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高校数学III 置換積分法—変数と微小な変化を対応させて積分の式を直す｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.13更新 2026.11.13武蔵野個別指導塾の特徴高校の定期テスト数学III 単元別

一次式の係数や三角置換の区間を追い、微分して答えを検算する置換積分を学びます。

定期テスト前の演習で、よくあるのは置換後の文字を使い始めたのに、積分の末尾には元の dx が残っているという場面です。式の見た目が簡単になっても、どの変数の変化に対して積分しているかが混ざると、係数を正しく決められません。置く式を微分し、元の式にある変化と新しい変化を対応させましょう。数学IIIの積分法の中でも、ここでは不定積分を中心に置換の手順を扱います。

どこに注目して式を読むか

問題の型は大きく3つあります。1つ目は、(2x + 1) のような一次式がまとまりとして現れる型です。その部分を新しい文字にすると、べきや指数関数の基本形を使えます。ただし内側の微分が定数であっても、その定数を調整する必要があります。

2つ目は、x² + 1 のようなまとまりと、その微分に関係する x が同時に現れる型です。内側の式の微分を探し、積分全体を新しい文字の式に直します。内側の式だけを置いても、残った x が新しい文字で表せなければ、その置き方は計算を進める助けになりません。

3つ目は √(a² − x²) の形に対して x = a sin θ と置く型です。平方根の符号を決めるため、θの区間も一緒に選びます。定積分ではさらに、元の区間の端点を新しい変数の端点に対応させます。置換は形を変える操作なので、最後は微分や端点への代入で元の条件に戻して確かめます。

変数と変化を一組で移す

u = g(x) と置くと、その微分は du = g′(x) dx です。これは、積分の中にある g′(x) dx の組を du に対応させるための記号です。積分する式を u と du で書き直した後は、x と dx を残さず計算します。不定積分なら、積分後に u を元の x の式に戻し、積分定数 C を添えます。

図1のように、まとまりと微分の組を別々に確認します。例えば u = 3x − 2 なら du = 3 dx なので、dx = (1/3) du です。u に変える箇所だけでなく、dx に含まれる係数も移します。3を掛けるのか割るのか迷ったら、du = 3 dx の両辺を3で割ると判断できます。

元の被積分関数が定義される区間も確認します。例えば分母に一次式がある場合、その式が0となる点では積分対象が定義されません。原始関数の式を得ても、分母が0になる点をまたいで1つの区間として扱わないことが必要です。対数が出る場合には絶対値と定義域の対応も見ます。

置換積分の根拠は合成関数の微分です。F′(u) = f(u) なら、F(g(x)) を x で微分した結果は f(g(x))g′(x) です。そのため、∫ f(g(x))g′(x) dx は F(g(x)) + C と求められます。単に文字を交換するのではなく、内側の微分を含めて元の式に戻ることが、この方法の条件です。

基本例題：一次式の係数をそろえる

問題：∫ (2x + 3)³ dx を求め、答えを x と積分定数を用いた正確な式で表してください。

べきの内側を u = 2x + 3 と置きます。微分すると du = 2 dx ですから、dx = (1/2) du です。したがって積分全体は次のように変わります。

∫ (2x + 3)³ dx = (1/2) ∫ u³ du

= (1/2) × (u⁴/4) + C

= (u⁴/8) + C

= ((2x + 3)⁴/8) + C

図2のように、2x + 3 を u に変えると同時に、dx を (1/2) du に変えています。積分後は元の文字に戻すため、u のままで答えを終えません。C は微分すると0になる任意の定数です。

答えを微分して問題の式へ戻します。((2x + 3)⁴/8) の導関数は (1/8) × 4(2x + 3)³ × 2 = (2x + 3)³ です。内側の微分の2まで含めると、確かに元の被積分関数になります。積分定数を微分した値は0です。

もし係数を調整せずに u³ を積分すると、元に戻した答えの導関数は元の式の2倍になります。x = 0 を代入すると、元の式は27ですが、その誤った答えの導関数は54です。この1点で不一致は発見できますが、正しさの確認には上のように一般の x で微分して一致を示します。

根号を三角関数に直すときの分かれ目

問題：-2 < x < 2 で ∫ √(4 − x²) dx を求め、x と三角関数の逆の対応で定まる θ、および積分定数を用いた正確な式で表してください。ただし x = 2 sin θ、-π/2 < θ < π/2 とします。

指定区間では sin θ が単調に増加し、各 x に対応する θ が1つに定まります。また cos θ > 0 です。x = 2 sin θ を微分すると dx = 2 cos θ dθ です。平方根の中は 4 − 4 sin² θ = 4 cos² θ となるので、平方根は 2|cos θ| です。選んだ区間ではこれを 2 cos θ と書けます。

よって、積分は次のように変形できます。

∫ √(4 − x²) dx = 4 ∫ cos² θ dθ

= 2 ∫ (1 + cos 2θ) dθ

= 2θ + sin 2θ + C

= 2θ + (x√(4 − x²)/2) + C

最後の行では sin 2θ = 2 sin θ cos θ、sin θ = x/2、cos θ = √(4 − x²)/2 を使いました。この答えは θ を x から指定区間で定める形です。θ を自由な角と考えると同じ x に複数の値が対応するため、区間を省略しません。

検算では dx/dθ = 2 cos θ > 0 より、dθ/dx = 1/(2 cos θ) です。2θ + sin 2θ を θ で微分して 2 + 2 cos 2θ = 4 cos² θ、さらに dθ/dx を掛けると 2 cos θ = √(4 − x²) となります。元の根号に戻り、選んだ区間でも分母は0になりません。

同じ置換を定積分に用いるときは端点も移します。例えば x が0から1までなら、θ は0から π/6 までです。端点を移した後は θ の原始関数に θ の端点を入れます。逆に原始関数を x に戻したなら、元の x の端点を使います。x の端点を θ の式へ直接代入すると対応が崩れます。

cos θ が負になる区間を選んだ場合、√(4 cos² θ) をそのまま 2 cos θ とすることはできません。平方根は負にならないので絶対値が必要です。計算の前に区間を選ぶことが、符号を正しく扱うための分かれ目です。

置き方を選ぶための点検

置換候補が複数あるときは、まず括弧の中と、その微分に当たる因子を探します。例えば ∫ 4x(2x² + 7)⁵ dx なら、u = 2x² + 7 に対して du = 4x dx です。式は ∫ u⁵ du に変わり、答えは ((2x² + 7)⁶/6) + C です。微分すると (1/6) × 6(2x² + 7)⁵ × 4x となり、元の積に戻ります。外側のべきだけでなく、内側の微分まで含めて対応しているので、この置換は有効です。

一方、∫ (x² + 7)⁵ dx に同じように u = x² + 7 と置くと、du = 2x dx ですが、元の式には x の因子がありません。ここで dx をそのまま du に変えてはいけません。置換を選び直すか、整数のべきを展開して各項を積分する方法を考えます。置換後に何が残るかを最初に調べると、行き詰まる理由を判断できます。

係数が負の場合も、微分の等式から扱えば符号を落とさずに済みます。例えば u = 4 − 3x なら du = -3 dx、したがって dx = -(1/3) du です。∫ (4 − 3x)² dx は -(u³/9) + C、すなわち -((4 − 3x)³/9) + C となります。微分すると -(1/9) × 3(4 − 3x)² × (-3) = (4 − 3x)² です。負号が2つある理由を追うと、原始関数の符号も確かめられます。

定積分で置換の向きが逆になる例も見ておきます。x が0から1まで変わるとき、u = 4 − 3x は4から1へ変わります。従って ∫₀¹ (4 − 3x)² dx = -(1/3) ∫₄¹ u² du です。端点を1から4に入れ替えれば負号も反転し、(1/3) ∫₁⁴ u² du = (1/9)(64 − 1) = 7 です。元の変数の原始関数 -((4 − 3x)³/9) に0と1を代入しても、-(1/9) + (64/9) = 7 となります。減少する置換では端点が逆順になることが、微分の負号とつながっています。

置換後の端点を計算するときは、元の端点を置いた式へ1つずつ代入します。端点を変え忘れたまま式だけを新しい変数に直す場合と、端点を入れ替えたのに負号を残す場合は、異なる誤りです。どちらも元の変数で計算した値と照合すると発見できます。区間内に分母の0や根号の範囲外がないかも、置換する前に調べます。

誤答を微分して原因を探す

基本例題で ((2x + 3)⁴/4) + C と答えた場合を考えます。これは ∫ u³ du = (u⁴/4) + C という積分自体は正しいものの、dx = (1/2) du の係数を落とした答えです。微分すると 2(2x + 3)³ となり、元の式の2倍です。

図3のように、誤答を微分して余分な2を見つけたら、置換した行へ戻ります。そこに (1/2) を加えると、微分時に現れる内側の2と打ち消し合います。答えを見て係数だけを暗記するより、du = 2 dx から係数を導くと、別の一次式にも対応できます。

別の失敗は、u = x² + 1 として du = 2x dx まで書きながら、x dx を du としてしまうことです。この場合は x dx = (1/2) du です。また、置換後に x と u が両方残るときは、その x を u の式に直せるか調べます。直せないまま積分公式を当てるのではなく、別の置き方や元の式の変形を考えます。

置換の結果が正しいか迷ったとき、定数 C を除く部分を微分して比較します。微分後の式が元の式の一定倍なら、置換時に定数を落とした可能性があります。一定倍でなければ、内側の式や残った因子の対応から見直します。定義域も含めて、元の式が存在する範囲で一致するかを確かめてください。積分定数は微分では見えないため、検算とは別に書き忘れを点検します。

練習問題

次の3問は、不定積分を x と積分定数 C を用いた正確な式で答えてください。各答えを微分し、元の被積分関数へ戻ることも確かめます。

∫ (5x − 1)² dx を求めてください。
∫ 6x e⁽³ˣ² ⁺ ²⁾ dx を求めてください。ただし指数は e の右の括弧内全体です。
x > -2 で ∫ 1/(x + 2) dx を求めてください。

練習の解答と確かめ

u = 5x − 1 とすると du = 5 dx、dx = (1/5) du です。したがって ∫ (5x − 1)² dx = (1/5) ∫ u² du = (u³/15) + C = ((5x − 1)³/15) + C です。微分すると (3/15)(5x − 1)² × 5 = (5x − 1)² となり、元の式に戻ります。係数5を割る操作が必要です。
u = 3x² + 2 と置くと du = 6x dx です。今回は微分の組が元の式にそのままあるので、∫ eᵘ du = eᵘ + C となります。答えは e⁽³ˣ² ⁺ ²⁾ + C です。微分すると e⁽³ˣ² ⁺ ²⁾ × 6x となり、与えられた積に戻ります。x = 0 でも両方が0となり、余計な分母を導入していないことを確認できます。
u = x + 2 とすると du = dx です。x > -2 より u > 0 なので、∫ (1/u) du = log u + C です。答えは log(x + 2) + C となります。自然対数を log と表しています。微分すると 1/(x + 2) で、真数が正という元の条件も満たします。条件のない区間で一律に log(x + 2) と書くと、x < -2 の部分では定義されません。その部分も扱うときは log|x + 2| を用い、x = -2 で区切った各区間で考えます。