数検2級 円と直線—共有点の個数と接する条件を式と距離で確かめる｜武蔵野個別指導塾

判別式と中心からの距離を使い、共有点の個数や縦の接線までたどる題材は円と直線です。

よくあるのは、受検者が円に接する直線の条件を立てるとき、中心から直線までの距離を直径と等しくしてしまう場面です。接点まで中心から引いた線分は半径です。図にその線分を書き、式から読んだ半径と照らすと、何を等しくするのかが見えてきます。円と直線の共有点を、座標を求める計算と距離の比較の両方から考えます。

共有点を数える問題の形

円と直線については、交わる点の座標を求める形、文字を含む直線が円に接する条件を求める形、円周上の指定点における接線を求める形が考えられます。前者では連立方程式の実数解が共有点を表します。後の2つでは、接点が1個という条件を式にすることが中心です。

直線が円を横切れば共有点は2個、接すれば1個、離れていれば0個です。図の見た目だけで決めず、式で個数を確定します。座標まで必要なら連立が便利です。個数や接するための定数が必要なら、中心と直線の距離を使うと短くなることがあります。円は半径が正のものとして扱い、直線と円との位置関係に焦点を当てます。

半径と垂線が表すもの

中心を C(a, b)、半径を r とする円の方程式は (x − a)² + (y − b)² = r² です。円の上の点は中心からの距離が r である点です。右辺は半径の2乗なので、数値を読むときは正の平方根を取ります。例えば右辺が 25 なら半径は 5 であり、直径は 10 です。

中心から直線に下ろした垂線の足を H とします。図1のように CH の長さ d と半径 r を比較すると位置関係が決まります。d < r なら直線上で H の両側に円周の点があり、共有点は2個です。d = r なら H が唯一の共有点で接点です。d > r なら直線上のどの点も中心から半径より遠く、共有点はありません。

図1では円の中心から直線までの最短距離を線分で示しています。接するとき、その垂線は接点を通ります。したがって接線は接点を通る半径に垂直です。直線 Ax + By + C = 0 と点 (a, b) の距離は、A と B が同時に0でないとき、|Aa + Bb + C| / √(A² + B²) です。絶対値があるのは距離が負にならないためです。

連立で考えるときは、例えば y = mx + n を円に代入して x の二次方程式を作ります。判別式 D が正、0、負の順に、実数解は2個、1個、0個です。各 x に対して直線上の y は1つに決まるので、実数解の個数が共有点の個数に一致します。縦の直線 x = k では y を未知数として円に代入すれば、同じように調べられます。

判別式と距離のつながり

直線 y = mx + n を円 (x − a)² + (y − b)² = r² に代入すると、x の2次の係数は 1 + m² です。これは常に正なので、必ず二次方程式になります。その実数解の個数を判別式で調べる手順なら、接点の座標も重解から求められます。

一方、直線 mx − y + n = 0 と中心の距離を使えば、接する条件は |ma − b + n| / √(m² + 1) = r です。2乗して分母を払ってよいのは、両辺が0以上で、分母が正だからです。距離の比較と判別式の符号は、同じ共有点の個数を別の見方で判定しています。計算が複雑なときには、必要なのが個数か座標かで方法を選びます。

基本例題：共有点を連立して求める

円 x² + y² = 25 と直線 y = x + 1 の共有点を、座標を整数または分数で表して求めます。

図2のように、まず直線の式を円の式に代入します。直線上では y と x + 1 が等しいので、円の y を置き換えられます。

x² + (x + 1)² = 25

展開して左辺に整理すると、

2x² + 2x − 24 = 0

両辺を 2 で割り、因数分解します。

x² + x − 12 = 0

(x + 4)(x − 3) = 0

したがって x = -4 または x = 3 です。それぞれ直線の式に戻すと、x = -4 のとき y = -3、x = 3 のとき y = 4 です。共有点は (-4, -3)、(3, 4) です。

図2の2点は直線上にあり、中心からの距離も 5 です。実際、(-4)² + (-3)² = 25、3² + 4² = 25 で円の条件に戻ります。また -3 = -4 + 1、4 = 3 + 1 なので、どちらも直線の条件を満たします。2つの x の値それぞれに y が1つずつ対応するため、他に共有点はありません。

個数だけなら別の確認もできます。直線を x − y + 1 = 0 とすると、原点からの距離は 1 / √2 で、半径 5 より小さくなります。よって2点で交わるという結論が一致します。距離による確認は座標を直接与えないため、座標を答える問題では連立の最後まで進めます。

少し難しい例題：外部の点を通る接線

円 x² + y² = 4 に接し、点 P(3, 0) を通る直線を、根号を含む方程式で求めます。接点が指定されていないので、まず P を通る直線を動かし、中心からの距離が半径 2 となる条件を使います。

傾きがある直線は y = m(x − 3) と表せます。標準形は mx − y − 3m = 0 です。中心 (0, 0) からの距離は |3m| / √(m² + 1) ですから、接する条件は

|3m| / √(m² + 1) = 2

です。両辺は0以上なので2乗しても同値です。分母を払い、整理します。

9m² = 4(m² + 1)

5m² = 4

m = ±2 / √5

よって直線は √5y = 2(x − 3)、√5y = -2(x − 3) です。2つの式はそれぞれ P を通り、中心からの距離が 2 なので確かに円に接します。

ここで傾きの式で表せない縦の直線 x = 3 も調べます。中心からの距離は 3 で半径より大きいため、共有点はなく接線ではありません。傾きによる方法では縦の直線を初めから除いているので、候補に入るかどうかを別に確認します。なお P が円周上なら接線は1本、円の内部なら接線はありません。外部の点だから2本になるという図形の見通しも、得られた本数の点検になります。

接点の座標を確かめる

外部の点の例で、傾きが 2 / √5 の接線の接点を求めてみます。半径は接線に垂直なので、原点と接点を結ぶ直線の傾きは -√5 / 2 です。これと接線を連立すると接点は (4/3, -2√5/3) となります。座標の2乗の和は 16/9 + 20/9 = 4 で円周上です。さらに接線の式に戻すと、左辺も右辺も -2√5/3 となります。

もう一方の接点は (4/3, 2√5/3) です。こちらも2乗の和は 4 で、もう一方の直線の式を満たします。2つの接点は x 軸について対称です。接線の式を得て終わるのではなく、接点が本当に円周上にあり、半径と直線が垂直かを調べれば、傾きの符号違いを見つけられます。

誤答を直す：直径を使ってしまったら

円 x² + y² = 9 に直線 y = k が接するとき、誤って「直径が 6 だから |k| = 6」とすると、k = ±6 が出ます。しかし中心から接線までの距離は接点までの半径であり、直径ではありません。中心は原点、半径は 3 です。正しくは |k| = 3 なので k = ±3 です。

図3のように中心から直線へ垂直な線分を引いて、半径と比べます。誤答の k = 6 を元の円に代入すると x² + 36 = 9、つまり x² = -27 です。実数の x は存在せず、直線は円に届きません。k = -6 も同じです。正しい k = ±3 なら x² = 0 となり、それぞれ (0, 3)、(0, -3) で接します。

図3の距離 6 は直径と等しくても、接線までの距離としては長すぎます。右辺の 9 をそのまま半径とする誤りにも注意します。円の式から中心と半径を書き、次に直線までの距離を書けば、比較する2つの長さが明確になります。

判別式の符号を読み違えない

連立で得た二次方程式の判別式が負なら、実数の共有点はありません。式が作れたからといって、その式の解を必ず実数として書けるわけではありません。判別式が0のときは重解が1つであり、2つの異なる共有点を意味しません。重解を直線の式へ戻して、接点を1組の座標として書きます。

また、直線の係数を文字で置く問題では、2乗した式から出た値が元の距離の式を満たすか確認します。距離の式の両辺が負でないと確認してから2乗すれば、余分な解を避ける根拠も書けます。分母に文字がある式を割るときは、その値が0にならないことも先に調べます。

練習問題

次の問題は座標を整数または分数で、定数を整数または根号を使って表してください。

1. 円 x² + y² = 13 と直線 y = x + 1 の共有点を求めてください。
2. 円 (x − 1)² + (y + 2)² = 16 と直線 x = t の共有点の個数を、実数 t の範囲ごとに求めてください。
3. 円 x² + y² = 10 の点 (1, 3) における接線の方程式を求めてください。
4. 円 x² + y² = 5 と直線 y = 2x + c が接するとき、実数 c を求めてください。

解答と確かめ

1. 代入すると x² + (x + 1)² = 13、整理して x² + x − 6 = 0 です。(x + 3)(x − 2) = 0 より x = -3, 2 となり、共有点は (-3, -2)、(2, 3) です。いずれも座標の2乗の和は 13、y は x より 1 大きいので、円と直線の両方の条件に戻ります。

2. 中心は (1, -2)、半径は 4 です。縦の直線 x = t と中心の距離は |t − 1| です。これが 4 未満なら2個、等しければ1個、大きければ0個です。したがって -3 < t < 5 で2個、t = -3 または 5 で1個、t < -3 または t > 5 で0個です。代入した式は (y + 2)² = 16 − (t − 1)² となり、右辺が正、0、負のときの実数 y の個数もそれぞれ2、1、0です。端では接点の y 座標が -2 となり、中心からの距離も 4 に戻ります。

3. (1, 3) は 1² + 3² = 10 を満たして円周上にあります。原点とこの点を結ぶ半径の傾きは 3 なので、垂直な接線の傾きは -1/3 です。点を通る式 y − 3 = -(x − 1)/3 を整理すると x + 3y = 10 です。点を代入すると左辺は 10 です。原点から直線までの距離も 10 / √10 = √10 で、円の半径に一致します。

4. 直線を 2x − y + c = 0 とします。原点からの距離は |c| / √5、円の半径は √5 です。接する条件 |c| / √5 = √5 から |c| = 5、答えは c = ±5 です。例えば c = 5 のとき代入すると x² + (2x + 5)² = 5、整理して 5(x + 2)² = 0 です。接点は (-2, 1) で、円と直線の両方を満たします。c = -5 のときも同様に接点は (2, -1) で、両方の式を満たします。距離の式の絶対値を外すときに、負の値を落とさないようにします。

時間が足りないときの見直し

計算の途中で手が止まったら、まず円の中心、半径、直線の式の3つを別々に書き出します。次に求めるものが個数なのか、座標なのか、直線の式なのかを問題文で確認します。個数だけなら距離の比較へ進み、座標が必要なら代入による連立を選びます。途中の平方完成に誤りが疑われるときは展開して元の式に戻せます。

答えが得られなかった場合も、判別式が負という結果をすぐに計算失敗と決める必要はありません。距離が半径より大きいことを別に確かめれば、共有点がないという結論を支えられます。反対に、接すると指定された問題で解が出ないときは、半径とその2乗、距離の絶対値、直線を標準形に直したときの符号を順に見直します。

覚えておくこと

• 中心から直線までの距離と半径を比べ、共有点を数えます。
• 接するときの距離は半径に等しく、接点で半径と接線は垂直です。
• 連立後の二次方程式では、判別式の符号で実数解の個数を調べます。
• 傾きを使ったときは、縦の直線を別に調べます。
• 求めた点や直線を、円と直線の元の条件に戻します。

判断が止まる場所を見つける

個別指導では、まず円の式から中心と半径を口にしてもらい、右辺を半径と誤読していないか確かめます。次に中心から直線への垂線を図に書き、その長さが半径より小さいときに共有点がなぜ2個になるかを説明します。接する条件で止まった場合は、接点を通る半径と直線の直角に戻ります。

連立の計算が合っていても点の座標を取り違える場合は、x の各値に対応する y を1組ずつ直線の式に代入します。お子さまが傾きの文字を使う場合は、縦の直線が表現から抜ける理由も確認します。図と式を往復すると、共有点の個数と接線の条件が同じ距離の比較から見えてきます。