【小2算数】三角形と四角形・はこの形を図解で総まとめ—長方形 正方形 直角三角形・辺と頂点｜武蔵野個別指導塾

辺と頂点を数える例題や箱の図を使い、長方形・正方形・直角三角形の見分け方を確かめます。半分と1/4の図、家庭で取り組める練習問題もそろえ、形の名前を理由とともに説明する力を育てます。

よくあるのは、祖父母の家の客間でお菓子の箱を見ながら、「上は四角だから、箱も四角形かな」と考え込む場面です。ふたの形なら答えられても、箱全体の名前を聞かれると迷います。さらに、正方形の折り紙を斜めに置くと「別の形になった」と言うこともあります。形を見ているつもりでも、見えている面や置く向きによって答えが変わってしまうのです。

この単元では、「何となく四角い」を、辺や頂点、直角を使った説明に変えていきます。紙にかいた平らな形と、手で持てる箱の形を区別し、どこを数えればよいかを確かめます。形の名前を覚えるだけでなく、「どうしてその名前になるのか」まで話せることが目標です。

また、折り紙を半分や4つに分ける活動も扱います。ここでは、切れた紙の枚数だけでなく、同じ大きさに分かれているかが大切です。お子さまと実物に触れながら、目で見る、指でたどる、言葉で説明するという順番で進めてみてください。

この単元で身につけること

• 三角形と四角形を見分けます。まっすぐな線で囲まれているかを確かめてから、辺を数えます。向きや細長さだけでは決めません。
• 辺と頂点を区別します。形のまわりのまっすぐな線が辺で、辺と辺が出会う点が頂点です。指で線をたどる動きと、点を指す動きを使い分けます。
• 直角を確かめます。紙を折って作った角や三角定規の直角を重ね、ぴったり合うかを見ます。長方形・正方形・直角三角形を分ける手がかりになります。
• 箱の面・辺・頂点を数えます。お菓子の箱のような形について、見えないところも含めて数え、同じところを2回数えない方法を考えます。
• 半分と1/4の意味を説明します。1つのもとになる大きさを、同じ大きさに2つ、または4つに分けたうちの1つ分として捉えます。

前の学年で取り組んだ形探しや形の仲間分けが、辺の数や角の形を根拠にする学習につながります。多くの教科書では小2で学ぶ内容ですが、名前を先に急いで覚えるより、具体的な形を触って確かめる時間を十分に取ると進めやすくなります。

基本の考え方

まっすぐな線で囲まれているかを見ます

三角形は、3本のまっすぐな線で囲まれた形です。四角形は、4本のまっすぐな線で囲まれた形です。「囲まれた」とは、線の端がつながり、中と外が分かれていることです。ここでは、線が途中で交差しない形を扱います。線が3本あっても、端にすき間があれば三角形ではありません。また、囲まれていても、まわりの一部が曲がった線なら三角形や四角形にはなりません。

形のまわりにある1本ずつのまっすぐな線を「辺」、辺と辺が出会う点を「頂点」といいます。三角形には辺が3本、頂点が3つあります。四角形には辺が4本、頂点が4つあります。辺を数えるときは、1本の途中で区切らず、頂点から次の頂点までを1本としてたどります。

たとえば、長い辺の途中に小さな印を付けても、その場所で曲がっていなければ辺が2本になったわけではありません。形のまわりを1周して、向きが変わるところで次の辺に移ります。形の中に線が引いてあっても、もとの形を聞かれたときは外側をたどります。中にできた小さな形を聞かれているのか、外側全体を聞かれているのかを分けて読みましょう。

保護者の方は、「いちばん上から数えよう」と位置を固定するより、「始めるところに指を置いて、そこに戻るまで数えよう」と伝えてみてください。この言い方なら、形を回しても同じ方法で確かめられます。丸くふくらんだ線を指でなぞり、まっすぐな辺との違いを比べることも役立ちます。

直角・長方形・正方形を確かめます

直角は、紙の角や三角定規で確かめられる角の形です。ただし、三角定規の角がどれも直角というわけではありません。直角のところを1つ選び、調べる角に重ねます。角の先をぴったり合わせて、一方の辺をそろえたとき、もう一方の辺もそろうかを見ます。辺の長さが違っていても、角の開き方が合えば直角です。

紙を使って直角を作ることもできます。紙を一度折り、できた折り目の線が重なるようにもう一度折ると、折ったところに直角ができます。実物の角が丸く加工されている場合は判定しにくいため、初めは角のはっきりした紙や定規を使いましょう。角度の数値を覚えることよりも、重ねて合うという経験を先にします。

長方形は、4つの角がすべて直角の四角形です。向かい合う辺の長さがそれぞれ等しくなります。正方形は、4つの角がすべて直角で、4本の辺の長さがすべて等しい四角形です。辺の長さだけで決めず、角の形も確かめます。4本の辺が等しくても、角が直角でなければ正方形とはいえません。

正方形は長方形の条件も満たします。学校の問題で「長方形と正方形に分けましょう」と書かれている場合は、正方形の条件を満たすものを正方形として分けます。名前を1つ答える場面と、どの条件に当てはまるかを考える場面を混ぜないことが大切です。お子さまには、まず正方形の「角も辺も確かめる」という特徴を押さえてもらいましょう。

図1のように、長方形は辺が長くても短くても、4つの角が直角です。正方形を回しても、辺の長さや角の形は変わりません。また、直角が1つある三角形を「直角三角形」といいます。三角形かどうかを辺の数で確かめてから、直角があるかを調べます。

図1の角に付いた小さな四角い印は、その角が直角であることを表しています。印のための線を、その形の辺として数えることはありません。左上の三角形には直角の印がなく、右下の直角三角形には印があります。形の名前を答えるときに、どこを見たのかも指で示してみましょう。

箱の形には面があります

紙にかいた長方形と、お菓子の箱の形は区別します。長方形は平らな形ですが、箱には奥行きがあります。ふたを閉じた、へこみのないお菓子の箱を考えると、その表面には平らな部分があります。この平らな部分を「面」といいます。1つの面の形を見れば長方形や正方形でも、箱全体が1枚の四角形になるわけではありません。

箱では、面と面が出会うまっすぐなところが辺です。辺が集まる点が頂点です。紙の形で使った言葉が、箱のどの部分に当たるかを確かめましょう。面は手のひらで触り、辺は指でなぞり、頂点は指先で指すと区別しやすくなります。箱の表面に印刷された模様の線は、箱の辺には数えません。

ここで数えるのは、6つの長方形の面でできた箱や、6つの正方形の面でできた箱です。丸い缶や先のとがった箱まで、すべて同じ数になるわけではありません。実物を用意するときは、ふたを閉じた普通のお菓子の箱などを選びます。折り返したふたの紙の重なりを、別の面として数えないようにしましょう。

例題で解き方を確かめる

例題1　辺と頂点から形の名前を答えます

アは3本のまっすぐな線で囲まれた形です。イは4本のまっすぐな線で囲まれた形です。ウは3本のまっすぐな線を使っていますが、端にすき間があり、囲まれていません。線はどれも途中で交差していないものとします。ア・イ・ウについて、三角形か四角形かを答えましょう。また、アとイの辺と頂点の数を答えましょう。

1. まず、線がつながって形を囲んでいるかを確かめます。三角形と四角形は、どちらも囲まれた形だからです。アとイは囲まれていますが、ウは囲まれていません。
2. アのまわりをたどり、まっすぐな線が3本あることを確かめます。3本で囲まれているため三角形です。辺と辺が出会う点も、始めの点に戻るまでに3つあります。
3. イのまわりをたどり、まっすぐな線が4本あることを確かめます。4本で囲まれているため四角形です。辺は4本、頂点は4つです。ウは線が3本でも、囲まれていないため三角形とは呼びません。

「3本だから」とだけ答えたら、「その前に何を確かめたかな」と聞いてみてください。「まっすぐな線で囲まれている」と付け加えられれば、形の名前を決まりに沿って説明できています。ウを三角形にするには端をつなぎ、3本の線で囲まれた形にする必要があります。すき間を埋めるために別の辺を1本付け足すと、辺の数まで変わることがある点にも気を付けます。

答え：アは三角形で辺3本・頂点3つ、イは四角形で辺4本・頂点4つ、ウはどちらでもありません。

例題2　長さと直角から形を見分けます

エは、4つの角がすべて直角で、まわりの辺の長さが順に6 cm、4 cm、6 cm、4 cmの四角形です。オは、4つの角がすべて直角で、辺の長さがどれも4 cmの四角形です。カは、3本の辺で囲まれ、直角が1つある形です。それぞれの特徴を表す名前を答えましょう。

1. エとオの辺が4本あることを確かめます。まず四角形とわかるので、次に角や辺の長さを使って詳しく分けられます。カは辺が3本なので三角形です。
2. エの4つの角を確かめます。すべて直角なので長方形です。6 cmの辺と4 cmの辺があり、4本すべてが同じ長さではないため、正方形にはなりません。
3. オの角と辺の長さを確かめます。4つの角が直角で、4本の辺がすべて4 cmなので正方形です。長さだけでなく直角も調べることで、名前の理由を最後まで説明できます。
4. カの直角を確かめます。三角形の中に直角が1つあるので、直角三角形です。残りの辺の長さがわからなくても、示された条件で名前を決められます。

図1の右上と左下では、エとオの辺の長さの比を形でも確かめられます。長方形の長い辺と短い辺は同じ長さではなく、正方形の4本の辺は等しくなっています。実物で長さを測る場合は、定規の端ではなく0の目盛りを頂点に合わせます。角を調べる作業と長さを調べる作業を分けると、どちらを確かめ忘れたかにも気づきやすくなります。

答え：エは長方形、オは正方形、カは直角三角形です。

例題3　箱の面・辺・頂点を数えます

図2のような、ふたを閉じた箱があります。面はすべて長方形です。この箱の面・辺・頂点は、それぞれいくつありますか。図の点線は、箱の後ろ側や底側にあって、手前からは見えない辺を表しています。

1. 面を、上と下、前と後ろ、左と右に分けます。向かい合う面を組にすると、見えない面を忘れにくくなります。面の数は2 + 2 + 2 = 6です。
2. 辺を、上の面のまわり、下の面のまわり、上下をつなぐ辺に分けます。上に4本、下に4本、上下をつなぐものが4本あるので、4 + 4 + 4 = 12です。同じ辺を重ねて数えない分け方になっています。
3. 頂点を、上の面にあるものと下の面にあるものに分けます。それぞれ4つずつあるため、4 + 4 = 8です。図で奥に隠れた頂点も箱にはあるので、数に入れます。

図2のように、紙に箱をかくと、奥行きを表すために斜めの線を使います。そのため、箱の上の面は紙の上では傾いた四角形に見えますが、実物の面の形は長方形です。この図の斜めの角に定規を当てて、実物の直角を調べることはできません。平らな面の形を調べるときは、実物の面を紙に写した形で確かめましょう。

面が6つで、1つの面に辺が4本あることから、6 × 4 = 24と数える方法では、同じ辺を2回ずつ数えてしまいます。隣り合う2つの面が1本の辺を共有しているからです。初めから計算だけで処理せず、上・下・つなぐ辺の3組に色を分けて数えると、12本がどこにあるかを説明できます。お子さまには「数えた辺から指を離す前に、次に数える組を決めよう」と声をかけてみてください。

答え：面は6つ、辺は12本、頂点は8つです。

例題4　半分と1/4を折り目で考えます

同じ大きさの長方形の紙を2枚用意します。1枚目は、短い辺どうしが重なるように真ん中で折り、開きます。2枚目は同じように半分に折ったあと、折った紙をさらに同じ大きさに半分に折り、開きます。1枚目の2つの部分のうち1つ分と、2枚目の4つの部分のうち1つ分は、それぞれもとの紙のどれだけでしょうか。

1. もとの紙1枚を確かめます。「何の半分か」をはっきりさせるためです。2枚の紙は同じ大きさなので、折ってできた部分を比べられます。
2. 1枚目の折り目を見ます。同じ大きさに2つに分かれているので、1つ分はもとの紙の半分です。半分は1/2と書き、「2分の1」と読みます。
3. 2枚目の折り目を見ます。同じ大きさの部分が2つずつでき、2 + 2 = 4つに分かれています。4つのうち1つ分は1/4で、「4分の1」と読みます。
4. 2枚目の小さな部分を2つ合わせて、1枚目の半分と重ねます。同じ大きさになるので、同じ紙の1/4を2つ合わせると、その紙の半分になることも確かめられます。

紙を折るときは、端を合わせず適当な場所で折らないようにします。部分の数が2つや4つになっても、それぞれが同じ大きさでなければ、この答えにはなりません。また、「小さい紙だから1/4」と決めるのも避けます。もとの紙との関係がわかって初めて、1/4と呼べます。

答え：1枚目の1つ分は半分の1/2、2枚目の1つ分は1/4です。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　向きを変えた正方形を別の形にします

誤った書き方は、「正方形を斜めに置いたので、正方形ではなくなります」です。どこが違うかというと、紙を回したことと、形そのものを変えたことを同じにしています。切ったり伸ばしたりしていないので、辺の長さも角の形も変わっていません。正しい書き方は、「向きを変えても、4つの角が直角で4本の辺が等しいので正方形です」です。

直すときは、正方形の紙の1つの頂点に印を付けて、ゆっくり回します。印が上から横へ移っても、4本の辺はそのままです。三角定規も一緒に回して角に重ねると、斜めに置いても直角であることが見えます。「立っている辺があるか」ではなく、「角と辺の条件は同じか」を確かめる練習にしましょう。

誤り2　見える3つの面だけを数えます

誤った書き方は、「箱には面が3つあります」です。どこが違うかというと、今見えている面だけで箱全体を数えています。箱を裏返すと、下や後ろにも面があります。正しい書き方は、「上と下、前と後ろ、左と右に面があるので、2 + 2 + 2 = 6つです」です。

実物の箱で、向かい合う面に同じ印を付けると数え直しやすくなります。面を触りながら数えているのに途中で辺をなぞり始めたら、数える対象が変わっています。そのときは「今は平らなところを数えています」と戻します。面・辺・頂点を続けて一気に数えず、1種類ずつ終えてから次へ進むと混乱を減らせます。

誤り3　4つに分ければ何でも1/4にします

誤った書き方は、「紙を大きい部分1つと小さい部分3つに分けたので、どの部分も1/4です」です。どこが違うかというと、4つという数だけを見て、部分の大きさを調べていません。正しい書き方は、「もとの紙を同じ大きさに4つに分けたとき、その1つ分が1/4です」です。

図3のように、同じ大きさの長方形を用意して、一方を2等分、もう一方を4等分します。「等分」は、同じ大きさに分けることです。色の付いたところは、左では全体の1/2、右では全体の1/4です。右の小さな部分を2つ並べると左の色の部分と同じ大きさになり、半分をさらに半分にした関係が見えます。

図3で比べているのは、もとが同じ大きさの紙です。大きな紙の1/4と、小さな紙の1/2なら、1/4のほうが必ず小さいとはいえません。初めの学習では、同じ紙から切り分けた部分を使うと、もとの大きさを見失いにくくなります。色の部分だけを切って見せる場合も、もとの紙の輪郭を残しておきましょう。

練習問題

形の名前だけで終わらず、辺の数、角の形、分け方のどれを使ったかを言葉にしてみてください。実物を用意できる問題は、答えを先に予想してから触って確かめると、自分の見方を比べられます。

練習1

キは、4本のまっすぐな線で囲まれ、線は途中で交差していません。クは、まっすぐな線2本と曲がった線1本で囲まれています。キとクは、それぞれ三角形・四角形のどちらかに当てはまりますか。キの辺と頂点の数も答えましょう。

練習2

ケは、4つの角がすべて直角で、辺の長さが順に5 cm、3 cm、5 cm、3 cmの四角形です。コは、4つの角がすべて直角で、4本の辺がすべて3 cmの四角形です。サは、直角が1つある三角形です。それぞれの特徴を表す名前を答えましょう。

練習3

すべての面が正方形の箱があります。へこみはなく、ふたは閉じています。面・辺・頂点はいくつずつありますか。辺は「上・下・上下をつなぐもの」に分けて、式でも答えましょう。

練習4

同じ大きさの長方形の紙を2枚用意しました。1枚目は同じ大きさに4つに分け、そのうち2つを合わせました。2枚目は大きさがそろわない4つの部分に分けました。1枚目で合わせた部分はもとの紙の半分ですか。また、2枚目の部分を、どれも1/4と呼べますか。

答えと解説

練習1の答え：キは四角形で、辺は4本、頂点は4つです。クはどちらでもありません。キは4本のまっすぐな線で囲まれていますが、クには曲がった線があるため三角形とはいえません。「囲まれた形」という条件だけでは足りないことを確かめます。

練習2の答え：ケは長方形、コは正方形、サは直角三角形です。ケは4つの角が直角ですが、5 cmと3 cmという異なる長さの辺があります。コは角と辺の両方が正方形の条件に合います。サは三角形であることと直角があることを合わせて判断します。

練習3の答え：面は6つ、辺は12本、頂点は8つです。辺は4 + 4 + 4 = 12と数えられます。面が長方形の箱から正方形の箱に変わっても、この数は変わりません。面は2 + 2 + 2 = 6、頂点は4 + 4 = 8と、実物の場所を指しながら確かめます。

練習4の答え：1枚目で合わせた部分は半分です。2枚目の部分を、どれも1/4と呼ぶことはできません。1枚目は等しい4つのうち2つ分で、残りの2つ分と同じ大きさになるからです。2枚目は部分の大きさがそろっていません。4つあることと4等分であることを区別しましょう。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

辺や頂点に注目する見方は、これから三角形や四角形をさらに詳しく分ける学習につながります。箱の面を1つずつ見る経験は、箱を開いた形を考えるときにも役立ちます。また、1/4を「同じ大きさに分けた1つ分」と捉えることは、分数を数として扱うための土台になります。

家庭で5分ほど使えるなら、1つ目は「形を回しても名前を言えるか」の確認です。長方形と正方形の紙を用意し、向きを変えて置きます。お子さまに名前と理由を話してもらい、角は紙の直角を重ね、辺は重ね合わせて確かめます。理由が合っていれば、言葉が少し途切れても急いで言い直させる必要はありません。

別の5分でできる2つ目は、「箱の同じ場所を2回数えない」確認です。箱の辺を上・下・上下をつなぐものの順にたどります。12本という答えを覚えていても、どの組に何本あるかまで尋ねると、数の根拠が見えます。余裕があれば面や頂点も指して、なぞる場所と指す場所の違いを確かめてください。

個別指導で名前の取り違えが続く場合は、辺をたどること、囲まれていること、直角を重ねることのどこで迷ったかまで戻って確かめます。分数なら、もとの紙1枚を指せるか、重ねて同じ大きさだと確かめられるかを見ます。

まとめ

祖父母の家の客間にある箱も、ふたの面を見るのか、箱全体を見るのかで使う言葉が変わります。お子さまが「ここが辺です」「後ろにも面があります」と指しながら話せたら、名前の暗記から一歩進んでいます。半分や1/4についても、色の部分だけでなく、もとの紙を示せることを確かめましょう。

答えに迷ったときは、見た目の印象を言い直すより、確かめる場所を1つ決めます。図形の名前を支えるのは、置かれた向きではなく、たどった辺と確かめた角です。