【小3算数】小数と分数を図解で総まとめ—0.1 の意味・分数の意味・たし算ひき算｜武蔵野個別指導塾

0.1 と 1/10 のつながりを等分した帯と数直線で確かめ、小数のくり上がり・くり下がり、分母が同じ分数の計算を例題でたどります。家庭で使える声かけと練習問題で、答えの理由まで確かめられます。

よくあるのは、コンビニのイートインで飲み物の容器を見ながら、「0.5 L は 1 L より少ないのに、どうして 5 が書いてあるの」と手が止まる場面です。整数では 5 は 1 より大きい数でした。小数では、その 5 が何のいくつ分を表すのかまで見ないと、量の大きさを読み取れません。ここを飛ばして計算のやり方だけ覚えると、小数点をどこに置くかで迷いやすくなります。

分数にも同じ問いがあります。3/5 の 3 を見て「3 個」と言うだけでは、1 個分の大きさが決まりません。もとの 1 を同じ大きさに分け、そのうちの何個分かを考える必要があります。小数と分数は、整数では表せなかった 1 より小さい大きさを表すための数です。

お子さまと学ぶときは、まず「何を 1 と見ているかな」と確かめてみてください。帯の図や数直線に戻ると、数字と量を結びつけられます。そこからたし算・ひき算へ進めば、小数点や分母の扱いにも理由をつけて説明できるようになります。

この単元で身につけること

• 0.1 の大きさを説明します。1 を同じ大きさに 10 個に分けた 1 個分が 0.1 であり、0.1 が 10 個集まると 1 になることを確かめます。
• 小数の位を読み取ります。1.4 は 1 が 1 個と 0.1 が 4 個の数で、0.1 の何個分としても表せます。
• 小数のたし算・ひき算をします。同じ位どうしを計算し、0.1 が 10 個になったら 1 にまとめ、必要なら 1 を 0.1 の 10 個分に分け直します。
• 分数の意味を説明します。等分する数を分母、取った部分の個数を分子で表し、同じ大きさに分けることの意味を確かめます。
• 分母が同じ分数を計算し、小数と分数の大きさを比べます。1 個分の大きさをそろえて、個数や数直線上の位置に注目します。

これまで整数で学んだ「同じ位の数をまとめる」「10 個集まったら次の位に進む」という考えを、1 より小さい数にも広げます。多くの教科書では小3で小数や分数の意味と簡単な計算を学びますが、先へ進む速さより、どの大きさを数えているかを言葉にできることを目安にしましょう。

基本の考え方

0.1 は、1 を 10 等分した 1 個分です

1 L の水を、同じ量ずつ 10 個に分けることを考えます。この 1 個分が 0.1 L です。同じ大きさに分けることを「等分」といい、10 個に等分することを「10 等分」といいます。0.1 は「れいてんいち」と読みます。点は小数点で、1 より小さい部分を表すときの位の境目になります。

0.1 が 2 個で 0.2、3 個で 0.3 です。0.1 が 9 個なら 0.9 で、もう 1 個集めると 1 になります。したがって 0.1 が 10 個で 1 です。「小数点があるから特別な計算」と考える前に、0.1 を 1 個分として数える練習をすると、整数とのつながりが見えてきます。

図1のように、同じ長さの帯をそれぞれ 10 等分すると、上の 0.3 と下の 3/10 は同じ範囲を表します。まず上の帯だけを見て、色のついた部分が 0.1 の何個分かを数えてみてください。線の本数ではなく、線と線の間にできた部分を数えるのがポイントです。

図1の帯全体はどちらも 1 です。色のついた部分は 10 個のうち 3 個なので、0.1 が 3 個分の 0.3 と表せます。残りは 0.1 が 7 個分です。色の部分と残りを合わせると、10 個の小さな部分が全部そろい、もとの 1 に戻ります。

小数点のすぐ右の位を「小数第一位」といいます。0.1 がいくつあるかを表す位です。1.4 の 1 は一の位、4 は小数第一位にあり、1 と 0.4 を合わせた数です。また、1 を 0.1 の 10 個分と見れば、1.4 は 0.1 の 14 個分です。この読み替えが、くり上がりやくり下がりのある計算で役に立ちます。

0.4 を .4 とせず、整数の部分に 0 を書くことも確かめましょう。1 が 1 個もなく、0.1 が 4 個あることが見やすくなります。保護者の方は「4 は何が 4 個あるという意味かな」と声をかけてみてください。「0.1 が 4 個」と答えられれば、位と数字がつながっています。

分数は、等分した 1 個分をもとに数えます

1 m のテープを 5 等分した 1 個分の長さは 1/5 m です。1/5 は「ごぶんのいち」と読みます。3 個分なら 3/5 m です。分数を上下に書くとき、下にくる数が分母、上にくる数が分子です。ここでは 3/5 のように横に書き、左の 3 が分子、右の 5 が分母になります。

分母は、もとの 1 をいくつに等分したかを表します。分子は、その 1 個分がいくつあるかを表します。3/5 なら、「1 を 5 等分した 1 個分が 3 個」です。「5 個の中から 3 個」とだけ覚えると、もとの 1 や等分する条件を忘れやすいので、この 2 つも言葉にして確かめましょう。

たとえば、長さの違う 5 本のテープのうち 3 本を取っても、もとの全体の 3/5 になるとは限りません。短いテープを取る場合と長いテープを取る場合とで、取った長さが変わるためです。分数で表すには、まず 1 個分の長さを同じにそろえる必要があります。図をかくときも、端から順に目分量で切るのではなく、等しい間隔を作ります。

また、「1/2 m」と「あるテープの半分」は区別します。1/2 m は 1 m を 2 等分した長さです。一方、2 m のテープの半分は 1 m です。どちらも半分という言葉を使いますが、分けるもとの長さが違います。文章題では「何を 1 とするか」を先に確認してから、分けた部分を見てください。

計算も大小比べも、1 個分に注目します

小数のたし算・ひき算では、0.1 の個数どうしを合わせたり、取り除いたりします。0.2 + 0.4 なら、0.1 が 2 個と 4 個で 6 個になり、答えは 0.6 です。整数の 2 + 4 = 6 と同じ個数の計算を使えますが、数えている 1 個分は 0.1 のままです。答えを 6 と書かない理由はここにあります。

分母が同じ分数でも、同じ大きさの部分の個数を計算します。1/5 + 2/5 は、1/5 が 1 個と 2 個で、合わせて 3 個分の 3/5 です。分母の 5 は、1 個分の大きさを決めています。部分を合わせたからといって、もとの 1 を分ける数が変わるわけではありません。

大きさを比べるときも、この見方を使います。同じ分母なら、分子が大きいほうが大きい数です。同じ大きさの部分を、より多く持っているためです。小数と分数を比べる入口には、図1のように 10 等分した図が使えます。0.1 = 1/10 なので、0.3 = 3/10 です。書き方が違っても、表す大きさが同じことがあります。

小数を比べるときは、まず整数の部分、そこが同じなら小数第一位を見ます。たとえば 1.2 と 0.9 では、1.2 は 1 をこえ、0.9 は 1 に届かないため、1.2 のほうが大きい数です。小数点の右の 2 と 9 だけを比べないようにしましょう。数直線では、同じ線の右にある数ほど大きくなります。

例題で解き方を確かめる

例題1　小数のたし算で 1 をつくります

容器に水が 0.8 L 入っています。さらに 0.5 L を入れると、水は合わせて何 L になりますか。容器には、合わせた水が全部入るものとします。

1. 合わせた量を求めるので、式を 0.8 + 0.5 とします。どちらも L で表されているため、同じ単位の量としてそのまま合わせられます。
2. 0.8 は 0.1 が 8 個、0.5 は 0.1 が 5 個と見ます。同じ大きさの 0.1 を数えればよいので、個数を 8 + 5 = 13 と計算します。
3. 13 個のうち 10 個をまとめて 1 にします。残りは 3 個なので 0.3 となり、1 と 0.3 を合わせた 1.3 になります。
4. 式を 0.8 + 0.5 = 1.3 と書きます。量をたしたので、答えがもとの 0.8 L より大きくなっていることも確かめます。

答え：1.3 L です。

筆算で書くなら、小数点の位置を上下でそろえます。そうすると一の位どうし、小数第一位どうしが縦に並びます。小数第一位で 8 + 5 = 13 となったら、3 を小数第一位に書き、1 を一の位へくり上げます。その 1 は、0.1 が 10 個集まったまとまりです。

家庭では「13 のどこに点を打つの」と尋ねる前に、「0.1 が 13 個だと、1 はいくつできるかな」と聞いてみてください。答えを 0.13 としてしまった場合も、点の位置を覚え直すだけでなく、10 個のまとまりに戻れます。0.8 L に水を加えているのに 0.8 L より少なくなる答えは、この場面の量に合いません。

例題2　整数から小数をひきます

2 m のリボンから 0.7 m を切り取ります。残りは何 m ですか。整数からひく場合にも、0.1 を何個持っているかに注目します。

1. 残りの長さを求めるので、式を 2 − 0.7 とします。切り取った分だけ短くなるため、ひき算を使います。
2. 2 を 2.0 と書き、小数点をそろえます。2.0 は 2 と同じ大きさで、0.1 の部分が 0 個であることを表しています。
3. 一の位から 1 をくり下げます。2 のうち 1 はそのまま残し、もう 1 を 0.1 の 10 個分に分けると、0.7 をひけます。
4. 0.1 の個数を 10 − 7 = 3 と計算します。一の位に残った 1 と、0.1 が 3 個分の 0.3 を合わせ、1.3 とします。

答え：1.3 m です。

筆算では、2.0 の一の位の 2 を 1 にし、小数第一位を 10 個分として計算します。整数のひき算で十の位から 1 をくり下げ、一の位の 10 個にするのと同じしくみです。今回は一の位の 1 が、小数第一位の 10 個分になります。位が変わっても、となりの位との関係は変わりません。

確かめには、残りに切り取った分をたします。1.3 + 0.7 = 2 なので、もとの長さに戻ります。「くり下がったあとの一の位はいくつ残るかな」と声をかけると、0.3 だけを答えにする見落としも防げます。図を使うなら 1 m の帯を 2 本かき、片方だけを 10 等分すると、残る 1 m が見えやすくなります。

例題3　分母が同じ分数をたしたりひいたりします

1 m を 5 等分した長さをもとに考えます。2/5 m と 1/5 m を合わせると何 m ですか。また、4/5 m から 1/5 m を切り取ると何 m 残りますか。

1. それぞれ 2/5 + 1/5、4/5 − 1/5 と式を書きます。合わせる場面と切り取る場面を区別するため、計算記号を先に決めます。
2. どの量も 1/5 m の何個分かで表せることを確かめます。分母が同じなので、同じ大きさの部分の個数を計算できます。
3. たし算は 2 + 1 = 3 と個数を計算します。1 個分は 1/5 のままなので、2/5 + 1/5 = 3/5 となります。
4. ひき算は 4 − 1 = 3 と個数を計算します。残った 3 個も 1/5 の部分なので、4/5 − 1/5 = 3/5 となります。

答え：合わせた長さは 3/5 m、残りの長さも 3/5 m です。

図2のように、上の帯では紺の 2 個分に緑の 1 個分を加えます。下の帯では、はじめにあった 4 個分のうち、赤い斜線の 1 個分を取り除きます。どちらも 1/5 m の部分が 3 個残ることを、指でたどって確かめられます。

図2では、たし算をしてもひき算をしても、帯全体の分け方は 5 等分のままです。分子だけを計算する決まりは、図から説明できます。「下の数はそのまま」と覚えるだけでなく、「1 個分の長さは変わっていないね」と添えると、分母を残す理由が伝わります。

なお、1/5 が 5 個集まれば 5/5 で、帯全体がそろうので 1 です。分数で答えが 1 になる場合もあります。たとえば 2/5 + 3/5 = 5/5 = 1 です。1 より小さい部分から始めた計算でも、全部が集まれば 1 になる点は、小数の計算と共通しています。

例題4　小数と分数を同じ大きさの部分で比べます

0.6 と 3/10 のどちらが大きいですか。また、4/10 と 7/10 のどちらが大きいですか。数字の書かれ方より、1 個分の大きさを先に見ます。

1. 最初の組では、0.1 と 1/10 が同じ大きさであることを確かめます。どちらも 1 を 10 等分した 1 個分だからです。
2. 0.6 を 0.1 の 6 個分、3/10 を 0.1 の 3 個分と見ます。1 個分が同じなので、個数の 6 と 3 を比べられます。
3. 6 個分のほうが大きいので、0.6 > 3/10 と書きます。不等号は、口が大きく開いている側に大きい数を置きます。
4. 次の組も、1/10 の 4 個分と 7 個分です。7 個分のほうが大きいので、4/10 < 7/10 と書きます。

答え：最初の組は 0.6、次の組は 7/10 のほうが大きいです。

分母が異なる分数を、分子だけで比べることはできません。ここで個数を比べられたのは、1 個分の大きさがそろっていたためです。0.6 と 3/10 の比較でも、先に 0.1 = 1/10 と確かめた手順を省かないようにしましょう。小数と分数の混じった式を見たら、10 等分した帯を思い出すところから始められます。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　小数点を見ずに右端をそろえます

誤った書き方は、1.2 + 3 = 1.5 です。これは整数の 3 を、小数第一位の 2 と同じ位置に置き、0.3 のように扱ったときに起こります。3 は 1 が 3 個ある数なので、1.2 の一の位の 1 と同じ列に置かなければなりません。

正しくは、3 を 3.0 と書いて小数点をそろえ、1.2 + 3.0 = 4.2 とします。一の位は 1 + 3 = 4、小数第一位は 2 + 0 = 2 です。小数点をそろえるのは見た目を整えるためではなく、同じ大きさを表す数字を同じ列に置くためです。

お子さまには「この 3 は、1 が 3 個かな、0.1 が 3 個かな」と聞いてみてください。答えを 3.0 と書き直せても理由が曖昧なら、一の位と小数第一位を紙に 2 列で書き、数字を置き直して確かめます。たす前の 3 より答えが小さくなっていることも、誤りを見つける手がかりです。

誤り2　分母も一緒にたします

誤った書き方は、2/5 + 1/5 = 3/10 です。分子の 2 と 1 に加えて、分母の 5 と 5 もたしています。しかし、1/5 の部分を合わせても、1 個分が 1/10 に小さくなるわけではありません。図2の上の帯に戻ると、計算後も同じ幅の 3 個分が残っています。

正しくは、2/5 + 1/5 = 3/5 です。分母は「何等分した部分か」を示す数で、分子は「その部分が何個か」を示す数です。「1/5 が 2 個と 1 個で何個かな」と言い換え、個数だけをたしてみてください。ひき算でも同じで、分母どうしをひくことはしません。

この誤りを直すときは、違う大きさの帯を並べないことも大事です。たとえば 1 m の帯と 2 m の帯を、それぞれ全体として 5 等分した場合、1 個分の長さが違います。計算の図は、同じ 1 m をもとにしてかきます。「同じ分母」だけでなく、量を扱う場面では「同じ単位と同じ 1 個分」も確認します。

誤り3　小数と分数の数字だけを見て比べます

誤った書き方は、0.4 > 7/10 です。「分数は小さそう」「0.4 の 4 のほうが目立つ」といった見た目では大小は決まりません。0.4 も 7/10 も、1 を 10 等分した部分の何個分かにそろえて考える必要があります。

正しくは、0.4 = 4/10 なので、0.4 < 7/10 です。図3のように、同じ数直線の 0 から 1 までを 10 等分し、0.4 と 7/10 の位置を確かめます。0.4 は 0 から 4 区間分、7/10 は 0 から 7 区間分の位置です。右にある 7/10 のほうが大きくなります。

図3の端から端までは、どちらの数を見るときも同じ 1 です。0 から 1 の間には区間が 10 個あり、両端を含む目盛りの線は 11 本あります。線を 10 本数えて分けようとすると、1 区間の大きさがずれてしまいます。「0 の線から次の線までが 0.1」と、線の間を指して確認してください。

比べる数が変わっても、0 と 1 の位置を動かさずに考えます。片方の数だけ違う縮尺の線に置くと、位置で比べられなくなるためです。数直線を 1 本にそろえることは、「同じ 1 をもとに比べる」という条件を目に見える形にしたものです。

練習問題

計算の前に、何の何個分を数えるのかを短く言ってみましょう。式だけで解けた場合も、1 問だけ選び、帯の図で同じ答えになるかを確かめると、手順と意味を結びつけられます。わからなくなったら、答えを急いで見る前に 1 を分けた図へ戻ってください。

練習1

水が 0.7 L と 0.6 L あります。合わせると何 L ですか。式と答えを書き、0.1 が何個集まるかも説明しましょう。答えに単位をつけるところまで確かめます。

練習2

3 m のひもから 1.8 m を切り取ります。残りは何 m ですか。3 を小数の形でも書き、くり下げたあとに一の位がいくつになるかを考えましょう。

練習3

次の 2 つを計算しましょう。どちらも、1 を 7 等分した 1 個分をもとに数えます。分母が答えの中で何を表すかも説明してください。

（1）2/7 + 3/7

（2）6/7 − 2/7

練習4

次の □ に、>、<、= のどれかを書きましょう。必要なら、0 から 1 までを 10 等分した数直線をかいてください。それぞれの数を 1/10 の何個分かで説明します。

（1）0.8 □ 6/10

（2）0.5 □ 5/10

答えと解説

練習1の答えは 1.3 L です。式は 0.7 + 0.6 = 1.3 です。0.1 の個数を 7 + 6 = 13 と計算し、10 個で 1、残りの 3 個で 0.3 とします。両方を合わせて 1.3 になります。0.7 L に加える量が 0.3 L より多いので、答えが 1 L をこえることも確かめられます。

練習2の答えは 1.2 m です。式は 3 − 1.8 = 1.2 です。3.0 の一の位から 1 をくり下げると、一の位は 2、小数第一位は 10 個分になります。小数第一位で 10 − 8 = 2、一の位で 2 − 1 = 1 と計算します。1.2 + 1.8 = 3 となり、切り取る前の長さに戻ります。

練習3の答えは、（1）5/7、（2）4/7 です。（1）は 1/7 が 2 + 3 = 5 個分、（2）は 1/7 が 6 − 2 = 4 個分です。計算しても 1 個分の大きさは 1/7 のままなので、分母はどちらも 7 です。分母だけが変わった答えになったときは、帯の区切りをかき直していないか確かめましょう。

練習4の答えは、（1）>、（2）= です。0.8 は 8/10 と同じで、1/10 の 8 個分は 6 個分より大きいため、0.8 > 6/10 です。0.5 と 5/10 はどちらも 1/10 の 5 個分なので、同じ位置に重なります。小数と分数という表し方の違いだけでは、大小は決まりません。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

小数の学習が進むと、0.1 よりさらに小さい大きさも表すようになります。それでも、同じ位どうしを計算することや、10 個集めてとなりの位の 1 個分にすることは変わりません。分数でも、1 個分の大きさを確かめてから個数を考える習慣が、1 をこえる分数や、分母の違う分数を学ぶときの土台になります。

家庭での 5 分の確かめ方の 1 つ目は、紙に 10 等分の帯をかき、好きな個数だけ色をつける方法です。帯全体を 1 とし、お子さまに小数と分数の両方で表してもらいます。たとえば 7 個塗れば 0.7 と 7/10 です。次に、あと何個塗ると 1 になるかを聞き、残りの 3 個を 0.3 や 3/10 と結びつけます。まずは 1 枚の帯で十分です。

2 つ目は、1 から小数をひく問題を 1 問だけ出す方法です。1 − 0.4 を考え、答えの 0.6 に 0.4 をたすと 1 に戻ることまで説明してもらいます。正解したかに加えて、「1 を 0.1 の 10 個分にした」と言えるかを見ます。説明が止まったら、10 個の区画をかいて 4 個に印をつけ、残りを一緒に数えます。

個別指導で確かめる場合も、計算の答えから始めて、必要なら「1 を等しく分ける」「0.1 を 10 個集める」ところまで戻ります。位の並べ方で迷っているのか、1 個分の意味が曖昧なのかを、図への指さしと短い説明で分けて確かめます。

まとめ

お子さまが「これは 0.1 が 6 個だから」と言えたときは、答えの数字だけでなく、数の大きさを捉えています。途中で答えを直すことがあっても、その説明があれば、どの部分を数え違えたのかを一緒に探せます。ノートには計算式の横に小さな帯や数直線を残し、自分の答えを確かめる場所にしましょう。

小数点の位置も分母を残す理由も、もとの 1 をどの大きさに分けたかに結びついています。「何の何個分か」は、小数と分数の答えを自分で確かめるための基準です。