　初めから同じ個数がある問題

鉛筆3本と消しゴム2個を買うと420円、鉛筆1本と消しゴム2個を買うと220円です。鉛筆1本と消しゴム1個の値段を、それぞれ求めましょう。同じ種類の品物の値段は一定です。

1. 消しゴムの個数を比べます。どちらも2個なので、そのまま2つの買い方の差を取れます。図1の共通部分と残る部分を、もう一度指で確認します。
2. 代金の差を求めます。420 − 220 = 200円です。鉛筆の本数の差は3 − 1 = 2本なので、この200円は鉛筆2本分です。
3. 鉛筆1本分を求めます。200 ÷ 2 = 100円です。残った本数でわると、1本分に戻せます。
4. 220円の買い方に戻ります。220 − 100 = 120円が消しゴム2個分ですから、120 ÷ 2 = 60円です。すでにわかった鉛筆の代金を取り除くことで、もう1種類も求められます。

答え：鉛筆1本100円、消しゴム1個60円です。

確かめると、100 × 3 + 60 × 2 = 420、100 + 60 × 2 = 220で、どちらの買い方にも合います。最初の引き算で200円が出ても、それを鉛筆1本の値段としないようにしましょう。「200円は何本分ですか」と聞くと、計算結果と品物の対応を確認できます。

例題2　両方の条件を何倍かしてそろえる問題

ノート2冊とペン3本で510円、ノート3冊とペン2本で540円です。ノート1冊とペン1本の値段を、それぞれ求めましょう。同じ種類の品物の値段は一定です。

1. ペンを同じ本数にそろえます。3本と2本の両方を6本にできるので、510円の買い物を2組、540円の買い物を3組にします。6は3と2の公倍数のうち最も小さい数で、余分に大きな個数を使わずに済みます。
2. 組全体を増やします。前の買い方はノート4冊とペン6本で510 × 2 = 1020円、後の買い方はノート9冊とペン6本で540 × 3 = 1620円です。どちらも元の買い物を丸ごとくり返しています。
3. 差を求めます。ペン6本分を取り除くと、ノート9 − 4 = 5冊分が残ります。1620 − 1020 = 600円ですから、ノート1冊は600 ÷ 5 = 120円です。
4. 元の510円の条件を使います。ノート2冊は120 × 2 = 240円なので、ペン3本は510 − 240 = 270円です。270 ÷ 3 = 90円で、ペン1本分がわかります。

答え：ノート1冊120円、ペン1本90円です。

図2のように、そろえた後の2行を並べると、右側のペンは6本ずつ共通しています。左側のノートも4冊分までは共通し、下の行にだけ5冊が残ります。図の丸と三角は個数を表す印で、印の大きさは値段を表していません。

確かめると、120 × 2 + 90 × 3 = 510、120 × 3 + 90 × 2 = 540です。もしノートをそろえるなら、前の条件を3倍、後の条件を2倍にしても解けます。その場合はペンの本数に差が残ります。どちらをそろえてもよいですが、途中でそろえる品物を変えず、まず1種類の値段を最後まで求めましょう。

例題3　同じ値のまとまりに置き換える問題

ノート1冊の値段は、鉛筆2本分の値段より30円高くなっています。ノート1冊と鉛筆3本を買うと330円です。ノート1冊と鉛筆1本の値段を、それぞれ求めましょう。

1. ノート1冊を○、鉛筆1本を△として、○1個分は「△△と30円」と読み直します。「より30円高い」ので、△2個分に30円を足す関係です。
2. 330円の買い物の中のノートを置き換えます。もとの鉛筆3本分に、ノートの代わりの鉛筆2本分が加わり、「鉛筆5本分と30円」で330円になります。同じ値段のまとまりへの交換なので、全体の330円は変わりません。
3. 余分な30円を取り除きます。330 − 30 = 300円が鉛筆5本分ですから、300 ÷ 5 = 60円です。30円は鉛筆の本数に含めず、金額として別に扱います。
4. ノートの値段に戻します。60 × 2 + 30 = 150円です。最初の関係に、求めた鉛筆の値段を使っています。

答え：ノート1冊150円、鉛筆1本60円です。

確かめると、150 − 60 × 2 = 30で、ノートは鉛筆2本分より30円高くなっています。また、150 + 60 × 3 = 330で、合計にも合います。合計の条件だけでなく、「30円高い」という比較の条件にも戻るのがポイントです。置き換えを使うときは、この2種類の確かめを一組にします。

例題4　3種類を2種類ずつ組み合わせる問題

同じ種類の果物の値段は一定です。りんご1個とみかん1個で260円、りんご1個となし1個で300円、みかん1個となし1個で240円です。それぞれ1個の値段を求めましょう。

1. りんごを含む最初の2つの買い物を合わせます。260 + 300 = 560円です。中身はりんご2個、みかん1個、なし1個になります。同じりんごを2回数えていることを、絵や印で確認します。
2. みかん1個となし1個の組を取り除きます。この組の値段は3つ目の条件から240円とわかるので、560 − 240 = 320円です。残りがりんごだけになるように、引く組を選んでいます。
3. りんご1個分を求めます。残っているりんごは2個なので、320 ÷ 2 = 160円です。合計の操作でりんごが何個になったかを忘れないようにします。
4. 元の条件から残りを求めます。みかんは260 − 160 = 100円、なしは300 − 160 = 140円です。1種類がわかれば、2個の合計から順に引けます。

答え：りんご1個160円、みかん1個100円、なし1個140円です。

最後の条件も100 + 140 = 240で確かめられます。3種類のときは、何でも順に引けばよいわけではありません。「2つを合わせた中に、値段がわかっている組があるか」と探します。この例題では、みかんとなしの組をひとまとまりとして消去できるので、3種類が一度に1種類まで減ります。

別の見方として、3つの合計を全部足す方法もあります。260 + 300 + 240 = 800円の中では、どの果物も2個ずつ数えています。800 ÷ 2 = 400円が3種類1個ずつの合計です。ここから、みかんとなしの240円を引けばりんご160円、りんごとなしの300円を引けばみかん100円、りんごとみかんの260円を引けばなし140円になります。どの品物を何回数えたかが見えれば、足し算も消去の準備に使えます。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　そろえたい品物だけを増やしてしまう

誤った書き方は、例題2で「ノート2冊とペン6本で510円」とすることです。ペンを3本から6本にしたのに、ノートと代金をそのままにしています。これでは、元の条件とは違う買い物を、同じ代金だと決めてしまいます。

正しい書き方は「ノート4冊とペン6本で1020円」です。510円の買い物を2組用意した、と考えれば、ノートもペンも代金も2倍になります。直すときは、行全体を大きな枠で囲み、その枠を2つ描いてから個数を数え直しましょう。数字の横に機械的に「× 2」を付けるだけでなく、何を2組にしたかを言えることが目標です。

誤り2　代金の差を1個分だと思ってしまう

誤った書き方は、例題2で「1620 − 1020 = 600円だから、ノート1冊600円」です。代金の引き算は合っていますが、品物の個数の引き算が抜けています。600円はノート5冊分であり、1冊分ではありません。

正しい書き方は「9 − 4 = 5冊、600 ÷ 5 = 120円」です。差を求める欄を、個数と代金の2つに分けると、対応を見失いにくくなります。図2では残った丸を数えてからわり算に進みます。保護者が確かめるときは「その600円でノートは何冊買えますか」と聞くと、誤りがある場所をお子さま自身が探せます。

誤り3　置き換えで増えた30円を先に引かない

誤った書き方は、例題3で「330 ÷ 5 = 66円」とすることです。鉛筆5本分へ置き換えるところまでは進めていますが、ノートに含まれていた30円を置き忘れています。330円は鉛筆5本だけの代金ではありません。

図3のように、ノートの線分を「鉛筆2本分と30円」に分けると、30円の区間が残ることを目で確認できます。下の線分では、鉛筆5本分に当たる5つの区間と、30円の区間を並べています。同じ色の鉛筆1本分の区間はすべて同じ長さです。

正しい書き方は「330 − 30 = 300円、300 ÷ 5 = 60円」です。先に確定している金額を取り除き、残りを同じ5つに分けます。図3は求めた値段の割合に合わせた線分図ですが、自分で解くときは、最初から正確な長さを測る必要はありません。鉛筆1本分を同じ長さで描き、30円の部分を別の区間に分ければ、数量の関係を整理できます。

なお、ノートの方が30円高いのに、鉛筆2本分から30円を引いてノートの値段を作ってしまう誤りにも、この図が役立ちます。ノートの区間には、鉛筆2本分に加えて30円が含まれています。文章の「高い」がどちらを指しているかを、線分の端で確かめましょう。

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練習問題

すべての問題で、同じ種類の品物1個の値段やおもり1個の重さは一定とします。答えを出す前に、そろえて引くのか、置き換えるのか、いくつかの組を合わせるのかを一言書いてみましょう。計算の途中では、求めた数の横に「何個分」「何本分」も添えます。

練習1

赤いおもり3個と青いおもり2個で460 g、赤いおもり1個と青いおもり2個で260 gです。赤いおもり1個と青いおもり1個の重さを求めましょう。青いおもりの個数が同じことを、まず確認してください。

練習2

パン2個とジュース3本で660円、パン3個とジュース2本で690円です。パン1個とジュース1本の値段を求めましょう。どちらの品物をそろえるかを自分で選び、何倍したかが見えるように2行で書いてください。

練習3

大きな箱1個の重さは、小さな箱3個分の重さより40 g重くなっています。大きな箱1個と小さな箱2個の重さの合計は440 gです。それぞれの箱1個の重さを求めましょう。大きな箱を置き換えた後、小さな箱が全部で何個分になるかを数えてください。

練習4

赤いカード1枚と青いカード1枚で170円、赤いカード1枚と緑のカード1枚で190円、青いカード1枚と緑のカード1枚で160円です。それぞれのカード1枚の値段を求めましょう。最初の2組を合わせると、どのカードが2枚になるかを考えます。

答えと解説

練習1の答えは、赤いおもり1個100 g、青いおもり1個80 gです。460 − 260 = 200 gが赤いおもり2個分なので、200 ÷ 2 = 100 gです。青いおもりは、260 − 100 = 160 gが2個分ですから、160 ÷ 2 = 80 gになります。100 × 3 + 80 × 2 = 460、100 + 80 × 2 = 260の両方を確認します。

練習2の答えは、パン1個150円、ジュース1本120円です。最初の条件を2倍するとパン4個とジュース6本で1320円、次の条件を3倍するとパン9個とジュース6本で2070円です。2070 − 1320 = 750円がパン5個分なので、750 ÷ 5 = 150円です。660 − 150 × 2 = 360円がジュース3本分で、360 ÷ 3 = 120円になります。もう一方の条件も、150 × 3 + 120 × 2 = 690で合います。

練習3の答えは、大きな箱1個280 g、小さな箱1個80 gです。大きな箱を小さな箱3個分と40 gに置き換えると、小さな箱5個分と40 gで440 gです。440 − 40 = 400 g、400 ÷ 5 = 80 gと求めます。大きな箱は80 × 3 + 40 = 280 gです。280 + 80 × 2 = 440で合計を確かめられます。

練習4の答えは、赤いカード1枚100円、青いカード1枚70円、緑のカード1枚90円です。170 + 190 = 360円は赤2枚、青1枚、緑1枚の代金です。360 − 160 = 200円が赤2枚分なので、200 ÷ 2 = 100円になります。青は170 − 100 = 70円、緑は190 − 100 = 90円です。残った条件も70 + 90 = 160で確かめられます。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

消去算で学んだ「同じ部分をそろえる」という見方は、比をそろえて比べる問題や、いくつかの作業の組み合わせから1つ分の仕事量を求める問題にもつながります。問われるものが代金から重さや仕事量へ変わっても、同じ内容のまとまりを見つけて取り除く手順は共通しています。ただし、単位の違う量を混ぜて足し引きしないように、何を比べているかは毎回確認します。

家庭では、5分でできる確かめを2つ用意できます。1つ目は、例題1の2行を紙に書き、「同じ買い物を指で隠すと、何が残りますか」と尋ねる方法です。計算を急がず、残る鉛筆の本数と代金の差を言葉で結べるかを見ます。2つ目は、例題3のノートの印の上に「鉛筆2本分と30円」と書いた小さな紙を重ねる方法です。置き換えても合計が変わらない理由を、一緒に説明してみましょう。

個別指導で途中の式が止まるときは、かけ算の計算力だけで判断せず、「1個分」と「何個分」を区別するところまで戻って確かめます。図で対応を説明できてから、同じ内容を短い式にまとめる練習へ進めます。

まとめ

消去算の途中で手が止まったら、まだ答えの出ていない○や△を無理に数へ変える必要はありません。今ある条件の中で、同じ内容だと言える部分を探せば、次に取り除けるまとまりが見えてきます。答えが出た後も、元の買い物や重さの条件に戻ると、途中で個数を落としていないかを確かめられます。

「何を消したか」だけで終わらず、「何個分が残ったか」を説明できたとき、引き算は消去算の根拠になります。