【小3算数】大きな数を図解で総まとめ—万・億と 10 倍 100 倍・数の線｜武蔵野個別指導塾

0を含む大きな数の読み書きを位取り表で確かめ、10倍・100倍・1/10を数字の移動で考えます。数の線の目盛りを読む例題から、万・億のしくみとおよその数へ進めます。

よくあるのは、冬期講習の初日の教室で「三千五十万二千」を数字で書こうとして、3と5と2を書いたところで鉛筆が止まるという場面です。「万」は読めても、どこに0を入れるのかが決まりません。声に出す言葉には現れない位が、数字で書くときには必要になるからです。

このとき、0の個数だけを教えても、次の数でまた迷うことがあります。先に一、十、百、千、万という数字の居場所を確かめると、読む言葉と書く数字を結びつけられます。長い数を一度に覚える必要はありません。右から4けたずつに区切ると、これまでに読んできた数のしくみを使えます。

大きな数の学習は、長い数字を読めるようにするだけではありません。同じ3でも位によって表す大きさが変わること、10倍すると数字が別の位へ移ること、数の線では間隔と数の差が対応することを確かめます。ご家庭でも、お子さまが答えた数の「どの位を見たのか」を聞くと、次に確かめる場所が見えてきます。

この単元で身につけること

• 万のまとまりで数を捉えます。10000を1万と呼び、万がいくつ集まっているかを考えることで、けたの多い数も整理できます。
• 位に合わせて数を読み書きします。声に出して読まない0にも、ほかの数字の位を保つ役割があると確かめます。
• 10倍・100倍・1/10の関係を説明します。0を付けたり消したりする操作の前に、それぞれの数字がどの位へ移るのかを見ます。
• 数の線の目盛りを読み、大きさを比べます。目盛りの線の本数ではなく、線と線の間がいくつあるかに注目します。
• 億と概数の入口に触れます。万より大きなまとまりがあることと、正確な数を目的に合わせておよその数で表せることを知ります。

これまで学んだ「10こ集まると1つ上の位になる」という決まりが、万より上でも続きます。多くの教科書では小3で万の位を中心とする大きな数を学び、億や概数についてはその後の学習でさらに詳しく扱います。ここでは億はまとまりのつながり、概数は数の線で近い数を選ぶところまでにします。

基本の考え方

位は数字の居場所です

一の位の7は7を表し、十の位の7は70を表します。同じ数字でも、置かれた位によって大きさが違います。一、十、百、千と進んだ先に万の位があります。1000が10こ集まると10000になり、これを1万と呼びます。1000を9こ集めた9000に1000を足すと、次のまとまりに届くということです。

万の位より左には、十万、百万、千万の位が続きます。1万が10こで10万、10万が10こで100万、100万が10こで1000万です。ここでも、新しい位へ進むたびに10倍になる決まりは変わりません。名前が長くなることと、数のしくみが変わることを混同しないようにしましょう。

図1のように30502000を位取り表に置くと、3は千万の位、5は十万の位、2は千の位にあります。数字を置かなかった列には0が入っています。色の付いた位だけでなく、その間にある0の列も見てください。

この数は30000000 + 500000 + 2000でできています。万を使って表すと3050万と2000ですから、「三千五十万二千」と読みます。図1では、万の位と千の位の間を境にして、左の3050と右の2000を別々に読むことができます。

0は「その位のまとまりがない」という印です。百万の位の0を取り去って数字を詰めると3502000になり、3が千万の位から百万の位に移ってしまいます。0を読まない場合があることと、0を書かなくてよいことは違います。保護者の方からは「声に出さない位にも、座る場所を残そう」と伝えると、位取り表へ戻りやすくなります。

右から4けたずつで読むとまとまります

大きな数を読むときは、一の位から左へ4けたずつまとめます。たとえば482600は、説明用に区切ると48｜2600です。左の48に万を付け、右の2600を読むので「四十八万二千六百」になります。ここで使う縦線は読みやすくするための目印で、答えの数字には書きません。

書くときは逆の順に考えます。「七十二万六百」なら、万のまとまりは72、万より小さい部分は600です。下の部分は千、百、十、一の4つの位をそろえ、0600と置きます。72と0600をつなげると720600です。600をそのまま72の後ろに付けた72600では、七万二千六百になってしまいます。

億も、この4けたのまとまりとつながっています。1000万が10こ集まった数が1億で、数字では100000000と書きます。1万を10000こ集めた数も1億です。右から4けたずつ区切ると1｜0000｜0000となり、万のまとまりのさらに左に億のまとまりが現れます。

今は、億までの長い読みをたくさん暗記する必要はありません。まず1万、10万、100万、1000万、1億の順に声に出し、隣どうしが10倍の関係になっていることを確かめます。1000万の次に「10000万」と考えたら、そのまとまりに1億という名前が付いている、と結びつけてください。

倍の関係とおよその大きさを捉えます

整数を10倍すると、それぞれの数字は1つ左の位へ移ります。100倍なら2つ左です。3400の3は千の位ですが、10倍した34000では万の位、100倍した340000では十万の位にあります。数字の3そのものを変えるのではなく、表しているまとまりを大きくしています。

1/10は、同じ大きさに10こに分けたうちの1こ分です。ある数の1/10を求めることは、その数を10でわることと同じです。3400の1/10は340で、それぞれの数字が1つ右の位へ移ります。ここでは10でわれて整数になる数を扱います。どんな整数でも一の位の数字を消せばよい、という決まりではありません。

大きさを比べるときは、まずけた数を見ます。ふつうの書き方で表した正の整数なら、6けたの数は5けたの数より大きくなります。同じけた数なら、左の大きい位から順に見て、初めて違う数字が出た位で大小が決まります。右端の数字が大きい方を選ぶのではありません。

正確な数に対して、およその数を概数といいます。たとえば37000を「3万と4万のうち、近い方の万の数」で表すなら、4万を選べます。3万までは7000、4万までは3000離れているからです。「約4万」と書いたら、正確に40000という意味ではありません。約は「およそ」を表します。どれくらい細かく表すかを決めてから、近い数を選ぶことが大切です。

例題で解き方を確かめる

例題1　万と千のまとまりを数字にします

1万を23こ、1000を4こ合わせた数を、数字で書きましょう。また、その数を読みましょう。まとまりの個数を並べるのではなく、それぞれがいくつを表しているかを考える問題です。

1. 1万が23こ分の大きさを求めます。10000 × 23 = 230000です。23万は、十万が2こ、万が3こに分けられます。
2. 1000が4こ分の大きさを求めます。1000 × 4 = 4000です。この4は千の位に入るため、万の位の3のすぐ右に置きます。
3. 2つを合わせます。230000 + 4000 = 234000です。右から4けたで区切ると23｜4000なので、万のまとまりと下の部分を順番に読めます。

答え：234000（二十三万四千）です。

確かめるときは「234という数字が見えるから二百三十四万」と読んでいないかに注意します。234000の万のまとまりは23です。一の位から4けたを取った残りを見ると、読む区切りを間違えにくくなります。「1万が23こ」の23を保ったまま説明できれば、まとまりと数字が結びついています。

例題2　読まない0を入れて書きます

「三千五十万二千」を数字で書きましょう。図1を使って、読んだ言葉にない位も確かめます。読み上げられた数字の3、5、2だけを書いて終わらないことが、この問題の要点です。

1. 「万」の前と後で分けます。「三千五十万」と「二千」です。万の前をひとまとまりにすると、3050万だとわかります。
2. 万より小さい部分を4けたで書きます。二千は2000です。千の位が2で、百、十、一の位にはそれぞれ0が入ります。
3. 3050と2000をつなげて30502000と書きます。大きい位から読むと、3000万と50万と2000であり、もとの言葉に戻ります。

答え：30502000です。

図1の表に数字を入れてから書き写す方法でもかまいません。左側の3050の末尾の0は万の位です。右側の2000に含まれる3つの0とは居場所が違います。0が続く数ほど、「0が何こか」と聞く前に「千の位はどれか」「万の位はどれか」と場所を確かめると、修正の理由まで説明できます。

例題3　10倍・100倍・1/10を求めます

3400を10倍した数、100倍した数、1/10にした数をそれぞれ求めましょう。どれも、もとの3400を基準にします。10倍した答えをさらに100倍する問題ではないので、何をもとにするのかを最初にそろえます。

1. 10倍では、3を千の位から万の位へ、4を百の位から千の位へ移します。各数字が表す大きさを10倍するため、3400 × 10 = 34000です。
2. 100倍では、もとの位置から2つ左へ移します。10倍を2回すると100倍になるので、3400 × 100 = 340000です。
3. 1/10では、もとの位置から1つ右へ移します。千の位の3が百の位へ、百の位の4が十の位へ移るので、3400 ÷ 10 = 340です。

答え：10倍は34000、100倍は340000、1/10は340です。

図2のように位の列を固定しておくと、同じ3と4の移動が見えます。上の段が3400、その下が10倍した数、さらにその下が100倍した数です。最下段は、もとの3400の1/10を表しています。

図2の赤い3の位置を上から追うと、千、万、十万、百の位の順になります。左へ行くほど1つのまとまりが大きくなり、右へ行くほど小さくなります。答えを確かめるには、34000 ÷ 10 = 3400、340 × 10 = 3400と、反対の操作でもとの数に戻してみます。

整数の10倍を計算した結果は、末尾に0を1つ付けた形になります。ただし、その見た目だけを覚えると、1/10でどの数字を消すのか迷う場合があります。数字の移動を先に説明し、空いた一の位を0で埋める順で考えると、位取りの決まりを使った計算になります。

例題4　数の線から大きさを読み取ります

図3は30000から40000までを10等分した数の線です。Aの表す数を読み、35000との大小を不等号で表しましょう。また、Aを3万と4万のうち近い方で表すと、約何万になるでしょうか。

1. 両端の数の差を求めます。40000 − 30000 = 10000です。区間全体で数がいくつ増えるのかを先に確かめます。
2. 間が10こあるので、1目盛り分は10000 ÷ 10 = 1000です。目盛りの線の本数を数えると11本になりますが、等分した間は10こです。
3. Aは30000から右へ7目盛りの位置です。30000 + 1000 × 7 = 37000なので、35000より大きく、37000 > 35000と表せます。
4. 3万との差は37000 − 30000 = 7000、4万との差は40000 − 37000 = 3000です。差が小さい4万の方に近いため、約4万と表します。

答え：Aは37000、37000 > 35000、近い方の万の数では約4万です。

数の線の全体が0から始まっているとは限りません。図3では左端が30000なので、7目盛り分の7000だけを答えにせず、出発点の30000に足します。「どこから、いくつずつ、何回進むか」の3つを言葉にすると、読み取る順番が整います。

つまずきやすいところと直し方

「五万三十」を5030と書いてしまいます

誤った書き方は「五万三十 → 5030」です。5030を読むと五千三十になるため、五万を表すはずの5が千の位に入っていることがわかります。読みの中に「千」「百」がないからといって、その場所を飛ばして数字を詰めることはできません。

正しい書き方は「五万三十 → 50030」です。万の位に5、十の位に3を置き、千、百、一の位に0を入れます。直すときは、最初から正答を写させるより、万、千、百、十、一の5つの枠を作って入れ直してみてください。空いた枠が見えると、0を入れる理由が具体的になります。

6000の1/10を60000にしてしまいます

誤った書き方は「6000の1/10は60000」です。60000は6000より大きく、10倍した数です。1/10は10こに同じ大きさに分けた1こ分なので、もとの数より小さくなるはずです。計算の前に答えの大きさを予想すると、左右の移動を取り違えたことに気づけます。

正しい書き方は「6000 ÷ 10 = 600」です。600を10こ集めると6000に戻るので、600 × 10 = 6000でも確かめられます。「左に動かすのか、右に動かすのか」とだけ聞くのではなく、「1こ分はもとの全部より大きいかな、小さいかな」と尋ねると、操作と意味をつなげられます。

数の線の1目盛りをいつも1だと思ってしまいます

誤った読み方は「図3のAは30007」です。30000から7目盛り進んだことは捉えていますが、1目盛り分の大きさを1として扱っています。図3のように両端の差と間の数を確かめると、1目盛りは1000だとわかります。

正しい読み方は「30000 + 7000 = 37000」です。図3の中央の目盛りは35000で、Aはそこから右へ2目盛りです。35000 + 2000 = 37000と別の目盛りからも確かめられます。答えの数が、左右に書かれた数の間に入っているかを見ることも役立ちます。

同じ線でも、両端が0と100なら1目盛りの値は変わります。線の見た目の長さだけで値を決めず、書かれている数字を読むことが必要です。お子さまが線を指でなぞるときには、30000、31000、32000と声を添えると、図の移動と数の増え方をそろえられます。

練習問題

答えだけを急いで書かず、位の名前や1目盛り分の大きさを短く添えて解いてみましょう。読みにくい数は右から4けたで区切り、求めた数はもう一度声に出して読むと、違う角度から確かめられます。

練習1

「四百八万六十」を数字で書きましょう。また、書いた数の8と6は、それぞれ何の位にありますか。万より小さい部分も4けたの枠を用意して考えてください。

練習2

7200を10倍した数、100倍した数、1/10にした数を、それぞれ求めましょう。3つとも、もとの7200から考えます。最初の答えを次の計算のもとにしないようにしてください。

練習3

508000と580000の大小を、不等号を使って表しましょう。また、9999万に1万を足すといくつになりますか。大小を決めた位と、まとまりが変わったところも説明してみましょう。

練習4

60000から80000までを10等分した数の線を考えます。1目盛り分の大きさはいくつですか。60000から右へ6目盛り進んだ点の数を求め、それを7万と8万のうち近い方の数で表しましょう。

答えと解説

練習1の答えは4080060で、8は万の位、6は十の位です。408万と60に分け、下の部分を0060とそろえます。408｜0060と区切って読めば、四百八万六十に戻ります。千と百の位を空けておく役割を、2つの0が受け持っています。

練習2の答えは、10倍が72000、100倍が720000、1/10が720です。7200 × 10 = 72000、7200 × 100 = 720000、7200 ÷ 10 = 720です。7の位置は、もとの千の位から順に万、十万、百の位へ移っています。

練習3の答えは508000 < 580000、9999万に1万を足した数は1億です。どちらも6けたで十万の位は5ですが、万の位で0と8の違いが出ます。そのため508000の方が小さくなります。9999万 + 1万 = 10000万であり、10000万は100000000、つまり1億です。

練習4の答えは、1目盛り分が2000、点の数が72000、近い方で表すと約7万です。80000 − 60000 = 20000を10等分するので、20000 ÷ 10 = 2000です。60000 + 2000 × 6 = 72000となります。7万との差は2000、8万との差は8000なので、7万を選びます。点の数を62000にした場合は、1目盛り分ではなく6目盛り分進むところを見直しましょう。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

位ごとに数を捉える力は、けたの多いかけ算やわり算の計算で使います。数字をどの位に書くかがわかると、途中の計算結果をそろえる理由も理解しやすくなります。また、数の線で1目盛り分を確かめる習慣は、小数や分数、グラフを読む学習にもつながります。概数は、正確に計算する前に答えのおよその大きさを考える土台になります。

家庭で5分ほど使うなら、1つ目は「読む人と書く人を交代する」確かめ方です。五万三十などの数を保護者の方が読み、お子さまが書きます。次はお子さまが数を読み、保護者の方が書きます。2人で位の枠に入れて、同じ数になったか確かめます。0を含む数は1つか2つに絞り、間違えた理由を話す時間を残しましょう。

2つ目は、数の線の両端を変える確かめ方です。紙に10等分した線をかき、両端を30000と40000にした場合と、60000と80000にした場合を比べます。同じ10等分でも、1目盛り分が1000と2000に変わることを確かめます。線の間隔を同じにしても、数字の付け方で表す大きさは変わるという発見につながります。

個別指導で確かめるときは、万の読みだけを繰り返すのではなく、100が10こで1000になるところや、千の位に数字を置くところまで戻る場合があります。読み書き、倍の関係、目盛りのどこで迷ったかを分けて見て、必要なまとまりからたどり直します。

まとめ

大きな数の問題で鉛筆が止まったとき、その場で読み方を言ってあげる前に、空いている位を一緒に見てみてください。お子さまが「ここは千の位だから2」「百のまとまりがないから0」と説明できれば、長い数も自分で組み立て直せます。正答だけでは見えなかった理解が、数字を置く理由の中に現れます。

30502000の中の0は、余分な飾りではありません。数を読む声には現れなくても、位取り表には居場所があります。読まない0にも、数の大きさを守る役割があります。