【小4算数】面積を図解で総まとめ—cm² m² km² a ha・長方形と正方形の面積・複合図形｜武蔵野個別指導塾

1 cm²の方眼から長方形の公式を考え、L字形を分ける方法と引く方法を比べます。cm²・m²・km²・a・haの換算も、正方形の辺の長さに戻って確かめられます。

よくあるのは、塾の自習室の白板の前で、L字形の図に書かれた長さを全部かけようとして、手が止まるという場面です。「面積はかけ算」と覚えていても、どの長さを選ぶのかが決まらないのです。長方形なら解けたのに、角が1つ欠けた形になったとたん、使える公式がないように感じることがあります。

このとき確かめたいのは、九九の速さよりも、求めたい広さを図の上で指せるかどうかです。面積とは、平らな面の広さです。周りを囲む線の長さではありません。中を同じ大きさの正方形で埋めると考えると、かけ算を使う理由も、分けた広さをたす理由もつながります。

多くの教科書では小4で、面積の単位や長方形・正方形の面積を学びます。まず小さな方眼を数え、次に式でまとめ、最後に少し複雑な形へ進みましょう。家庭でも、答えだけでなく「この式は図のどこの広さですか」と尋ねると、お子さまの考えを確かめやすくなります。

この単元で身につけること

• 面積と長さを区別します。紙の周りにひもを沿わせるのが周りの長さ、中を同じ大きさの正方形で埋めて比べるのが面積です。
• 面積の単位を読み、意味を説明します。1 cm²は1辺が1 cmの正方形の面積、1 m²は1辺が1 mの正方形の面積です。
• 長方形と正方形の公式を使います。たてと横に並ぶ正方形の数に目を向けると、公式のかけ算が何を数えているかを説明できます。
• 単位をそろえて計算します。辺の長さがmとcmで書かれているときは、同じ単位に直してから面積を求めます。
• cm²・m²・km²・a・haを換算します。長さの換算の数をそのまま使わず、正方形のたてと横の両方を考えます。
• 組み合わせた形の面積を求めます。長方形に分けてたす方法と、大きな長方形から欠けた部分をひく方法を、図と式を対応させて使います。

前の学年で学んだ長さの単位、長方形と正方形の性質、かけ算の「1つ分の数×いくつ分」が土台になります。公式だけを新しく覚えるのではなく、既に知っている数え方を広さに使う学習です。

基本の考え方

面積は同じ大きさの正方形で数えます

2枚の紙の広さを比べるとき、ぴったり重ねられれば、はみ出す部分を見て比べられます。しかし、細長い紙と正方形の紙では、重ねただけでは決めにくいことがあります。そこで、同じ大きさの正方形を、すき間も重なりもないように並べて、何個分かを比べます。

ここで大事なのは、数える正方形の大きさをそろえることです。大きい正方形が6個入る紙と、小さい正方形が10個入る紙を、個数だけで比べることはできません。長さを比べるときに同じ単位を使うのと同じように、面積にも共通の単位が必要です。

1辺の長さが1 cmの正方形の面積を1 cm²と書き、「1平方センチメートル」と読みます。右上の小さな2も単位の一部です。2 cmという長さや、1 cmを2本たしたものを表しているのではありません。お子さまには「1 cmの正方形が1枚ぶんの広さです」と伝え、正方形の中を指してみてください。

図1のように、横に5個、たてに3段の正方形を並べると、全部で15個です。小さな正方形1個を1 cm²とすると、全体の面積は15 cm²になります。画面や印刷の大きさにかかわらず、図の1区画が表す長さはラベルの1 cmです。

図1を指で追うときは、最初は1個ずつ数えてもかまいません。次に、横1段が5個なので5 + 5 + 5 = 15とまとめます。さらに5 × 3 = 15と書けば、全部の方眼を数えなくても同じ答えが出ます。たて1列の3個を5列分として、3 × 5 = 15と考えることもできます。

長方形と正方形の公式を考えます

長方形の面積の公式は「たて×横」です。図1なら、たてが3 cm、横が5 cmなので、3 × 5 = 15で15 cm²です。1 cmごとに区切ったと考えれば、辺の長さの数値が、その方向に並ぶ1 cmの区切りの数になります。公式は、正方形の個数をまとめて数えるための式なのです。

長方形を横向きから縦向きに置き直しても、面積は変わりません。図を回したために「たて」と「横」の呼び方が入れかわっても、3 × 5と5 × 3の答えは同じです。ただし、選ぶ2本の辺は、1つの角で直角に出会う辺です。向かい合う同じ長さの2本をかけるのではありません。

正方形は、4本の辺の長さがすべて等しい長方形でもあります。そのため、面積の公式は「1辺×1辺」です。1辺が4 cmなら、4 × 4 = 16で16 cm²です。4本の辺があるから4倍するのではなく、たてにも横にも1 cmの区切りが4つあるために4を2回使います。

公式を使う前に、辺の長さの単位を見ます。たてが2 m、横が50 cmなら、2と50をそのままかけてはいけません。2 m = 200 cmと直せば、200 × 50 = 10000で10000 cm²です。cmでそろえて計算した面積にはcm²、mでそろえた面積にはm²をつけます。この対応を式の横に書くと、答えの単位を選びやすくなります。

大きな面積の単位と換算

1辺が1 mの正方形の面積を1 m²と書き、「1平方メートル」と読みます。1 m = 100 cmなので、この正方形のたては100 cm、横も100 cmです。したがって、100 × 100 = 10000より、1 m² = 10000 cm²です。長さは100倍の関係でも、面積ではたてと横の両方に100が現れます。

広い土地などでは、aとhaも使います。aは「アール」、haは「ヘクタール」と読みます。1辺が10 mの正方形の面積が1 aで、10 × 10 = 100より1 a = 100 m²です。1辺が100 mの正方形の面積が1 haで、100 × 100 = 10000より1 ha = 10000 m²となります。

さらに、1辺が1 kmの正方形の面積が1 km²で、「1平方キロメートル」と読みます。1 km = 1000 mなので、1000 × 1000 = 1000000より、1 km² = 1000000 m²です。1 aや1 haは面積の単位なので、辺の長さに「10 a」などと書かないようにしましょう。

換算の関係を、次のように並べておくと確かめやすくなります。

• 1 m² = 10000 cm²です。
• 1 a = 100 m²です。
• 1 ha = 100 a = 10000 m²です。
• 1 km² = 100 ha = 1000000 m²です。

小さい単位で表すと、同じ広さでも数値は大きくなります。反対に大きい単位で表すと、数値は小さくなります。例えば3 haは30000 m²、300 aです。広さそのものが増えたのではなく、数える1つ分の広さが変わったのです。数字の0だけを覚えようとせず、「1 haには1 aが100個入る」と1つ分の関係を先に確かめましょう。

例題で解き方を確かめる

例題1　長方形の面積を求める

たてが4 cm、横が7 cmの長方形の面積を求めましょう。最初に、聞かれているのが中の広さなのか、周りの長さなのかを読み取ります。

1. 図を簡単にかき、たてに4 cm、横に7 cmと書きます。隣り合う2本の辺に長さを書くと、どの方向の長さをかけるかがはっきりします。
2. 両方ともcmであることを確認し、4 × 7と式を立てます。たて4個分の1 cm²の正方形が、横に7列並ぶためです。
3. 4 × 7 = 28と計算し、単位をcm²にします。28は辺の長さではなく、1 cm²の正方形の個数を表しています。

答え：28 cm²です。

家庭では「4と7は、図のどこに並ぶ数ですか」と尋ねてみましょう。4 + 7と書いた場合は、すぐに公式を言わせるより、1列を囲んで、その列がいくつあるかを見ます。式を面積図に戻すと、たし算だけでは中を全部数えられないことを確かめられます。

例題2　正方形の面積を別の単位で表す

1辺が30 mの正方形の広場があります。面積をm²で求め、さらにaで表しましょう。正方形であることと、最後に求める単位の両方に注意します。

1. 正方形の公式を使って、30 × 30と書きます。たてと横がどちらも30 mなので、同じ数を2回使います。
2. 30 × 30 = 900と計算し、900 m²と書きます。長さをmでそろえて計算しているため、面積の単位はm²です。
3. 1 a = 100 m²を確かめ、900 ÷ 100 = 9と計算します。100 m²のまとまりがいくつあるかを求めるので、100でわります。

答え：900 m²、9 aです。

30 mを先にaに直すことはできません。mは長さ、aは面積だからです。まず面積を出してから面積の単位を換算する、という順序を守ります。また、1辺が10 mの正方形を想像すると、30 mの辺には3つ分並びます。たてにも横にも3つ分なので、1 aの正方形が3 × 3 = 9個入ることからも確かめられます。

例題3　単位の違う辺をそろえる

たてが3 m、横が80 cmの長方形のシートがあります。面積をcm²で求めましょう。数字だけを見ると3 × 80と書きたくなりますが、その前に長さの単位をそろえます。

1. 求める面積の単位がcm²であることを読み、辺の長さをcmにそろえます。答えの単位に合わせると、途中の換算を少なくできます。
2. 3 m = 300 cmと直します。1 mが100 cmなので、3 mは100 cmが3つ分です。
3. 300 × 80 = 24000と計算します。たて300 cm、横80 cmの長方形として公式を使います。

答え：24000 cm²です。

ここでは面積を計算する前なので、3 mを300 cmに直すときは100倍です。面積の1 m²を10000 cm²に直す話とは区別します。お子さまが迷ったら、問題にある3 mの辺を指して、「今直しているのは線の長さですか、中の広さですか」と聞いてみてください。

例題4　L字形を分けてたす・補ってひく

図2のL字形の面積を求めましょう。外側の横は8 cm、左のたては6 cm、上の横は5 cm、右下のたては2 cmです。隣り合う辺は垂直です。右上の欠けた部分を補うと、たて6 cm、横8 cmの長方形になります。

図2のように、内側の角から左へ線を引くと、上と下の2つの長方形に分けられます。実線で囲まれた色のついた部分が求める広さで、右上の白い部分は含めません。破線は考えるために補った線です。

1. 上の部分のたてを、6 − 2 = 4で求めます。左側の全体のたて6 cmから、下の長方形のたて2 cmを除いた長さだからです。
2. 上の長方形の面積を4 × 5 = 20で求めます。分けた後のたては4 cm、横は5 cmなので、20 cm²です。
3. 下の長方形の面積を2 × 8 = 16で求めます。下の帯は左端から右端まで続き、横が8 cmあるため、16 cm²です。
4. 20 + 16 = 36とたします。2つの部分には重なりがなく、合わせるとL字形の全部になるためです。

答え：36 cm²です。

次に、同じ図で「大きな長方形からひく」方法を確かめましょう。2つの方法を比べるときも、求める場所は同じ色のついた部分です。

1. 補った長方形の面積を6 × 8 = 48で求めます。この48 cm²には、L字形のほかに右上の白い部分も含まれています。
2. 白い部分の横を8 − 5 = 3、たてを6 − 2 = 4で求めます。どちらも全体の辺から残っている部分の辺をひくとわかります。
3. 白い部分の面積を4 × 3 = 12で求め、48 − 12 = 36と計算します。余分に含めた12 cm²だけを除くためです。

答え：36 cm²です。

分ける方法では、各部分が重ならず、すき間もないかを確認します。ひく方法では、補った大きな長方形が元の図形をすべて含むかを確認します。どちらがいつでも正しい選択ということではありません。使う辺の長さを見つけやすく、式が指す部分を説明しやすい方法を選びましょう。

つまずきやすいところと直し方

周りの長さを面積としてしまう

誤った書き方は、たて3 cm、横5 cmの長方形について「3 + 5 + 3 + 5 = 16、面積は16 cm²」とすることです。どこが違うかというと、この式では外側の4本の辺をたしていて、中に入る正方形を数えていません。計算が合っていても、求めている量が違います。

正しい書き方は「3 × 5 = 15、面積は15 cm²」です。周りの長さを聞かれたなら16 cmが答えですが、面積の答えにはなりません。ノートでは、周りを指で1周なぞってから、内側を手で覆ってみると、線と面の違いを確かめられます。

見た目の印象にも注意が必要です。たて1 cm、横7 cmの長方形も、周りは1 + 7 + 1 + 7 = 16で16 cmです。しかし面積は1 × 7 = 7で7 cm²となり、たて3 cm、横5 cmの長方形とは違います。同じ長さのひもで囲めるからといって、中の広さまで同じになるわけではありません。

面積の換算に長さの換算を使う

誤った書き方は「1 m² = 100 cm²」です。どこが違うかというと、1 m = 100 cmという辺の長さの関係を、中の広さにそのまま当てはめています。正しい書き方は「100 × 100 = 10000なので、1 m² = 10000 cm²」です。

図3のように、1辺が1 mの正方形を、たてにも横にも10等分してみます。できた小さな正方形の1辺は10 cmで、面積は10 × 10 = 100より100 cm²です。図の1区画は1 cm²ではないことに注意してください。

図3には、この100 cm²の正方形が10 × 10 = 100個あります。そのため、全体は100 × 100 = 10000で10000 cm²です。1 cmごとの細かい方眼をすべて描かなくても、まとまりに分ければ面積の関係を確かめられます。

換算した後には、数値が大きくなる方向も見ます。2 m²をcm²で表すなら、1つ分が小さくなるため、数は2より大きくなるはずです。2 × 10000 = 20000なので20000 cm²です。逆に20000 cm²をm²で表すなら、20000 ÷ 10000 = 2となります。かけるか、わるかを迷ったときの確かめに使えます。

分けた部分を重ねてたしてしまう

誤った書き方は、図2で「左の長方形は6 × 5 = 30、下の長方形は2 × 8 = 16なので、30 + 16 = 46」とすることです。どこが違うかというと、左下のたて2 cm、横5 cmの部分を、左の長方形としても下の長方形としても数えています。重なった面積が2回入っています。

正しい書き方の1つは、例題4のように上と下で分けて「4 × 5 = 20、2 × 8 = 16、20 + 16 = 36」とすることです。左の長方形をそのまま使いたいなら、右下の小さな長方形だけを加えます。その場合は6 × 5 = 30、2 × 3 = 6、30 + 6 = 36です。

家庭では、別々に求めた部分を2色で薄く塗ってみてください。同じ場所に2色が重なるなら、単純にたすと数え過ぎになります。式を何度も計算し直す前に、各式に対応する場所を塗ると、直すべき点を見つけやすくなります。

練習問題

紙に簡単な図をかき、使う辺の長さに印をつけてから解きましょう。面積の答えには単位も書きます。練習4では、途中で求めた長さを図に書き込んでください。

練習1

たて6 cm、横9 cmの長方形の面積を求めましょう。また、その長方形の周りの長さも求め、答えの単位を比べましょう。

練習2

1辺が40 mの正方形の畑があります。面積をm²で求め、さらにaで表しましょう。

練習3

次の面積を、指定された単位で表しましょう。（1）4 m²をcm²に、（2）60000 m²をhaに、（3）2 km²をhaに、（4）7 haをaに直します。

練習4

たて7 cm、横10 cmの長方形から、右上のたて4 cm、横3 cmの長方形を取り除きました。残ったL字形の面積を求めましょう。大きい長方形からひく方法で求めた後、上下に分けてたす方法でも確かめましょう。

答えと解説

練習1の答えは、面積が54 cm²、周りの長さが30 cmです。面積は6 × 9 = 54、周りの長さは6 + 9 + 6 + 9 = 30です。同じ図の長さを使っていても、求める量が違えば式も単位も変わります。

練習2の答えは1600 m²、16 aです。40 × 40 = 1600で面積を求め、1 a = 100 m²より1600 ÷ 100 = 16と直します。4本の辺をたした160 mは周りの長さなので、この問題の答えには使いません。

練習3の答えは、（1）40000 cm²、（2）6 ha、（3）200 ha、（4）700 aです。（1）は4 × 10000 = 40000、（2）は60000 ÷ 10000 = 6、（3）は2 × 100 = 200、（4）は7 × 100 = 700と計算します。数値が大きくなったか小さくなったかも、単位の大きさと照らして確かめましょう。

練習4の答えは58 cm²です。全体は7 × 10 = 70、取り除いた部分は4 × 3 = 12なので、70 − 12 = 58です。上下に分ける場合、上の横は10 − 3 = 7 cm、下のたては7 − 4 = 3 cmです。上は4 × 7 = 28、下は3 × 10 = 30なので、28 + 30 = 58となり、同じ面積を求められます。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

この先に学ぶ三角形や平行四辺形の面積でも、知っている形に変えたり、分けたりする考え方を使います。また、直方体の体積では、平面に並ぶ正方形の代わりに、立体の中に並ぶ小さな立方体を数えます。公式に入れる数と図の場所を結びつける習慣は、こうした学習にもつながります。

家庭で5分ほどでできる確かめ方の1つは、1 cmの方眼にたて2 cm、横6 cmの長方形をかくことです。中の12個を数え、2 × 6 = 12という式につなげます。次に、同じ12個をたて3個、横4個に並べ直し、形が変わっても面積が同じことを見てみましょう。どちらも12 cm²ですが、周りの長さは16 cmと14 cmで異なります。

もう1つは、紙にL字形を1つかき、お子さまに「どこに線を引けば長方形になりますか」と尋ねる方法です。辺の長さや計算をすぐに求めず、まず分け方を1つ見つけます。時間があれば、別の線でも分けられるか、欠けた部分を補う方法が使えるかを一緒に確かめます。

個別指導では、式の選び方で止まっているのか、単位の換算で止まっているのかを分けて見ます。必要に応じて、1 cm²を実際に数えるところや、九九のまとまり、向かい合う辺の長さが等しいという長方形の性質まで戻って確かめます。

まとめ

L字形の前で手が止まったときは、すぐに新しい公式を探す必要はありません。1本の線で見慣れた長方形が現れれば、既に使える計算から続きを考えられます。出した答えを確かめるときも、同じ計算を繰り返すだけでなく、分けた各部分を図で指すことが役立ちます。

「36 cm²」と言えることに加えて、20 cm²と16 cm²がどの場所なのかを説明できれば、式と広さが結びついています。面積の式に使う1つ1つの数には、図の中に指で示せる居場所があります。