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【数学III】積分法の応用を図解で総まとめ—面積・体積・曲線の長さ・区分求積と不等式｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.10.12更新 2026.10.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学単元解説（数I・A・II・B・III・C）

【数学III】積分法の応用を図解で総まとめ—面積・体積・曲線の長さ・区分求積と不等式のアイキャッチ武蔵野個別指導塾

2曲線の面積、回転体の断面、媒介変数で表された曲線の長さを図と例題でたどり、区分求積・定積分の不等式・道のりまで、積分する式の作り方を確かめられます。

よくあるのは、夕食を待つ台所のカウンターで回転体の問題を見直し、原始関数は求められたのに、答え合わせをすると π も2乗も抜けていたという場面です。料理を盛る丸い皿に目をやると、円には半径だけでなく面積があることを思い出せます。それでも「何を積み重ねているか」が曖昧だと、面積の式をそのまま体積に使ってしまいます。応用問題では、積分記号を書く前の図と短い説明が、計算そのものと同じくらい役立ちます。

数学IIIの積分法の応用では、面積だけでなく、立体の体積、曲線の長さ、動く点の道のりを求めます。一見すると別々の公式ですが、細かく分けた量を足し合わせるという考え方でつながっています。細長い長方形なら高さ、薄い立体なら断面積、短い線分ならその長さを調べます。

この単元で目指すのは、図を見て積分する式と区間を決め、その答えが求めた量に合っているかまで判断することです。計算が複雑になったときにも、図のどの部分が式のどこに対応するかをたどれるようにしていきましょう。

この単元で身につけること

面積を「上 – 下」または「右 – 左」で表します。縦に切るか横に切るかを選び、交点や境界から積分区間を決めます。
体積を断面積の積分で求めます。回転体では回転軸からの距離を半径として、円や円環の面積を作ります。
曲線の長さを微分と積分で求めます。小さな横の変化と縦の変化に三平方の定理を使い、媒介変数表示にもつなげます。
区分求積法で数列の和の極限を定積分に直します。区間の幅と関数の値を区別し、何を細かく分けた和なのかを説明します。
定積分の大小関係と、速度から道のりを求める方法を扱います。区間内の不等式や符号の変化を、計算前に確認します。

数学IIで扱った面積と定積分の関係に、数学IIIの微分、置換積分、部分積分の知識を組み合わせます。原始関数を求める力は必要ですが、式を立てる段階では、交点を求める方程式や関数の増減も使います。積分で行き詰まったように見えても、実際にはグラフの上下関係が決まっていない場合があります。まず図の境界を言葉にすることが、復習する場所を見つける手がかりになります。

基本の考え方

面積は細い長方形の和から考えます

この先では、∫[a,b] f(x) dx を「x=a から x=b までの定積分」と書きます。また、[F(x)][a,b] は F(b)-F(a) を表します。いずれも積分区間の端をはっきり示すための表記です。原始関数 F(x) がわかれば計算できますが、面積を求める際には、その前に f(x) が何の長さなのかを確かめます。

区間 a≦x≦b で f(x)≧g(x) なら、2曲線にはさまれた部分を縦に細く切った長方形の高さは f(x)-g(x) です。その面積を足し合わせると、S=∫[a,b] {f(x)-g(x)} dx になります。上の曲線が途中で入れ替わるなら、その点で区間を分けます。定積分は負の値も取りますが、面積は負にはなりません。

図1のように y=x と y=x² の間を考えます。交点は x²=x より x=0,1 で、この間では x-x²=x(1-x)≧0 です。縦に切ったとき、上端は直線、下端は放物線にあります。したがって高さは x-x² です。図中の赤い線分は x=1/2 の位置にあり、上端の y 座標は 1/2、下端は 1/4 です。

横に切る方法もあります。区間 c≦y≦d で右側の境界が x=p(y)、左側が x=q(y) なら、S=∫[c,d] {p(y)-q(y)} dy です。図1の領域を横に見ると、右側は x=√y、左側は x=y です。面積を表す式は ∫[0,1] (√y-y) dy となり、縦に切った場合と同じ値を取ります。積分する文字は飾りではなく、薄く切る向きを知らせています。

x軸との間なら、下の境界が必ず y=0 になるとは限りません。グラフがx軸より下なら、上が y=0、下が y=f(x) です。その部分の高さは -f(x) であり、面積全体は ∫[a,b] |f(x)| dx と表せます。一方、y軸との間を横に切るときは、x=0 と曲線のどちらが右にあるかを調べます。「軸との間」という言葉だけで関数をそのまま積分しないようにしましょう。

体積と長さでは足す量が変わります

立体をx軸に垂直な平面で切り、その断面積を A(x) とします。厚さがごく小さい立体片は、断面積 × 厚さで体積を近似できます。これを積み重ねると V=∫[a,b] A(x) dx です。断面が正方形なら一辺の2乗、三角形なら底辺 × 高さ ÷ 2 を先に求めます。回転体でなくても、断面積がわかれば同じ考え方を使えます。

x軸のまわりの回転体では、軸から境界までの距離が半径になります。0≦g(x)≦f(x) の領域を回転させる場合、外側の半径は f(x)、内側の半径は g(x) です。断面は円環なので、A(x)=π{f(x)²-g(x)²} となります。半径の差を2乗した式ではありません。領域が軸をまたぐ場合には穴が埋まることもあるため、この公式を境界の式だけから機械的に当てはめないでください。

曲線 y=f(x) の長さは、細かい点を線分で結んで考えます。短い区間で横に Δx、縦に Δy だけ変わるとき、その線分の長さは √{(Δx)²+(Δy)²} です。Δx>0 として Δx を外に出すと、√{1+(Δy/Δx)²} × Δx になります。導関数が連続な曲線では、分割を細かくすることで L=∫[a,b] √{1+f′(x)²} dx が得られます。面積の高さ f(x) と、長さを求めるための √{1+f′(x)²} は役割が違います。

媒介変数 t を使って x=x(t), y=y(t) と表された曲線では、横と縦の両方が t によって変化します。そのため、t=α から t=β までにたどる長さは L=∫[α,β] √{x′(t)²+y′(t)²} dt です。途中で同じ道を往復すれば、その分も加算されます。曲線そのものの長さを求めたいときは、与えられた区間で曲線を1回だけたどっているかも確かめます。

和の極限・不等式・道のりにも同じ見方を使います

区分求積法では、区間 [a,b] を n 等分し、幅 Δx=(b-a)/n の長方形を並べます。右端の点 xₖ=a+kΔx を使うと、連続な関数 f(x) について、Σ[k=1,…,n] f(xₖ)Δx の n→∞ での極限は ∫[a,b] f(x) dx です。Σ は指定した k の範囲で項を足す記号です。幅が0に近づくだけでなく、長方形の個数も増えて全区間を覆う点に注目します。

たとえば (1/n)Σ[k=1,…,n] (k/n)² は、幅 1/n、高さ (k/n)² の長方形の和です。区間は [0,1]、関数は x² なので、極限は ∫[0,1] x² dx=1/3 となります。k/n が現れたという理由だけで判断せず、外側に幅が掛かっていることまで確認します。連続な関数なら左端を使う和でも同じ積分に近づきますが、有限個の長方形での近似値は一般に異なります。

また、区間 a≦x≦b、a<b で f(x)≦g(x) が成り立てば、∫[a,b] f(x) dx≦∫[a,b] g(x) dx です。差 g(x)-f(x) が非負なので、その積分も非負になると考えられます。特に m≦f(x)≦M なら、m(b-a)≦∫[a,b] f(x) dx≦M(b-a) です。原始関数を求めにくい関数でも、積分の値が入る範囲を調べられます。

直線上を動く点の位置を s(t)、速度を v(t)=s′(t) とすると、∫[a,b] v(t) dt=s(b)-s(a) は変位です。進んで戻った分が打ち消されるため、道のりとは区別します。道のりは速さ |v(t)| の積分 ∫[a,b] |v(t)| dt です。往復した散歩の距離を考えると、出発点に戻って変位が0でも、歩いた距離は0ではないことが理解しやすくなります。

例題で解き方を確かめる

例題1　同じ面積を2つの向きで求める

y=x² と y=x で囲まれた部分の面積を、xについての積分とyについての積分の両方で求めます。図1を使い、積分する向きを変えても同じ領域を数えていることを確かめましょう。

交点を求めます。x²=x を解くと x(x-1)=0 より x=0,1 です。交点は (0,0),(1,1) で、縦に切る場合の区間も横に切る場合の区間も [0,1] になります。囲まれた範囲の端を先に決めるための手順です。
縦に切ると、0≦x≦1 で x≧x² なので、S=∫[0,1] (x-x²) dx と立式します。計算すると [x²/2-x³/3][0,1]=1/2-1/3=1/6 です。積分するのは上下の境界の差であり、片方の関数だけではありません。
横に切ると、領域内の x は非負なので、放物線は x=√y と書けます。0≦y≦1 では √y≧y より、S=∫[0,1] (√y-y) dy です。原始関数を (2/3)y√y-y²/2 とすれば、S=2/3-1/2=1/6 を得ます。負の枝 x=-√y は今回の領域の境界ではないので使いません。

答え：面積は 1/6 です。

横に切るときに「上 – 下」をそのまま使おうとすると、どちらを引くかがわからなくなります。積分する文字を決め、その文字を一定にした線分を図に1本入れてみてください。その線分の長さが、積分記号の中に入る式になります。2通りの結果が一致することは、境界を正しく読めたかの確認にもなります。

例題2　回転体の穴を引いて体積を求める

例題1の領域をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めます。図2の右側は x=1/2 における断面を、軸に垂直な方向から見た図です。左側の赤い線分を回転すると、半径 1/4 から 1/2 までの円環ができます。

回転軸と切る向きを決めます。x軸のまわりに回転させるため、xを一定にした断面を考えます。区間は 0≦x≦1 のままです。薄い立体片の厚さを dx にそろえるために、この向きを選びます。
断面の外側と内側の半径を求めます。この区間では 0≦x²≦x なので、外側の半径 R=x、内側の半径 r=x² です。したがって A(x)=πR²-πr²=π(x²-x⁴) です。図2の x=1/2 では、A(1/2)=π(1/4-1/16)=3π/16 になります。
断面積を積分します。V=π∫[0,1] (x²-x⁴) dx=π[x³/3-x⁵/5][0,1]=π(1/3-1/5)=2π/15 です。面積に対して回転の効果を最後に掛けるのではなく、各断面を円環にしてから足します。

答え：体積は 2π/15 です。

y軸のまわりに回転させるなら、横に切って dy で積分する方法が使えます。同じ領域でも回転軸が変われば半径の式が変わり、体積も変わり得ます。軸が y=c のように移動した場合も、半径は y 座標そのものではなく |y-c| です。図の境界から軸までの距離を書き込んでから、断面が円か円環かを判断しましょう。

例題3　媒介変数から面積の式を作る

曲線 x=t², y=t³ のうち 0≦t≦1 の部分と、x軸、直線 x=1 で囲まれた面積を求めます。tは曲線上の点を指定する文字であり、そのまま横幅を表しているわけではありません。

始点と終点、進む向きを確かめます。t=0 では (0,0)、t=1 では (1,1) です。x′(t)=2t≧0 なので、点はx座標を増やす向きに進み、途中で横方向に折り返しません。y=t³≧0 も確かめると、面積を ∫[0,1] y dx と置けます。
dx を t の式に直します。x=t² なので dx=2t dt です。高さ y=t³ と幅の変化 2t dt を掛けて、S=∫[0,1] t³ × 2t dt=∫[0,1] 2t⁴ dt となります。tの区間の端は、もとのxの端に対応させて決めています。
積分すると S=[2t⁵/5][0,1]=2/5 です。別の確認として、t=√x より y=x√x と直しても、原始関数 (2/5)x²√x を使って同じ面積が得られます。

答え：面積は 2/5 です。

面積の計算で ∫ y(t) dt としてしまうと、横幅の伸び縮みを無視することになります。tが同じだけ増えても、xの増え方は場所によって違います。x′(t) を掛けるのは、その違いを反映するためです。xが減少する区間では積分の向きによる符号にも注意し、増減が切り替わるなら区間を分けて境界を調べます。折り返しや重なりがある曲線では、単に全区間の積分の絶対値を取るだけでは面積を求められない場合があります。

例題4　媒介変数で曲線の長さを求める

例題3の曲線 x=t², y=t³、0≦t≦1 の長さを求めます。面積のときの y dx とは異なり、短い線分の横と縦の変化を両方使います。

x′(t)=2t、y′(t)=3t² を計算します。長さの公式に入れるのは座標そのものではなく、それぞれの変化率です。L=∫[0,1] √{(2t)²+(3t²)²} dt と立式します。
根号の中を整理すると √(4t²+9t⁴)=√{t²(4+9t²)}=t√(4+9t²) です。本来 √(t²)=|t| ですが、この区間では t≧0 なので t と書けます。積分区間の条件が、式の整理にも必要です。
u=4+9t² と置くと du=18t dt で、t=0,1 に対応する u は 4,13 です。よって L=(1/18)∫[4,13] √u du=(1/27)[u√u][4,13]=(13√13-8)/27 になります。置換後は端もuの値にそろえます。

答え：曲線の長さは (13√13-8)/27 です。

始点と終点を結ぶ線分の長さは √2 です。求めた長さは約 1.440 で、√2 の約 1.414 より大きくなっています。曲がった道の方が直線より短いという結果が出たなら、公式の根号や微分を見直す必要があります。このように、正確な値を求めた後に大まかな長さと比べると、計算の誤りに気づきやすくなります。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　符号つきの積分をそのまま道のりにします

誤った書き方は、速度 v(t)=t-1、0≦t≦2 の道のりを ∫[0,2] (t-1) dt=0 とすることです。積分の計算は正しいのですが、求めたのは変位です。図3のように速度は t=1 で負から正に変わり、点は途中で進む向きを変えています。グラフの下側の面積を負として数えると、往復の移動が打ち消されます。

正しい書き方は、道のり=∫[0,1] (1-t) dt+∫[1,2] (t-1) dt=1/2+1/2=1 です。図3では2つの三角形の面積がそれぞれ 1/2 になっています。全体を積分してから絶対値を取っても |0|=0 のままです。必要なのは、符号が違う区間を分け、各区間の移動距離を正として足すことです。速度の単位が m/s、時間の単位が s なら、この答えの単位は m になります。

誤り2　円環の面積を半径の差の2乗にします

誤った書き方は、例題2で A(x)=π(x-x²)² とすることです。x-x² は円環の幅であって、円の半径ではありません。円環の外側の円には穴の部分も含まれているので、外側の円の面積から内側の円の面積を引きます。

正しい書き方は、A(x)=πx²-π(x²)²=π(x²-x⁴) です。具体的に x=1/2 を代入すると、誤った式は π/16、正しい式は 3π/16 になり、図2の円環に合うのは後者です。「差を2乗」と「2乗の差」を区別するため、初めは πR²-πr² と半径の文字で書いてから関数を代入すると整理しやすくなります。

誤り3　区分求積で横幅を見落とします

誤った書き方は、Σ[k=1,…,n] k²/n³ の極限を、k²/n³ の各項が小さくなることだけから0とすることです。nが大きくなると項数も増え、kの最大値も n に変わります。固定したkについての様子だけでは、和全体の極限を決められません。

正しい書き方は、Σ k²/n³=(1/n)Σ (k/n)² と変形し、幅 1/n と高さ (k/n)² を見つけることです。極限は ∫[0,1] x² dx=1/3 です。さらに、Σ k²=n(n+1)(2n+1)/6 を使えば、元の和は (n+1)(2n+1)/(6n²) となり、同じ極限を確認できます。区分求積に直すときは、区間の幅、代表点、関数の3つを別々に書き出してから結びつけましょう。

練習問題

練習1　y軸を境界とする面積

曲線 x=y²、y軸、直線 y=2 で囲まれた部分の面積を求めてください。y軸と曲線の交点を調べ、横に切った線分の右端と左端を決めてから式を立てましょう。

練習2　回転体ではない立体の体積

0≦x≦2 の各位置で、x軸に垂直な断面が一辺 x(2-x) の正方形である立体の体積を求めてください。一辺の長さをそのまま積分せず、まず断面積をxの式に直しましょう。

練習3　和の極限と積分の不等式

数列 aₙ=(1/n)Σ[k=1,…,n] 1/{1+(k/n)²} の n→∞ での極限を I とします。I を定積分で表し、1/2≦I≦1 を示してください。さらに、x=tan θ の置換によって I の値を求めてください。置換後の区間にも注意しましょう。

練習4　道のりと変位

直線上を動く点の速度が v(t)=2t-2、0≦t≦3 で与えられるとき、変位と道のりをそれぞれ求めてください。また、s(0)=0 としたときの位置 s(t) を求め、向きが変わる時刻での位置を使って道のりを確かめてください。

答えと解説

練習1の答えは 8/3 です。x=y² と x=0 の交点は y=0 なので、積分区間は 0≦y≦2 です。右端が y²、左端が0となり、S=∫[0,2] y² dy=[y³/3][0,2]=8/3 です。xについて積分する場合には上端 y=2、下端 y=√x、区間 0≦x≦4 を使い、∫[0,4] (2-√x) dx=8/3 と確認できます。

練習2の答えは 16/15 です。断面積は A(x)={x(2-x)}²=4x²-4x³+x⁴ なので、V=∫[0,2] (4x²-4x³+x⁴) dx=[4x³/3-x⁴+x⁵/5][0,2]=32/3-16+32/5=16/15 です。断面が正方形であるため π は現れません。一辺は区間内で非負であり、両端では0になることも条件に合っています。

練習3では、幅 1/n、代表点 k/n、関数 f(x)=1/(1+x²) と読めるので、I=∫[0,1] 1/(1+x²) dx です。0≦x≦1 なら 1≦1+x²≦2 で、正の数の逆数を取ると 1/2≦1/(1+x²)≦1 になります。区間の長さが1なので、積分して 1/2≦I≦1 を得ます。

値を求めるときは x=tan θ と置きます。0≦θ≦π/4 で dx=(1/cos²θ) dθ、1+tan²θ=1/cos²θ なので、I=∫[0,π/4] 1 dθ=π/4 です。約 0.785 という値は、先に求めた範囲に入っています。不等式は正確な値を求める前の見積もりにも、計算後の点検にも使えます。

練習4の答えは、変位が3、道のりが5、位置が s(t)=t²-2t です。変位は ∫[0,3] (2t-2) dt=[t²-2t][0,3]=3 となります。速度が0になる時刻は t=1 で、その前は負、その後は正です。したがって道のりは ∫[0,1] (2-2t) dt+∫[1,3] (2t-2) dt=1+4=5 です。

位置を使うと、s(0)=0、s(1)=-1、s(3)=3 です。点は0から -1 まで1だけ動き、その後 -1 から3まで4だけ動きます。移動距離の和は5であり、終点の位置から始点の位置を引いた3とは異なります。速度のグラフで計算する方法と、数直線上の位置で考える方法が一致することを確かめてください。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

積分法の応用は、曲線を媒介変数で表す学習や、運動を速度・加速度から調べる学習につながります。曲線の式が変わっても、「どちらへ動くか」「どこで符号が変わるか」「何を足すか」を確認する順序は使えます。微分は小さな変化を調べ、積分はその変化を全体へ積み重ねる働きを担っています。

家庭での確認は、5分の中で2つ試せます。1つ目は、例題1の図に縦の線分と横の線分を1本ずつ描き、それぞれの長さと積分区間を口で説明することです。2つ目は、練習4の位置 0、-1、3 を数直線に置き、変位3と道のり5を矢印で説明することです。どちらも原始関数の計算を繰り返す前に、立式の意味を確かめられます。

個別指導では、積分の計算だけでなく、交点を決める方程式や、関数の符号を読むところまで戻って確かめます。お子さまのノートを見る場合も、答えの値だけでなく、区間を分けた理由が一言添えられているかが、理解をたどる手がかりになります。