数検2級 位置ベクトルと内分点—係数の和と比の向きから点の位置を求める｜武蔵野個別指導塾

内分比を逆に置いた答えを図に戻し、外分や重心、交点にも通じる位置ベクトルを学びます。

よくあるのは、受検者が内分比の係数を反対にしてしまう場面です。線分を 1:2 に分ける点は、どちらの端に近いでしょうか。式に数字を並べる前に図に点を打つと、答えの位置が見えてきます。位置ベクトルは点までの移動を表す道具です。比の向きと係数の意味を結びつければ、内分点から三角形の重心や直線の交点まで、同じ考え方でたどれます。

点の位置を式にする問題

平面に原点 O を決め、点 A、B の位置ベクトルをそれぞれ a、b とします。たとえば線分 AB を AP:PB = 1:2 に内分する点 P を求める型では、P が A から B へ全体の 1/3 だけ進んだ場所だと考えます。比を見ていきなり係数を決めるのではなく、移動の式を経由すると向きが確かになります。

別の型として、三角形の頂点の位置ベクトルから重心を求める問題があります。また、2本の直線の交点を、それぞれの直線上の点として表し、係数を比べる問題もあります。外分点では線分の延長上に点があるため、内分と同じ図を使わないことが大切です。ここでは平面を扱い、図と式を往復する練習をします。ベクトルは依頼された学習範囲として取り上げています。

原点からの移動と係数の和

位置ベクトル a は、原点 O から点 A への有向線分を表します。点 A から点 B へのベクトルは b − a です。始点 A から原点に戻る移動 -a と、原点から B へ進む移動 b をつないだものと考えられます。ベクトルの引き算は、点の並びを確認してから書きます。

図1のように、P が A から B へ全体の t 倍だけ進む点なら、位置ベクトル p は次の形です。

p = a + t(b − a) = (1 − t)a + tb

図1では P は A と B の間にあります。このとき 0 < t < 1 です。t = 0 は A、t = 1 は B を表し、t がその範囲の外なら直線 AB の延長上に点が移ります。A と B が異なる場合、直線上の点はこの形で表せます。線分上という条件なら 0 ≦ t ≦ 1 まで絞ります。

2つの係数 (1 − t) と t の和は 1 です。和が 1 の形は原点の取り方を変えても点の関係を保ちます。ただし、和が 1 ということだけで内分点とは限りません。一方の係数が負なら、点は端点の外側です。係数の符号と端点のどちらに近いかまで見ます。

AP:PB = m:n と内分する場合、m、n は正で、AP は AB の m/(m + n) です。したがって t = m/(m + n) を代入し、p = (na + mb)/(m + n) となります。A の係数には反対側の長さに対応する n が付きます。覚え方を忘れたら、P が A に近い場合には a の係数が大きくなる、と点の場所から立て直せます。

外分は A、B が異なり、m、n が正で m と n が異なる場合を考えます。AP:PB = m:n の外分点は p = (mb − na)/(m − n) です。m = n では分母が 0 となり、この式は使えません。異なる A、B から等距離の点は直線 AB 上では中点であり、外分点ではないからです。内分と外分では点の位置を先に確かめます。

基本例題：内分点を移動から求める

原点 O をもつ平面で、A の位置ベクトルを a = (1, 2)、B の位置ベクトルを b = (7, 5) とします。線分 AB を AP:PB = 1:2 に内分する点 P の位置ベクトルを成分で求めてください。成分は整数または分数で表します。

まず、比の全体は 1 + 2 = 3 です。P は A から B に向かって全体の 1/3 の位置にあります。図2のように、A から P までが短く、P は A に近い点です。

図2の A から B への移動を成分ごとに求めます。

b − a = (7 − 1, 5 − 2) = (6, 3)

その 1/3 は (2, 1) です。A の位置にこの移動を足します。

p = (1, 2) + (2, 1)

p = (3, 3)

式を係数の形に直すと、p = a + (1/3)(b − a) = (2a + b)/3 です。A の係数は 2/3、B の係数は 1/3 で、和は 1 です。P が A に近いという図の判断と、A の係数が大きいという式の判断が一致します。

答えを元の条件へ戻します。A から P への移動は (2, 1)、P から B への移動は (4, 2) です。後者は前者の 2 倍で、同じ向きですから、P は線分上にあり、AP:PB = 1:2 です。成分を求めた後に各移動を引き算で作ると、計算だけでなく比の向きも確認できます。

仮に A と B の座標を入れ替えて計算した場合、同じ数字を使っていても AP と PB の役割が変わります。先に A を出発点として書き、次に B − A の向きを見る習慣をつけると、式に代入する段階で迷いにくくなります。

発展例題：重心と交点を2通りに表す

三角形 OAB で、O を原点とし、A、B の位置ベクトルをそれぞれ a、b とします。O、A、B は一直線上にないとします。辺 AB の中点を M、辺 OB を 1:2 に内分する点を N とします。ただし ON:NB = 1:2 です。直線 OM と直線 AN の交点を G として、G の位置ベクトルを a、b で表し、G が三角形 OAB の重心であるかどうかを判定してください。

方法の分かれ目は、最初から重心と決めるか、2本の直線の交点を求めるかです。ここでは交点を定義として使い、後から重心と照合します。M の位置ベクトルは (a + b)/2、N の位置ベクトルは b/3 です。G は OM 上なので、ある実数 s を使って g = s(a + b)/2 と表せます。

一方、G は AN 上にもあるため、ある実数 t を使って g = a + t(b/3 − a) = (1 − t)a + (t/3)b と書けます。O、A、B が一直線上にないので、a と b は平行ではなく、それぞれの係数を比較できます。

s/2 = 1 − t、s/2 = t/3

2つ目から t = 3s/2 です。これを1つ目に入れると s/2 = 1 − 3s/2、よって 2s = 1、s = 1/2 です。したがって g = (a + b)/4 となります。

ここで、三角形 OAB の重心の位置ベクトルは (a + b)/3 です。得られた G は重心と一致しません。実は N は OB の中点ではなく 1:2 の内分点なので、AN は中線ではありません。「G は重心である」という主張は誤りであると判定できます。条件を確かめると、G は OM の中点で、AN 上でも t = 3/4 です。実際に a + (3/4)(b/3 − a) = (a + b)/4 となり、両直線の条件に戻ります。

条件を OB の中点に変えた場合は N の位置ベクトルが b/2 となり、交点は (a + b)/3 です。その点は OM を O 側から 2:1 に分け、2本の中線の交点として重心になります。条件が変わると結論も変わるので、問題文の比を中点と読み替えないことが肝心です。

誤答を点の位置から直す

基本例題で、AP:PB = 1:2 を見て p = (a + 2b)/3 とする誤答を考えます。係数を比の順番どおりに並べた式ですが、A からの移動に直すと a + (2/3)(b − a) です。つまり A から全体の 2/3 だけ進む点を表します。図3のように、その点は B に近く、指定された点とは反対側です。

図3で誤った点を Q とすると、AQ:QB = 2:1 です。基本例題の座標に代入すると Q = (5, 4) で、A からの移動は (4, 2)、B までの移動は (2, 1) です。与えられた比に戻すと誤りが見つかります。正しい P = (3, 3) は A から全体の 1/3 の位置です。

同じ検査は外分でも役立ちます。内分の係数をそのまま使うと、係数はどちらも正になり、点は線分の内側に置かれます。外分を求めるなら、端点の外側か、2つの距離の比が指定に合うかを確認します。分母が 0 のまま計算を続けるのも避けます。式が使える条件を確かめ、使えない場合には図の条件そのものに戻ります。

練習問題

次の問題では、O を原点とし、位置ベクトルを成分で表す場合は整数または分数で答えてください。各問題の A と B は異なる点です。

1. A = (2, -1)、B = (8, 8) とします。AP:PB = 2:1 に内分する P の位置ベクトルを求めてください。
2. A = (1, 1)、B = (4, 1) とします。AP:PB = 2:1 に外分する P の位置ベクトルを求めてください。
3. 三角形 ABC の頂点を A = (0, 3)、B = (6, 0)、C = (3, 6) とします。重心 G の位置ベクトルを求めてください。
4. O、A、B は一直線上になく、A、B の位置ベクトルを a、b とします。AB 上の点 P と、OB 上の点 Q は AP:PB = 3:1、OQ:QB = 1:2 を満たします。直線 OP と直線 AQ の交点 X の位置ベクトルを a、b で表してください。

解答と照合

1. A から B への移動は (6, 9) です。P はその 2/3 だけ進むので、p = (2, -1) + (4, 6) = (6, 5) です。A から P は (4, 6)、P から B は (2, 3) で、同方向かつ長さの比は 2:1 です。求めた点は端点の間にあります。

2. 外分点の式に代入すると、p = {2(4, 1) − (1, 1)}/(2 − 1) = (7, 1) です。A、B、P はこの順に並び、AP の長さは 6、PB の長さは 3 です。したがって指定の外分比 2:1 に戻ります。内分の式を使って線分上の点を答えていないか、図で確かめます。

3. 各頂点の成分を平均して、g = ((0 + 6 + 3)/3, (3 + 0 + 6)/3) = (3, 3) です。BC の中点は (9/2, 3) なので、A からその中点に向かうと G は途中の 2/3 の位置にあります。同様に AC の中点は (3/2, 9/2) で、B からその中点へ 2/3 進んでも (3, 3) です。2本の中線の交点として条件に戻せます。

4. P の位置ベクトルは (a + 3b)/4、Q は b/3 です。X は OP 上なので x = s(a + 3b)/4、AQ 上なので x = (1 − t)a + (t/3)b と置きます。係数を比べると s/4 = 1 − t、3s/4 = t/3 です。後者から t = 9s/4、前者に代入して s = 2/5 となります。よって x = (a + 3b)/10 です。

確認すると s = 2/5 で OP 上にあり、t = 9/10 で AQ 上にあります。実際に (1 − 9/10)a + (9/10)(b/3) = (a + 3b)/10 です。どちらの線分にも含まれることまで確かめられます。係数比較は a と b が平行でない条件を使っています。

外分点の式を導くときの確認

外分の公式は、内分の式の符号だけを覚えると混乱しやすいので、直線上の移動から導けます。A、B が異なり、P が B の先にある場合を考えます。p = a + t(b − a) と置くと t > 1 です。AP の長さは AB の t 倍、PB の長さは AB の t − 1 倍です。AP:PB = m:n なら t/(t − 1) = m/n ですから、nt = m(t − 1)、すなわち t = m/(m − n) となります。この場合は m > n です。

これを位置の式に戻すと p = a + {m/(m − n)}(b − a) = (mb − na)/(m − n) です。P が A の手前にある場合も、移動の係数 t は負になり、距離を正の量として比べれば同じ式に至ります。この場合は m < n です。分母と分子の両方の符号を含めて計算すれば、どちら側の延長上かを式から読めます。

比が 1:1 のときは、外分点の公式の分母が 0 です。これは計算の途中で約分して処理できる例外ではありません。直線上で A と B から等距離の点は中点なので、端点の外側には条件に合う点がありません。問題が内分か外分かを明記していないときは、求める点の条件を見直し、線分上と延長上のどちらを指すかを区別します。

交点でも同様に、文字の値を出して終わらず、直線か線分かを確認します。直線を表す文字は任意の実数ですが、線分上を表す文字は 0 以上 1 以下です。範囲の外の値が出たときは、直線の交点としては正しくても、線分どうしの交点とは限りません。両方の式に代入し、求められた位置が問題の条件に含まれるかを最後に判断します。

覚えておくこと

• A から B への移動は b − a、点の位置は出発点に移動を足して表します。
• AP:PB = m:n の内分点は (na + mb)/(m + n) です。
• 係数の和が 1 でも、負の係数があれば線分の外側です。
• 重心は3頂点の位置ベクトルの平均、交点は2本の直線上の式を連立します。
• 外分では分母が 0 にならない条件と、求めた点の位置を確かめます。

つまずきの場所を見つける

式は合っていても図に点を置けない場合は、AP:PB の順番を声に出して読み、A からの移動が AB の何倍かに戻ります。逆に図は正しく描けるのに式が逆になる場合は、p = a + t(b − a) を展開し、a と b の係数を点の近さと照合します。お子さまが答えを説明するとき、係数の暗記だけでなく、点がどの端に近いかを聞くと判断の過程が見えます。

個別指導で交点を扱うときは、2つの文字を置いた後、それぞれがどの直線上の位置を示すかを確かめます。係数比較で止まったら、a と b が平行でない条件を確認し、2本の式を並べ直します。外分で分母が 0 になったときは計算を押し進めず、条件に合う点が存在するか図で調べます。式の結果を元の比へ戻す一手が、点の位置を確かなものにします。