高校数学III 不定積分の基本—微分の逆を使って積分定数まで含めて答える｜武蔵野個別指導塾

原始関数を微分して元の式へ戻し、積分定数と対数型の定義域を扱う不定積分です。

よくあるのは、定期テスト前の演習で、微分すると問題の式になる関数を1つ見つけ、そのまま解答を終える場面です。計算した関数は合っていても、問題が求める不定積分には定数の分だけ異なる関数も含まれます。微分すると消える部分を最後に戻し、元の式に対応する関数の集まりとして答える練習をしましょう。

数学IIIの積分法に含まれる不定積分のうち、ここではべき、三角関数、指数関数、対数型の基本と定義域を扱います。複雑な積を処理する方法や変数を置き換える方法には立ち入りません。

答えに求められるものを読む

不定積分の問題には、いくつかの出方があります。まず、与えられた式を項に分け、微分の公式を逆向きにたどって積分する型です。たとえば多項式と三角関数の和なら、それぞれの原始関数を求めてから合わせます。項ごとの符号を保ち、最後に積分定数を付けます。

次に、分母に変数がある式について、定義域を指定して原始関数を求める型です。1/x は x = 0 で定義されません。正の範囲と負の範囲で対数の真数を確認し、指定された区間で微分が元の式に戻るかを調べます。文字の形が似ていても、べきの公式をそのまま使えない指数があることにも注意します。

もう1つは、導関数と1点での値から、元の関数を決める型です。先に積分定数を含む形を作り、その後で与えられた点を代入します。点の条件を入れる前と後では、答えの意味が違います。前者は候補の集まり、後者は条件を満たす関数です。

どの型でも、最後に自分の答えを微分して被積分関数に戻すと、係数や符号の誤りを見つけやすくなります。これは原始関数を1つ見つけたことの確認であり、積分定数や定義域の確認も別に必要です。

微分と原始関数の行き来

区間上で F′(x) = f(x) が成り立つとき、F(x) を f(x) の原始関数といいます。F(x) に定数 C を加えても、定数の微分は 0 なので、(F(x) + C)′ = f(x) です。この区間で f(x) の原始関数は F(x) + C の形に表されます。ここで C は任意の定数です。

図1のように、微分では定数の違いが消えます。反対に不定積分では、その失われた定数を C として表します。∫ f(x) dx = F(x) + C の左辺は原始関数の集まりを表し、右辺の C は各候補を表すために使います。

図1では x² と x² + 3 が、どちらも微分すると 2x になります。2x を不定積分した答えは x² という1つの式で終わらず、x² + C です。C に 0 や 3 を入れると、図にある2つの原始関数が得られます。定数が変わっても傾きの式は変わらない、という関係です。

なぜ F(x) + C で原始関数を尽くせるのでしょうか。同じ区間で G′(x) = f(x) となる別の原始関数 G を考えると、(G(x) − F(x))′ = 0 です。導関数が区間内で 0 の関数はその区間で定数なので、G(x) − F(x) = C と書けます。差が一定になるという理由があるため、適当な数例で確かめるだけでなく一般の定数を加えて答えられます。

計算の出発点となる公式を、微分との対応で整理します。以下の C は任意の定数で、三角関数の変数は弧度法です。

• n ≠ -1 のとき、∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C。式が実数として定義され、微分できる区間で使います。
• ∫ cos x dx = sin x + C、∫ sin x dx = -cos x + C。
• ∫ eˣ dx = eˣ + C。底 a が正で a ≠ 1 なら、∫ aˣ dx = aˣ/(log a) + C。
• x > 0 では ∫ (1/x) dx = log x + C、x < 0 では ∫ (1/x) dx = log(-x) + C。どちらも log|x| + C と書けます。

べきの式は微分すると指数が前に出るため、指数を1増やしてその値で割ります。ただし n = -1 では割る数が 0 になり、この公式は使えません。その場合は対数型を選びます。たとえば x < 0 では -x > 0 なので log(-x) が定義され、その微分は (-1)/(-x) = 1/x です。

指数関数では eˣ の微分は eˣ のままですが、aˣ の微分は aˣ log a です。そのため e 以外の底では log a で割る必要があります。底が 1 のときは被積分関数が定数 1 で、原始関数は x + C です。底の条件を無視して log 1 で割ることはできません。

項ごとに戻す基本例題

次の不定積分を求め、任意の定数 C を用いて答えなさい。三角関数の変数は弧度法とします。

∫ (3x² − 4 sin x + 2eˣ) dx

和の微分は各項の微分の和なので、原始関数も項ごとに考えられます。定数倍はそのまま外に置いて、次のように分けます。

∫ (3x² − 4 sin x + 2eˣ) dx = 3∫ x² dx − 4∫ sin x dx + 2∫ eˣ dx

それぞれの公式を使うと、x² の原始関数の1つは x³/3、sin x の原始関数の1つは -cos x、eˣ の原始関数の1つは eˣ です。したがって定数を最後にまとめて、

= 3 × (x³/3) − 4 × (-cos x) + 2eˣ + C = x³ + 4 cos x + 2eˣ + C

となります。各項で定数を書いて足しても、その和は任意の定数にまとめられます。C を3個書かなくても、最後の1個で必要な定数の違いを表せます。

図2のように、積分前の各項と答えの各項を対応させると、三角関数の符号を見落としにくくなります。特に sin x の原始関数に付く負号と、問題の -4 の負号を別々に追います。

図2の右側を微分して確かめましょう。x³ の微分は 3x²、4 cos x の微分は -4 sin x、2eˣ の微分は 2eˣ、C の微分は 0 です。合わせると、

(x³ + 4 cos x + 2eˣ + C)′ = 3x² − 4 sin x + 2eˣ

となり、与えられた被積分関数と一致します。この式は実数全体で定義されますから、区間の途中で分母が 0 になる心配もありません。係数を積分後に掛け戻したか、符号を2回変えたか、微分の行で確認できます。

0をまたぐと定数はどうなるか

次の不定積分を、指定された各区間で求めなさい。答えには任意の定数を用います。

∫ (2/x + 1/x²) dx、区間は x > 0 と x < 0。

まず分母が 0 になる x = 0 は、もとの式の定義域に入りません。正の区間と負の区間に分け、それぞれで微分可能な原始関数を作ります。1/x² は x⁻² と書けるので、べきの公式で指数 -2 に 1 を加え、-1 で割ります。

∫ x⁻² dx = x⁻¹/(-1) + C = -1/x + C

一方、2/x の原始関数には対数を使います。x > 0 では log x の微分が 1/x なので、

F₊(x) = 2 log x − 1/x + C₊

です。x < 0 では -x が正なので、log(-x) を使って、

F₋(x) = 2 log(-x) − 1/x + C₋

です。C₊ と C₋ は、それぞれの区間で任意の定数です。まとめて書く場合も、log|x| の絶対値は負の側で真数を正に保つために必要です。

実際に微分すると、どちらの区間でも対数の項は 2/x に戻り、-1/x = -x⁻¹ の微分は x⁻² = 1/x² に戻ります。したがって両方の式が、指定された区間内で問題の被積分関数になります。0で値を代入して左右をつなぐ操作はできません。

分かれ目は、定義域全体が0で切れていることです。正の側と負の側で定数は独立に選べます。たとえば正の側で C₊ = 0、負の側で C₋ = 5 としても、各側の微分は同じ被積分関数です。異なる側の定数が必ず等しいとする条件は、問題にはありません。1つの区間を指定された場合は、その区間の任意の定数を1つ書けば十分です。

誤答を微分して原因を探す

基本例題で、次のように答えたとします。

誤答：x³ − 4 cos x + 2eˣ

まず微分すると 3x² + 4 sin x + 2eˣ となり、もとの -4 sin x と符号が違います。原因は sin x の原始関数を cos x としてしまったことです。cos x を微分すると -sin x になるため、sin x の原始関数には -cos x を選びます。さらに、この誤答には積分定数もありません。

図3のように、三角関数の項を 4 cos x に直し、全体の末尾に + C を付けます。修正後の式は x³ + 4 cos x + 2eˣ + C です。微分で符号が戻ることと、定数を動かしても微分が変わらないことを、それぞれ確認します。

図3の誤答が示す失敗は2種類あります。符号の誤りは微分結果と元の式を比べると見つかりますが、定数を書き忘れても微分結果だけは正しくなる場合があります。よって「戻ったから完了」とせず、問題が原始関数を1つ求めるのか、不定積分を求めるのかまで読み直します。

また、1/x にべきの公式を当て、指数を 0 にして 0 で割る計算はできません。式が途中で定義されなくなったら、計算を進めず対数型に戻します。x < 0 で log x と書いた場合も、実数の対数の真数が正でないため修正が必要です。誤答を見つけたら、符号、定数、定義域のどこで条件が失われたかを分けて直します。

自分で試す4問

次の問は、指定された区間上で答えなさい。問1から問3は任意の定数 C を含め、問4は条件を満たす関数を求めます。三角関数の変数は弧度法です。

1. 実数全体で、∫ (5x⁴ + 6 cos x) dx を求めなさい。
2. x > 0 で、∫ (4eˣ − 3/x) dx を求めなさい。
3. x < 0 で、∫ (x⁻³ + 2 sin x) dx を求めなさい。分数を用いた正確な式で答えます。
4. 実数全体で F′(x) = 2x + cos x、F(0) = 3 を満たす F(x) を求めなさい。

いずれも、まず式が定義される範囲を見てから候補を作ります。解答を見た後は、候補を微分し、問4では点の条件にも戻して照合してください。

4問の答えと確認

問1

x⁵ の微分は 5x⁴、6 sin x の微分は 6 cos x です。したがって答えは、

x⁵ + 6 sin x + C

です。実際に微分すると 5x⁴ + 6 cos x になり、実数全体で問題の式へ戻ります。6 cos x を 6 sin x に対応させるとき、余分な負号を付けないようにします。

問2

x > 0 では log x が定義され、その微分は 1/x です。4eˣ は微分しても 4eˣ のため、求める式は、

4eˣ − 3 log x + C

です。微分すると 4eˣ − 3/x となり、与えられた式に一致します。log x の真数は指定区間で正です。x = 0 や負の x を、この解答の区間に勝手に加えません。

問3

x⁻³ の指数に 1 を加えると -2 なので、x⁻²/(-2) が原始関数の1つです。2 sin x の原始関数は -2 cos x ですから、

-1/(2x²) − 2 cos x + C

と答えます。微分すると、-x⁻²/2 の項から x⁻³、-2 cos x の項から 2 sin x を得ます。x < 0 では x は 0 でなく、分母も 0 になりません。負の指数でも指数を増やしてからその値で割る手順は同じですが、割る数が 0 でないかを確かめます。

問4

導関数から原始関数の集まりを作ると、

F(x) = x² + sin x + C

です。与えられた F(0) = 3 を代入すると、0² + sin 0 + C = 3、つまり C = 3 です。よって条件を満たす関数は、

F(x) = x² + sin x + 3

です。微分すると 2x + cos x になり、x = 0 では 3 です。微分の条件と点の条件の両方へ戻して初めて、この関数が問題の要求を満たすと確認できます。C のままでは点の条件がまだ反映されていません。

手元に残す要点

原始関数は微分して被積分関数に戻る関数です。
不定積分では、指定された区間ごとに任意の定数を加えます。
1/x はべきの公式の例外で、定義域に合わせて対数を使います。
微分による照合に加え、定数と元の条件も確かめます。

どこで止まったかを見分ける

微分して符号が戻らないなら、原始関数の候補と微分公式の対応を1項ずつたどります。微分は正しいのに C がないなら、原始関数を1つ探す問いと、不定積分として候補を表す問いの違いを言葉にしてみます。C を付けられても点の条件に代入できない場合は、先に F(0) の式を書き、未知の定数を求める段階を分けます。

対数型で止まるときは、最初に分母が 0 となる点と、対数の真数が正となる範囲を本人の答案に書き込みます。個別指導で確認するなら、完成した答えだけでなく、どの区間でどの公式を選んだか、微分でどの項へ戻したかを説明してもらいます。異なる区間の定数を同じにしてしまった場合には、片方の定数だけを変えても微分が変わらないことを確かめます。答えの式と成り立つ区間を結び付けると、不定積分の意味が答案に表れます。