高校数学III 速度と加速度・近似式—位置の変化と接線近似を場面に戻して読む｜武蔵野個別指導塾

負の速度から運動の向きを読み、平面上の速さと加速度を計算します。接線近似は基準点と変化量を対応させて確かめます。

よくあるのは、定期テスト前の演習で、負の速度をそのまま負の速さと答えてしまう場面です。位置の増える向きを正と決めたとき、負の速度はその反対向きに進むことを表します。一方、速さは向きを取り除いた量なので負にはなりません。式を微分した後、求められたものが向きを含むかどうかを確かめましょう。

数学IIIの微分法の応用として、位置から速度と加速度を求め、接線を使って近くの値を見積もります。平面の運動では座標をそれぞれ微分します。物理の運動公式を前提にせず、与えられた位置の式から考えます。

何を求める問題かを見分ける

出方の1つは、直線上の位置が時刻の式で与えられ、ある時刻の速度、速さ、加速度を求める型です。速度は位置の導関数、加速度は速度の導関数です。速さを問われたら最後に速度の絶対値を取ります。向きの変化を問われた場合は速度が0となる時刻を探し、その前後の符号も調べます。

もう1つは、平面上の点の座標が時刻で表される型です。横と縦の変化を別々に微分して速度の成分を出し、その長さを速さとします。成分の和や、座標の距離をそのまま速さとすることはできません。止まる時刻は両方の速度成分が同時に0になるかで判定します。

近似式の型では、値が計算しやすい点の近くで関数の値を求めます。基準点での値と傾きから接線を作り、求める点を代入します。近似した結果は等号で正確な値と結ばず、近似であることを示します。基準点から離れた値にも同じ精度で使えるとは限りません。

位置から変化を読む

直線上の位置を x(t) とします。時刻 t から t + h までの位置の変化は x(t + h) − x(t) です。これを時間の変化 h で割った平均の変化率を、h を0に近づけて考えたものが速度 v(t) = x′(t) です。さらに速度の変化率が加速度 a(t) = v′(t) = x″(t) です。

図1のように、数直線の正の向きを右に決めると、速度が正ならその瞬間に右向き、負なら左向きです。速度の単位が m/s なら速さは |v(t)| m/s です。速度が0の瞬間は速さも0ですが、その前後で符号が変わらなければ向きが反転するとは限りません。加速度の符号は速度の増減を表し、加速度が正でも速度が負の間は速さが小さくなることがあります。

平面上の位置が (x(t), y(t)) のとき、速度の成分は (x′(t), y′(t))、加速度の成分は (x″(t), y″(t)) です。速さは直角三角形の長さから √{(x′(t))² + (y′(t))²} と求めます。各成分は負でも構いませんが、二乗して足した後の平方根は0以上です。位置の座標と速度の成分は異なる量なので、同じ括弧で書いても時刻を代入する式を区別します。

関数 y = f(x) が x = a で微分可能なら、近くの x = a + h において f(a + h) は f(a) + f′(a)h で近似できます。これは接点 (a, f(a)) と傾き f′(a) を持つ接線の値です。h が小さいときの局所的な近似であり、誤差が常に0になるという意味ではありません。根号や分母のある式では、基準点と代入する点が定義域に入ることも先に調べます。

基本例題：往復する点を追う

数直線の右向きを正とし、点の時刻 t 秒における位置を x(t) = t² − 4t + 3 m とします。ただし 0 ≦ t ≦ 4 です。t = 1 と t = 3 における位置、速度、速さ、加速度をそれぞれ整数で求め、点が向きを変える時刻を求めてください。

まず位置を t で微分します。定数の微分は0なので、

v(t) = x′(t) = 2t − 4

a(t) = v′(t) = 2

です。位置をもう1回微分した結果が加速度であり、単位は m/s² です。与えられた式は多項式なので、区間内で微分できます。

図2のように、速度の符号は t = 2 を境に変わります。実際に v(t) = 0 を解くと 2t − 4 = 0、したがって t = 2 です。0 ≦ t < 2 では負、2 < t ≦ 4 では正なので、点は2秒で左向きから右向きに変わります。速度が0であることに加えて、前後の符号を調べたことが向きの変化の根拠です。

各時刻を元の式と導関数に戻します。t = 1 では x(1) = 1 − 4 + 3 = 0、v(1) = 2 − 4 = -2、a(1) = 2 です。位置は 0 m、速度は -2 m/s、速さは |-2| = 2 m/s、加速度は 2 m/s² です。左へ進みながら速度は増加しており、この区間では速さが小さくなります。

t = 3 では x(3) = 9 − 12 + 3 = 0、v(3) = 6 − 4 = 2、a(3) = 2 です。位置は 0 m、速度は 2 m/s、速さは 2 m/s、加速度は 2 m/s² です。同じ位置を通っていても、速度の符号が違うので進む向きは反対です。

位置に戻して確かめると、x(0) = 3、x(2) = -1、x(4) = 3 です。位置は前半に減り、後半に増えます。これは求めた速度の符号と一致します。端の時刻では区間内からの動きを考えますが、向きの変化を調べた t = 2 は区間の内部です。

平面の速さと接線による近似

次の2つの場面では、答える量が違います。成分から長さを求めるのか、基準点からの変化を足すのかを、式に入る前に決めましょう。

平面上の点が 0 ≦ t ≦ 3 で x(t) = t²、y(t) = 2t − t² にあるとします。時刻 t = 1 における位置、速度と加速度の成分、速さを整数または根号を含む正確な式で求め、区間内で点が止まる時刻があるか調べてください。

それぞれ微分すると x′(t) = 2t、y′(t) = 2 − 2t です。もう一度微分して x″(t) = 2、y″(t) = -2 となります。t = 1 では位置は (1, 1)、速度の成分は (2, 0)、加速度の成分は (2, -2) です。速さは √(2² + 0²) = 2 です。縦の速度が0でも横の速度は0ではないため、点はこの時刻に止まりません。

止まるなら 2t = 0 と 2 − 2t = 0 が同時に成立する必要があります。前者は t = 0、後者は t = 1 なので同時には成立せず、指定された区間に止まる時刻はありません。元の座標式に t = 1 を戻すと (1, 1) であり、速度の成分を微分して得た (2, -2) も加速度と一致します。位置が (1, 1) だから速さが √2 だとするのは、位置と位置の変化率を取り違えた計算です。

次に √4.1 を、f(x) = √x の x = 4 における接線を使って近似し、分数で答えてください。基準点と求める点はいずれも正なので、必要な範囲で f は定義され微分可能です。f(4) = 2、f′(x) = 1/(2√x) より f′(4) = 1/4 です。h = 4.1 − 4 = 1/10 とすると、

f(4 + h) ≒ 2 + (1/4)h

√4.1 ≒ 2 + (1/4) × (1/10) = 81/40

となります。接線の式に x = 4 を戻すと値は2、傾きは1/4で、基準点の条件と合います。また (81/40)² = 6561/1600、4.1 = 6560/1600 なので、近似値の二乗は元の値より 1/1600 大きいことが正確に確かめられます。したがって 81/40 は正確な平方根そのものではなく、接線による近似値です。

誤答を見つけて直す

基本例題の t = 1 で「速さは -2 m/s」と答えたとします。微分して得た -2 は正しい速度ですが、負号を含むまま速さと呼んだことが誤りです。図3のように、負号は左向きの情報として残し、速さを聞かれたときは絶対値を取ります。修正後は速度 -2 m/s、速さ 2 m/s です。

別の誤りは「加速度が正だから右向きに動く」と判断することです。加速度は速度の増減を示し、向きは速度の符号で決まります。基本例題の t = 1 では加速度が正でも速度は負なので左向きです。位置の式へ戻せば x(1) = 0、x(2) = -1 となり、その後に位置が減ることとも整合します。

近似では f(a + h) を f(a) + f′(a)(a + h) とする誤りがあります。傾きに掛けるのは基準点からの変化 h です。h = 0 を代入したとき基準点の値 f(a) に戻るか試すと、この間違いを見つけられます。また、近似式を使う点が定義域の外なら計算を進めず、基準点も含めて条件を選び直します。

練習問題

次の問題では、位置の単位を m、時刻の単位を秒とします。速さと加速度には単位を付け、指定がない値も整数、分数または根号を含む正確な式で答えてください。まず問題を通して解き、その後で解答を確認します。

1. 直線上の位置が x(t) = t² − 6t + 5、0 ≦ t ≦ 5 です。t = 2 の位置、速度、速さ、加速度と、向きを変える時刻を求めてください。
2. 平面上の位置が (x(t), y(t)) = (3t, t²)、0 ≦ t ≦ 2 です。t = 2 の位置、速度と加速度の成分、速さを求め、区間内で止まる時刻があるか調べてください。
3. f(x) = √x の x = 9 における接線を使って √9.3 を近似し、分数で答えてください。近似値の二乗と 9.3 との差も分数で求めてください。
4. 直線上の位置が x(t) = (t − 1)³、0 ≦ t ≦ 2 です。t = 1 での速度と加速度を求め、その時刻に向きが変わるか調べてください。

解答と確かめ方

1. v(t) = 2t − 6、a(t) = 2 です。t = 2 で x(2) = 4 − 12 + 5 = -3、v(2) = -2 です。よって位置は -3 m、速度は -2 m/s、速さは 2 m/s、加速度は 2 m/s² です。v(t) = 0 は t = 3 で、前後の速度は負から正に変わるので3秒で向きが変わります。元の式では x(2) = -3、x(3) = -4、x(4) = -3 となり、減少から増加への変化と一致します。

2. 速度の成分は (3, 2t)、加速度の成分は (0, 2) です。t = 2 で位置は (6, 4) m、速度は (3, 4) m/s、加速度は (0, 2) m/s²、速さは √(3² + 4²) = 5 m/s です。横の速度が常に3なので、2つの成分が同時に0になる時刻はありません。位置の式に t = 2 を戻して (6, 4) を得て、速度の成分を微分すると (0, 2) に戻ります。

3. f(9) = 3、f′(9) = 1/6 です。9.3 − 9 = 3/10 なので、接線による値は 3 + (1/6) × (3/10) = 61/20 です。基準点と求める点はいずれも正です。(61/20)² − 9.3 = 3721/400 − 3720/400 = 1/400 です。接線に基準点を戻すと3となり、傾きは1/6です。差が0でないため、61/20 は近似値として書きます。

4. v(t) = 3(t − 1)²、a(t) = 6(t − 1) なので、t = 1 では両方とも0です。速度は t = 1 の前後で正ですから、そこで向きは変わりません。例えば元の位置は x(0) = -1、x(1) = 0、x(2) = 1 と増え、前後に右向きに進む判定と合います。速度が0であることだけでは向きの反転を決められません。

手元に残す要点

位置を微分すると速度、速度を微分すると加速度です。
直線上の速さは速度の絶対値、平面上では速度の成分から長さを求めます。
向きの変化は速度の0だけでなく、その前後の符号で判定します。
近似は基準点の値と傾きに、基準点からの変化を対応させます。

計算結果を言葉に戻す

位置の値が負であることと速度が負であることも別です。原点より左にいても、右向きに動いていれば位置は負、速度は正となります。座標軸に原点と正の向きを書き、位置を点で、速度を矢印で表すと混同を防げます。加速度についても矢印の向きだけで速さの増減を決めず、速度と加速度の符号を比べます。

接線近似では、求める値が基準点より小さければ h は負になります。負の h を無理に正に直すと、接線上で反対側の値を計算してしまいます。基準点との差を引き算のまま書き、符号を保って代入することが大切です。

途中のどこで迷ったかを見つける

答えが合わないときは、まず位置、速度、加速度のどれを微分した行かに印を付けます。計算が合っていて速さだけ負なら、微分ではなく絶対値を取る段階で迷っています。向きの変化を速度が0という理由だけで決めたなら、前後の時刻を式に代入して符号の表を作り直します。

個別指導で式を見直す際は、平面の各成分に対応する座標を指しながら、速さが成分の長さになる理由を説明できるか確かめます。近似では基準点と h を本人の答案に書き込み、h = 0 で元の値に戻るかを一緒に調べます。速度の符号と速さを分けると、位置の変化を場面に沿って読み取れます。