数検2級 ベクトルの成分と内積—長さと角度を成分から求めて図と照合する｜武蔵野個別指導塾

成分から内積と長さを計算し、零ベクトルの有無を調べて垂直条件を判断する手順を確かめられます。

よくあるのは、受検者が2本の矢印の内積を計算し、答えも矢印を表す2つ組として書く場面です。成分どうしの積は途中に2つ現れますが、それらを足した結果は1つの数です。計算の形だけでなく、得られた数が長さや角度とどう結びつくかまで戻ると、答えの種類を取り違えにくくなります。

成分から何を読み取るか

平面上のベクトルは、向きと大きさを持つ矢印として考えます。始点をそろえて描き直しても、向きと大きさが同じなら同じベクトルです。横と縦の移動量を順に並べたものが成分で、負の成分はそれぞれ左向き、下向きの移動を表します。

成分が与えられたときの問いには、和や差を求める型、長さと内積から角度を求める型、未知数を含む成分から垂直になる条件を求める型があります。どの型でも最初に、答えが成分の組なのか、数なのか、角度なのかを区別します。例えば差は2本の矢印の成分をそれぞれ引いたベクトルですが、内積は対応する成分の積を足した数です。

ここでは依頼された学習範囲として平面ベクトルを扱い、位置ベクトルによる内分や直線の方程式には踏み込みません。図の見た目は符号や向きの点検に役立ちますが、垂直や角度の確定には成分からの計算を使います。

横と縦の成分、長さと内積

ベクトル a = (x, y) は、横に x、縦に y 進む矢印です。a = (0, 0) は長さが0の零ベクトルで、一定の向きを持ちません。a = (x, y)、b = (u, v) のとき、和と差は対応する場所どうしを計算して a + b = (x + u, y + v)、a − b = (x − u, y − v) です。実数 k 倍は ka = (kx, ky) となります。負の数を掛ければ向きは反対になり、0を掛ければ零ベクトルです。

図1のように、横と縦の移動を直角三角形の辺と見れば、三平方の定理から長さは |a| = √(x² + y²) です。成分が負でも、長さは負になりません。例えば横に3、縦に-4なら、長さは √(3² + (-4)²) = 5 です。符号は向きを示し、長さの計算では2乗してから足します。

図1では横3、縦-4の移動を示しています。始点を変えてもこの移動量は変わらず、長さ5も同じです。負号が付いた縦の成分を、下向きの矢印と照合してください。

内積は a・b = xu + yv という数です。a と b がともに零ベクトルでないとき、始点をそろえた2本のなす角を θ とすると、a・b = |a||b|cos θ でもあります。なす角は0°以上180°以下です。内積が正のときは 0° ≤ θ < 90°、負のときは 90° < θ ≤ 180°、0のときは θ = 90°です。同方向の0°と反対方向の180°を除けば、それぞれ鋭角と鈍角になります。内積が0であっても、一方が零ベクトルの場合は向きが決まらないので、なす角や垂直を結論できません。

内積は成分を横どうし、縦どうしで掛け、その2つを加えます。結果に括弧を付けて成分の組にせず、1つの数として残すことが大切です。角度を求めるときは長さの積で割る前に、両方の長さが0でないことも確かめます。

基本例題：成分から角度まで進む

例題。a = (3, 1)、b = (1, 3) とします。a + b、a − b を成分で、両ベクトルの長さを根号を用いて、内積を数で求めてください。また、なす角 θ の余弦を分数で求め、鋭角か鈍角か直角かを答えてください。

まず和は横どうし、縦どうしを足します。

a + b = (3 + 1, 1 + 3)

したがって a + b = (4, 4) です。次に差では、a から b を引く順番を両方の成分に守ります。

a − b = (3 − 1, 1 − 3)

よって a − b = (2, -2) です。和も差も、答えは移動量を表す2つ組です。差の縦成分は負なので、右下に向かいます。

長さは成分をそれぞれ2乗し、その和の平方根を取ります。

|a| = √(3² + 1²) = √10

|b| = √(1² + 3²) = √10

どちらも0ではありません。次に内積を計算します。

a・b = 3 × 1 + 1 × 3

= 3 + 3

= 6

ここでは6が答えで、(3, 3) ではありません。2つの積は途中の数であり、内積はその和です。図2のように、2本を同じ始点から描くと、どちらも右上に向き、a は横方向、b は縦方向へより大きく進みます。

図2の矢印の先はそれぞれ (3, 1)、(1, 3) です。内積と長さを角度の式に入れると、

6 = √10 × √10 × cos θ

6 = 10 cos θ

cos θ = 3/5

となります。余弦が正なので θ は鋭角です。図で2本の間が直角より小さく見えることとも一致します。ただし、図の角度を測って3/5を得たのではなく、成分から計算した値を図で点検しています。

元の条件にも戻ります。和 (4, 4) は、a の移動の後に b の移動をつなげた横3 + 1、縦1 + 3に一致します。差 (2, -2) に b を足すと (3, 1) に戻ります。2本の長さは成分を入れ替えた対称な形なので等しく、内積6も各成分の積の和として確かめられます。

条件付きの成分：垂直になる値を選ぶ

例題。a = (2, -1)、b = (t, 4) とします。a と b が垂直になる実数 t を求め、答えを整数で示してください。さらに、そのとき両方が零ベクトルでないことを確認します。

まず b の縦成分は常に4なので、どの実数 t でも b は零ベクトルではありません。a も横成分が2なので零ベクトルではありません。したがって、垂直という条件を a・b = 0 に置き換えられます。

2t + (-1) × 4 = 0

2t − 4 = 0

2t = 4

t = 2

よって求める値は t = 2 です。元の b は (2, 4) となり、内積は 2 × 2 + (-1) × 4 = 0 です。実際に a は右に2、下に1、b は右に2、上に4進みます。どちらにも向きがあり、内積0を直角の条件に戻せます。

方法の分かれ目は、未知数を決める前に零ベクトルが生じうるかです。この問題では固定された成分によって生じないと先に言えました。別の問題で内積0を満たす候補の中に零ベクトルが混じるなら、その候補を角度の条件から除きます。内積の式自体は零ベクトルにも計算できますが、長さの積で割って角度を求める式には使えないためです。

また、成分が文字を含んでいても、内積の計算は同じ位置の成分どうしを掛けます。先に長さを根号で出して余弦を使うことも考えられますが、垂直かどうかだけなら内積を0と置く方が短く、途中で根号を割る必要もありません。求めた t を元の成分に戻し、零ベクトルでないことと内積0の両方を確認して終えます。

積の組と内積を取り違えたら

a = (3, 1)、b = (1, 3) の内積を (3, 3) と答えたとします。横の成分の積と縦の成分の積はそれぞれ3なので、途中の計算自体は合っています。しかし、図3のようにそこで止めると、2つの数を並べたままで内積の定義を満たしません。

図3では2つの積を足して6に直しています。内積は数であるため、矢印の向きや2つの成分を持つ答えにはなりません。反対に、a + b を6とするのも誤りです。和は成分ごとに加えた (4, 4) であり、計算の目的が異なります。

もう1つの間違いは、内積0という計算結果から、零ベクトルを含む場合にも直角と書くことです。例えば (0, 0) と (1, 2) の内積は0ですが、前者には向きがありません。数としての内積は求められても、2本の向きの間の角度は定まりません。直すときは「内積が0か」と「2本とも零ベクトルでないか」を別々に調べます。

長さを出す際には、負の成分を2乗する括弧にも注意します。(-4)² は16ですが、括弧を外した -4² は通常、2乗の後に負号を付けた-16です。長さの中身が負になったら、成分の符号を含めて2乗したかを見直します。

角度の式を使う前の確認

角度を求める計算では、内積の符号と余弦の符号が同じになります。長さの積は、2本とも零ベクトルでなければ正だからです。内積が負なのに鋭角と答えた場合、余弦を出す行で符号を落としていないかを見ます。内積が正でも、成分の一部が負になることはあります。各積の符号を計算して合計し、その合計で角度を判断します。

2本が同じ向きなら、なす角は0°で余弦は1です。反対向きなら180°で余弦は-1です。直角だけでなく、これらの端の角も含めて0°以上180°以下の範囲から答えます。長さで割った結果が1より大きい、または-1より小さいときは、成分の積や長さの計算を見直します。実際の余弦はその範囲を超えないからです。

図での確かめにも限界があります。紙面の矢印が直角に見えても、成分の積の和が0でなければ正確には垂直ではありません。逆に、計算で0になっても図の横と縦の縮尺が違うと、直角に見えないことがあります。図は同じ縮尺で描き、計算と食い違うときは始点と終点の位置から点検します。成分を1つずつ軸に沿ってたどると、符号の取り違えにも気づけます。

練習問題

答えを見る前に、式と図の両方で確かめてみてください。成分の答えは2つ組、長さは根号、角度は度、未知数は整数または分数で表します。

1. p = (-2, 5)、q = (4, -1) とします。p + q、2p − q を成分で、p・q を数で求めてください。
2. r = (1, 2)、s = (2, -1) とします。両方の長さを根号で求め、なす角を度で答えてください。
3. u = (3, 2)、v = (k, -6) とします。u と v が垂直になる実数 k を求め、整数で答えてください。
4. w = (h, 0)、z = (0, 5) とします。内積 w・z を実数 h について求め、w と z が垂直になる h の範囲を答えてください。

練習問題の答えと解き方

1. p + q = (-2 + 4, 5 − 1) = (2, 4) です。また、2p = (-4, 10) なので、2p − q = (-4 − 4, 10 − (-1)) = (-8, 11) です。内積は p・q = (-2) × 4 + 5 × (-1) = -8 − 5 = -13 です。和から q を引くと p に戻り、2p − q に q を足すと (-4, 10) に戻るので、元の成分との対応も合います。内積は負の1つの数です。

2. |r| = √(1² + 2²) = √5、|s| = √(2² + (-1)²) = √5 です。r・s = 1 × 2 + 2 × (-1) = 0 です。どちらの長さも0ではないので cos θ = 0、なす角は90°です。r は右上、s は右下に向かい、横の積2と縦の積-2が打ち消し合います。元の2本に戻しても、向きが定まることと直角の条件の両方を満たします。

3. u・v = 3k + 2 × (-6) = 3k − 12 です。u は零ベクトルではなく、v も縦成分が-6なので零ベクトルになりません。そこで 3k − 12 = 0 を解いて k = 4 です。v = (4, -6) を元の条件に戻すと、3 × 4 + 2 × (-6) = 0 です。2本とも向きを持ち、求めた整数で垂直になります。

4. w・z = h × 0 + 0 × 5 = 0 で、どの実数 h でも内積は0です。ただし h = 0 なら w は零ベクトルで、垂直とは言えません。h が0でなければ w は横向き、z は上向きの零でないベクトルです。したがって垂直になる範囲は h < 0 または h > 0 です。例えば負の h でも横向きが反対になるだけで、縦向きの z とは直角です。0を除く判断が、内積の値を求める段階と異なります。

覚えておくこと

• 和・差と実数倍は、横と縦の成分をそれぞれ計算します。
• 長さは各成分の2乗の和の平方根です。
• 内積は対応する成分の積の和で、答えは数です。
• 零でない2本の内積を長さの積で割ると、なす角の余弦です。
• 垂直の判定では内積0と、両方が零ベクトルでないことを確かめます。

つまずきの場所を見つけるには

計算が合わないときは、まず成分の符号と対応する位置を指で追います。和は合うのに内積が組のままなら、積を2つ書いた行から足し算に進めるかを確かめます。長さが合わない場合は、負の成分を括弧ごと2乗した行に戻ります。

個別指導では、答えだけでなく「この式の結果は数か、矢印か」を口に出してもらい、判断が変わる位置を確認できます。垂直の問題では内積0を求めた後、候補を元の成分に代入し、零ベクトルにならないかを別に問います。保護者がお子さまの答案を見るときも、丸暗記した式の数より、答えを元の矢印に戻せるかが手がかりです。成分の計算と図の向きが結びつけば、内積の数が角度を語ります。