【小6算数】対称な図形を図解で総まとめ—線対称と点対称｜武蔵野個別指導塾

折る操作と半回転の違いを、対応する点の図で確かめます。方眼での作図や花だんの例題を通して、線対称と点対称の見分け方を練習できます。

よくあるのは、雨の日の工作机で、紙にかいた平行四辺形を見ながら「右と左が同じ感じなのに、折っても重ならない」と手が止まる場面です。形のつり合いは感じられても、どんな動かし方で重なるのかを言葉にするのは、少し難しいものです。

対称な図形を調べるときは、見た目の印象から一歩進んで、折るのか、回すのかを決めます。さらに、1つの頂点がどの頂点に重なるかを追うと、形全体のきまりが見えてきます。左右が似ているという感覚を、線の向きや点までの長さで確かめられるようになります。

この単元では、線対称と点対称の意味、対応する点の見つけ方、図形のかき方を順に学びます。定規を当てる場所がわかれば、残り半分の形も自分でかけます。紙を折る動きと半回転する動きを、手元でも試しながら読んでみてください。

この単元で身につけること

• 線対称を見分けます。1本の直線を折り目にして折ったとき、両側がぴったり重なるかを調べます。
• 対称の軸と対応する点を見つけます。点と点を結ぶ線が軸と直角に交わること、軸からの距離が等しいことを使います。
• 点対称を見分けます。1つの点のまわりに180°回して、もとの図形に重なるかを調べます。
• 対称の中心から対応する点をかきます。中心を通る直線上で、反対側に同じ長さを取ります。
• 多角形を比べます。対称の軸が何本あるかと、点対称かどうかを別々に確かめます。

前に学んだ合同な図形の「重なる頂点・辺・角」という見方が、1つの図形の中の対応を調べることにつながります。多くの教科書では6年生で学びますが、垂直な線を引くことや長さを正しく測ることも使います。図形の名前だけを覚えず、重ね方を説明できることを目標にしましょう。

基本の考え方

線対称は1本の直線で折って調べます

1本の直線を折り目にして折ったとき、両側の部分がぴったり重なる図形を線対称な図形といいます。この折り目になる直線が対称の軸です。紙を二つ折りにして切り、開いてできる模様は、折り目を軸とする線対称な形にできます。

図1の五角形は、家の屋根のような形です。赤い縦の線で折ると、点Aは点Eに、点Bは点Dに重なります。このように重なる2つの点を、対応する点といいます。屋根の先の点Cは軸の上にあるので、折っても同じ位置にあります。

図1のように、対応する点AとEを結ぶと、その線分は対称の軸と垂直に交わります。交わる点をHとすると、AHとEHの長さは等しくなります。線分AEの真ん中を軸が通る、と考えてもよいです。「直角」と「同じ長さ」の両方が必要です。

ここでいう軸からの距離は、軸へ垂直に引いた線分の長さです。軸の上の好きな場所まで斜めに測るのではありません。また、軸は縦に限りません。図を横向きに置けば軸も横向きになり、斜めに傾ければ軸も斜めになります。紙の向きが変わっても、折って重なるというきまりは同じです。

点対称は1つの点のまわりに半回転します

1つの点を中心として180°回したとき、もとの図形にぴったり重なる図形を点対称な図形といいます。この回転の中心が対称の中心です。180°は1回転の半分なので、半回転と呼ぶこともあります。紙を裏返すのではなく、表を見たまま回します。

点Aに対応する点をD、対称の中心をOとすると、A、O、Dは一直線上に並び、AOとDOの長さが等しくなります。Oは線分ADの真ん中です。Oから見てAが左上にあれば、Dは右下にあります。上下だけでなく、左右も反対になることに気をつけます。

中心を探すには、対応しそうな頂点どうしを2組選び、それぞれ結びます。2本の線分が交わる場所を中心の候補にして、どちらの線分もそこで半分になるか確かめます。最後にほかの頂点や辺も重なるかを調べます。1組だけの点が合っていても、図形全体が点対称だとは決められません。

線対称と点対称は別々に調べます

正方形は、線対称でも点対称でもあります。対称の軸は、向かい合う辺の真ん中を結ぶ2本と、2本の対角線の合計4本です。対角線が交わる点を中心に半回転しても重なります。一方、正三角形には対称の軸が3本ありますが、半回転では頂点がもとの頂点に重ならないため、点対称ではありません。

正五角形は軸が5本で点対称ではなく、正六角形は軸が6本で点対称です。正多角形では頂点の数と軸の数が同じになり、頂点の数が偶数のとき点対称になります。偶数なら、半周先の頂点と組にできるからです。このきまりを、形のそろっていない多角形にそのまま使うことはできません。

例題で解き方を確かめる

例題1　軸からの距離を求めます

図1で、AHが3cmのとき、EHとAEの長さを求めましょう。図に記した長さは、問題で考える実際の長さです。画面上の大きさを定規で測る必要はありません。

1. Aに対応する点を探します。軸で折るとEに重なるので、比べるのはAHとEHです。近くにある別の頂点までの長さは使いません。
2. EHを求めます。対応する点は軸から等しい距離にあるため、EH = AH = 3cmです。図でもHをはさんだ両側が同じ長さになっています。
3. AEを求めます。HはAとEの間にあるので、AE = 3 + 3 = 6cmです。片側の距離と、点から点までの全体の長さを区別します。

答え：EHは3cm、AEは6cmです。

例題2　方眼に点対称な形をかきます

図2の青い折れ線ABCに対して、点Oを対称の中心とする折れ線DEFをかきます。AはOから左に3ます・上に1ます、Bは左に2ます・上に2ます、Cは右に1ます・上に2ますの位置です。AにD、BにE、CにFが対応します。

1. AとOを直線で結び、Oの先まで延ばします。半回転した点はOの反対側にあるため、Oから右に3ます・下に1ますの場所がDです。
2. BとCにも同じ操作をします。EはOから右に2ます・下に2ます、Fは左に1ます・下に2ますです。Cが右側にあることを見落とさず、横の向きも反対にします。
3. D、E、Fをこの順に結びます。もとのA、B、Cの順を保つことで、辺ABには辺DE、辺BCには辺EFが対応します。点だけでなく、辺のつながりも半回転した形になります。

答え：Dは右3ます・下1ます、Eは右2ます・下2ます、Fは左1ます・下2ますに取り、D、E、Fの順に結びます。

図2では、線分ADがOを通っています。BとE、CとFを結んでも同じOを通り、それぞれOで半分になります。かき終えたら、この方法で点を置き間違えていないか確かめられます。

例題3　花だんの札を線対称に置きます

長方形の花だんで、中央を縦に通る直線を対称の軸にして2枚の札を置きます。1枚目は軸から左へ垂直に80cm、花だんの手前の辺から奥へ60cmの位置です。2枚目の位置と、2枚の札の間の距離を求めましょう。札は点として考えます。

1. 軸に垂直な方向を確かめます。軸が縦なので、対応する札は横の同じ線上に置きます。軸の反対側へ移しても、手前の辺からの距離は60cmのままです。
2. 軸からの距離をそろえます。1枚目が左へ80cmなので、2枚目は右へ80cmです。右へ移すだけでなく、距離も等しくすることが重なるための条件です。
3. 札どうしの距離を求めます。軸をはさんだ80cmを二つ合わせ、80 + 80 = 160cmとなります。手前からの60cmは、2枚を結ぶ横の長さには足しません。

答え：2枚目は軸から右へ80cm、手前の辺から奥へ60cmに置き、札の間の距離は160cmです。

方眼がない紙に線対称な図形をかくときも、この札の置き方と同じです。各頂点から軸へ垂直な線を引き、反対側に同じ距離を取ります。軸上の頂点はそのまま残し、対応する点をもとの順に結べば完成です。斜めの軸でも、紙を回して軸を縦にすると作業しやすくなります。

つまずきやすいところと直し方

間違い1　面積が半分なら対称の軸だと考えます

間違った書き方は「長方形の対角線は、面積を半分にするから対称の軸」です。図3左の、正方形ではない長方形を見てください。対角線で分けた三角形は合同ですが、その対角線を折り目にしても両側は重なりません。面積が等しいことだけでは、線対称といえないのです。

正しい書き方は「長方形の対称の軸は、向かい合う辺の真ん中を結ぶ2本」です。図3の赤い破線が軸で、橙の対角線は軸ではありません。正方形の場合は対角線でも折って重なるので、長方形と正方形の条件を分けて考えます。

間違い2　線対称でなければ点対称でもないと考えます

間違った書き方は「平行四辺形は折って重ならないから、点対称ではない」です。線対称の確かめ方を、点対称の判定にも使っています。図3右の平行四辺形は、辺の長さがすべて等しい形でも、角が直角の形でもなく、対称の軸を持ちません。

正しい書き方は「この平行四辺形は線対称ではありませんが、点対称です」です。対角線が交わる点Oのまわりに半回転すると、向かい合う頂点どうしが重なります。折る操作で合わなかったら、次は回す操作を別に試します。

間違い3　中心から同じ距離なら対応すると考えます

間違った書き方は「OA = ODなら、AとDは必ず点対称に対応する」です。同じ距離にある点はOのまわりにたくさんあります。距離をそろえるだけでは、90°回した場所を選んでしまうかもしれません。

正しい書き方は「A、O、Dが一直線上に並び、OをはさんでOA = ODとなる場所にDを取る」です。先にAとOを結ぶ直線を引き、その後で長さを移します。点対称の作図で迷ったら、定規がOを通っているかを最初に見直しましょう。

練習問題

練習1

線対称な図形で、対応する点PとQを結ぶ線分が対称の軸と交わる点をHとします。PQが14cmのとき、PHは何cmですか。また、PQと対称の軸は何度で交わりますか。

練習2

点Oを中心に点対称な点をかきます。点PがOから右へ4ます・下へ2ますにあるとき、対応する点QはOからどの方向へ何ますの位置ですか。

練習3

正三角形、正方形、正六角形について、対称の軸の本数を答えましょう。また、それぞれ点対称かどうかも答えてください。

練習4

点対称な図形の対応する点A、Dと中心Oが一直線上にあり、OはAとDの間にあります。AOが4cmのとき、ODとADは何cmですか。

答えと解説

練習1：PHは7cm、交わる角度は90°です。HはPQの真ん中なので、14 ÷ 2 = 7cmとなります。長さが半分になることと垂直になることを合わせて確認します。

練習2：Oから左へ4ます・上へ2ますです。半回転では、左右と上下の両方が反対になります。横と縦を分けて数えると、斜めの距離を測らずに位置を決められます。

練習3：正三角形は3本で点対称ではなく、正方形は4本で点対称、正六角形は6本で点対称です。軸の本数は折る操作、点対称かどうかは半回転で確かめます。

練習4：ODは4cm、ADは8cmです。AOとODが等しいので、AD = 4 + 4 = 8cmです。中心までの長さを、点と点の間の長さと取り違えないようにします。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

対応する点を順に追う力は、拡大図や縮図でも役立ちます。形の向きや大きさが変わっても、どの頂点がどこに対応するのかを先に確かめると、比べる辺を選びやすくなります。

家では5分ほどで二つの確認ができます。一つ目は、紙を二つ折りにして折り目のそばに点を打ち、反対側へ写すことです。開いたら2点を結び、折り目と直角に交わるか見ます。二つ目は、透明な紙に長方形を写し、中心を押さえて半回転させることです。もとの輪郭と重なる様子を確かめます。

お子さまが迷う場合、個別指導では「垂直な線を引けるか」「線分の真ん中を見つけられるか」まで戻って確かめます。用語を言えるかだけでなく、手を動かして重ねられるかが手がかりになります。

まとめ

対称な図形の問題では、答えの横に短い理由を添えてみましょう。「見た目が同じ」から「折るとAとEが重なる」へと言葉が変われば、自分が確かめたことを相手にも伝えられます。うまくかけない点が一つあっても、軸や中心に戻って調べれば、直す場所を見つけられます。

対称の判定を決めるのは、きれいに見えるという印象ではなく、決められた動かし方で図形全体が重なるという事実です。