数検2級 円の方程式—平方完成で中心と半径を読み取って図に戻す｜武蔵野個別指導塾

平方完成後の右辺を読み、中心・半径と通る点を確かめながら、円が存在する条件を判断します。

よくあるのは、受検者が円の式の定数項をそのまま半径と読んでしまう場面です。式を見たときに数字が目に入っても、その数字が距離なのか、距離の2乗なのかは形を整えてからでないと決まりません。中心の位置を図に置き、そこから円周上の点までの距離をたどると、式の各部分の役割が見えてきます。まずは式を図に戻し、次に点の条件から式を作る順で練習します。

円の式で問われる判断

円の方程式では、座標平面上で中心から一定の距離にある点の集まりを式で表します。出方の一つは、展開された式を平方完成して中心と半径を求める型です。もう一つは、中心と円周上の点から半径を決める型です。さらに、文字を含む式が円を表すための条件を調べる型も考えられます。

これらに共通するのは、計算で出した値が図形として何を表すかを確認することです。円と直線の共有点や領域の塗り分けには進まず、ここでは中心、半径、通る点と円の存在条件に焦点を当てます。答えが式だけで求められる場合も、中心と点の距離を計算し直すことで、符号の取り違えを見つけられます。

中心からの距離を式にする

中心を C(a, b)、半径を正の数 r とし、円周上の点を P(x, y) とします。横方向の差は x − a、縦方向の差は y − b です。距離の2乗は三平方の定理から (x − a)² + (y − b)² です。したがって円の方程式は次の形になります。

(x − a)² + (y − b)² = r²

図1のように、中心から点への横と縦の差が、2つの平方に対応します。半径は右辺そのものではなく、その正の平方根です。例えば右辺が 9 なら半径は 3 です。中心の座標は括弧内の符号と逆になる点にも注意します。(x + 2)² は (x − (-2))² なので、中心の x 座標は -2 です。

図1では横と縦の差を直角に組み合わせると、中心と点を結ぶ半径が斜辺になります。円周上の点を別の場所に移しても、差の2乗の和は同じです。中心自身は半径が正なら円周上にありません。

展開形から戻すには、x の項と y の項をそれぞれ平方完成します。例えば x² + 6x は (x + 3)² − 9 です。括弧を2乗すると余分に 9 が生じるので、その分を引きます。y の部分も同様に処理し、最後に定数を右辺へ移します。途中で加えた数と引いた数が釣り合っているかを、展開して確かめると安全です。

右辺を R としたとき、R が正なら半径 √R の円です。R = 0 なら両方の平方が0となる中心の1点に限られ、正の半径をもつ円ではありません。R が負なら、非負の平方の和が負になることはなく、実数の座標をもつ点はありません。平方根を取る前に、この3つを分けて考えます。

平方完成で係数が奇数の場合も、係数の半分を使う考え方は変わりません。例えば x² − 3x は (x − 3/2)² − 9/4 です。半分を整数に丸めると元の一次の係数に戻らないので、分数のまま計算します。括弧を展開したとき、2乗の項、一次の項、定数項の3つがそれぞれ元の式と一致するかを見ます。

円の方程式を作るとき、中心と半径がわかっていれば標準の形にそのまま入れられます。半径ではなく円周上の点が与えられたら、先に中心から点への距離の2乗を計算します。平方根を取ってから再び2乗する必要はありません。ただし半径そのものも問われた場合は、最後に正の平方根を答えます。図に中心と点を打ち、横と縦の差が計算に使った数と一致するかを見てください。

平方完成して図に戻す基本例題

次の方程式が表す円の中心と半径を求め、半径は整数で答えてください。

x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0

まず x の項と y の項を分け、定数を右辺に移します。

x² − 4x + y² + 6y = 12

x の係数 -4 の半分は -2 です。その2乗の 4 を左辺の x の部分に加え、等式を保つため右辺にも加えます。

x² − 4x + 4 + y² + 6y = 12 + 4

次に y の係数 6 の半分は 3 です。その2乗の 9 を両辺に加えます。

x² − 4x + 4 + y² + 6y + 9 = 12 + 4 + 9

それぞれを平方にまとめます。

(x − 2)² + (y + 3)² = 25

左辺を標準の形と比べると、中心は (2, -3) です。右辺は半径の2乗なので、半径は正の平方根である 5 です。右辺の 25 をそのまま半径と読むと、中心から円周までの距離が5倍になってしまいます。

図2のように中心を (2, -3) に置き、右へ5進んだ点 (7, -3) を円周上に取れます。この点を元の式に代入すると、49 + 9 − 28 − 18 − 12 = 0 です。中心からの距離も5なので、式と図の両方に合います。さらに完成した式を展開すると x² − 4x + 4 + y² + 6y + 9 = 25 となり、移項すれば元の式に戻ります。

一点の代入は図の位置を確かめる手がかりですが、それだけで式全体が正しいとは限りません。展開して元の式に戻ることと、中心からの距離が一定であることを合わせて確認します。中心の符号が逆になった場合は、括弧を x − a の形にそろえるところへ戻ります。

通る点と実在条件が交わる例題

中心が (t, 1) で、2点 A(1, 3)、B(5, 1) を通る円を求めてください。t と半径は整数、方程式は平方の形で答えます。

中心から A までと B までの距離は同じ半径です。平方根を含む距離を直接等しくする代わりに、どちらも非負なので距離の2乗を等しくします。

(t − 1)² + (1 − 3)² = (t − 5)² + (1 − 1)²

整理すると次のようになります。

t² − 2t + 1 + 4 = t² − 10t + 25

8t = 20

t = 5/2

ここで問題の「t は整数」という指定に注目します。得られた値は整数ではないため、指定を満たす円はありません。計算で中心が求まっても、答えの条件に戻す判断が必要です。もし整数という制約がなければ、中心は (5/2, 1)、半径の2乗は (5/2 − 5)² = 25/4 です。半径は 5/2 となり、式は (x − 5/2)² + (y − 1)² = 25/4 です。A については (1 − 5/2)² + (3 − 1)² = 9/4 + 4 = 25/4、B については 25/4 + 0 = 25/4 となり、どちらも通ります。

ここでの分かれ目は、距離の2乗が等しいことと、問題の条件を満たすことを別々に確かめる点です。等距離の式を解くだけでは整数条件を満たしたことになりません。逆に、整数条件を外した場合の円まで存在しないと決めるのも誤りです。半径が0となる場合も点に縮むので、円として認めるかを条件に照らします。

文字を含む別の形として、x² + y² − 2x + 4y + k = 0 を考えます。平方完成すると (x − 1)² + (y + 2)² = 5 − k です。正の半径をもつ円となる条件は 5 − k > 0、つまり k < 5 です。k = 5 は点 (1, -2)、k > 5 は実数の点がありません。境界を含めるかどうかは、右辺が0のときの図形に戻って決めます。

半径の読み違いを直す

基本例題を (x − 2)² + (y + 3)² = 25 と変形した後、「中心 (2, -3)、半径 25」と答える誤りを考えます。図3のように、25 は距離そのものではなく、距離の2乗です。半径を25とすると中心の右にある点 (27, -3) が円周上に来るはずですが、完成した式の左辺は 625 となり、右辺の25に一致しません。

正しくは半径を r と置き、r² = 25 と書いてから r > 0 を使って r = 5 とします。図3の正しい点 (7, -3) なら左辺は25です。代入が合わないときは、右辺から何を読み取ったかを点検します。中心の符号の誤りも、中心の右に半径分だけ進んだ点を元の式へ戻せば、見つける手がかりになります。

平方完成の途中では、片方の辺に数を足したのに他方へ足し忘れることもあります。その場合は完成した式を展開し、元の定数項に戻るかを見ます。また、右辺が負なのに負の数を半径として書くこともできません。距離は負にならず、平方の和も負にはならないため、実数の点がないと判断します。

練習問題

次の4問を解いてから、後の解答で確認してください。座標は整数または分数、半径は整数または根号を使って答えます。円は正の半径をもつものとします。

1. x² + y² + 8x − 2y + 8 = 0 が表す円の中心と半径を求めてください。
2. 中心が (-1, 2) で点 (2, 4) を通る円の方程式を、平方の形で求めてください。
3. x² + y² + 2x − 6y + c = 0 が円を表すための実数 c の範囲を求め、境界の場合に表す図形も答えてください。
4. 中心が x 軸上にあり、2点 (0, 2)、(4, 4) を通る円の中心、半径、方程式を求めてください。

解答と確認

1. 定数を右辺に移し、x には16、y には1を両辺に加えます。(x + 4)² + (y − 1)² = 9 です。中心は (-4, 1)、半径は 3 です。中心の右に3進んだ点 (-1, 1) を元の式に入れると 1 + 1 − 8 − 2 + 8 = 0 です。距離も3で、与えられた式の円周に戻ります。

2. 中心から指定された点までの横の差は3、縦の差は2なので、半径の2乗は 3² + 2² = 13 です。方程式は (x + 1)² + (y − 2)² = 13、半径は √13 です。指定点を代入すると 9 + 4 = 13 となり、中心からの距離も √13 です。右辺を半径とせず、2乗として扱います。

3. 平方完成すると (x + 1)² + (y − 3)² = 10 − c です。円には右辺が正であることが必要なので c < 10 です。c = 10 では両方の平方が0となり、点 (-1, 3) を表します。c > 10 では左辺が負になれないため点はありません。例えば c = 9 なら右辺は1で半径1、c = 11 なら右辺は -1 で実数の点がないことも、この範囲と一致します。

4. 中心を (a, 0) と置き、2点までの距離の2乗を等しくします。a² + 4 = (a − 4)² + 16 から 8a = 28、a = 7/2 です。半径の2乗は (7/2)² + 2² = 65/4 なので、半径は √65/2 です。方程式は (x − 7/2)² + y² = 65/4 です。もう一方の点でも (4 − 7/2)² + 4² = 1/4 + 16 = 65/4 となります。中心は y 座標が0で、両点までの距離も一致します。

解答を見直す際、図に書いた点が円周上か中心かも区別します。中心を代入すると、完成した式の左辺は0です。正の半径の円では右辺が正なので、中心は式を満たしません。円の内側や円板を表す不等式と混同せず、等号が表す円周の点として確かめます。半径を根号で答える場合も、2乗すれば元の距離の2乗に戻るかを調べます。

覚えておくこと

中心 (a, b)、半径 r > 0 の円は (x − a)² + (y − b)² = r² です。
展開形は x と y を別々に平方完成し、右辺の符号を調べます。
右辺が正なら円、0なら1点、負なら実数の点はありません。
通る点は中心からの距離の2乗を式にして使います。
答えは元の条件と式へ戻して確かめます。

練習問題では、完成した形に直す計算と、点から式を作る計算を行き来しました。前者では式から図の中心と大きさを読み、後者では図の条件から右辺を決めます。どちらも中心から円周までの距離が一定という同じ関係を使っています。式の数字の位置を覚えるだけでなく、その数字が座標の差か、距離の2乗かを説明できるようにします。

境界を調べるときは、不等号を機械的に付ける前に等号の場合を代入します。右辺が0になると、各平方はともに0でなければなりません。したがって残るのは中心の1点です。負になると非負の数の和と一致しないため、実数の座標を持つ点は残りません。問題が円を求めるのか、方程式の表す図形を問うのかで、1点も答えに含めて説明する必要があります。

どの判断で止まったかを見る

個別指導で確認するときは、まず完成した式の括弧から中心を指させ、次に右辺が半径と半径の2乗のどちらかを尋ねます。中心の符号が逆なら x − a の形に書き直し、半径が違えば r² = 右辺という一行に戻ります。計算だけでなく、中心から横に半径分進んだ点を描いて代入できるかも見ます。

文字の条件で止まる場合は、右辺が正、0、負のそれぞれで図に何が残るかを言葉にします。保護者がお子さまの答案を見る場合も、正答の数だけでなく、点の代入や境界の確認が書かれているかを手がかりにできます。円の式は、中心からの距離へ戻ると読み直せます。