高校数学III 第二次導関数と凹凸—符号変化から変曲点とグラフの概形を判断する｜武蔵野個別指導塾

第二次導関数が0でも変曲点とは限りません。符号表と漸近線を使い、グラフの形を判断し、変曲点を見抜きます。

よくあるのは、定期テスト前の演習で第二次導関数が0になる点を見つけ、その点をすべて変曲点としてしまう場面です。候補を求める計算は合っていても、その前後で曲線の曲がり方が変わらなければ、結論は変わります。符号表の区間とグラフ上の点を対応させると、どこまで計算したかが見えるようになります。

数学IIIの微分法で学ぶ関数の変化を使い、ここでは凹凸と変曲点を調べます。増減や最大・最小は、概形に必要な範囲で使います。

問われ方を見分ける

第一の型は、関数の第二次導関数を求め、上に凸・下に凸の区間と変曲点を答える問題です。方程式を解いた後、候補の左右の符号を調べて、点の座標まで求めます。区間を答えるときは端の数を含むかをあいまいにせず、不等号で表します。

第二の型は、第一次導関数と第二次導関数を合わせてグラフの概形を描く問題です。増減は第一次導関数、凹凸は第二次導関数から読みます。どちらも符号を調べますが、同じ役割ではありません。増加しながら上に凸であることも、増加しながら下に凸であることもあります。

第三の型は、分母を含む関数で、定義されない点や無限遠での振る舞いを加える問題です。分母が0になる場所で符号表を区切っても、その場所はグラフ上の点とは限りません。漸近線に近づく様子と凹凸を合わせると、枝を誤ってつなぐことを防げます。

傾きの変化から曲がり方を読む

関数 y = f(x) の導関数 f′(x) は、各点での接線の傾きです。第二次導関数 f″(x) は、その傾きが x の増加に伴ってどう変化するかを表します。f″(x) > 0 の区間では傾きが増加し、グラフは下に凸です。f″(x) < 0 の区間では傾きが減少し、グラフは上に凸です。ここでの「下に凸」は谷のように下側へ曲がる向き、「上に凸」は山のように上側へ曲がる向きを指します。

図1のように、同じ増加中でも傾きが大きくなる曲線と小さくなる曲線は区別できます。傾きが正か負かは増減を決め、その傾きの変化は凹凸を決めます。曲線の高さが正か負かだけから凹凸は決まりません。

変曲点は、曲線の凹凸が切り替わる点です。点の左右で f″ の符号が正から負、または負から正へ変わるかを調べます。f″(a) = 0 は候補を探す手がかりですが、それだけで切り替わりを保証しません。また、第二次導関数がその点で存在しなくても、曲線が存在し、左右で凹凸が変わる場合は候補になります。したがって0になる点に加え、定義域の中で f″ が存在しない点も見落とさないようにします。

符号表を作る前に、元の関数の定義域を最初に書きます。次に f″ が0になる点と存在しない点で区間を分けます。各区間で因数の正負を判定し、曲線上にある候補について左右の符号を比べます。点の x 座標だけでなく、元の f に代入した y 座標を添えて初めて変曲点の座標になります。

基本例題：候補を表で確かめる

関数 f(x) = x³ − 3x² + 2 について、増減、凹凸の区間、変曲点を調べ、グラフの概形を描いてください。変曲点の座標は整数で答えます。定義域は実数全体です。

まず増減のために微分します。

f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2)

さらに微分して、傾きの変化を調べます。

f″(x) = 6x − 6 = 6(x − 1)

f′(x) = 0 の解は x = 0, 2、f″(x) = 0 の解は x = 1 です。0、1、2 の順に並べ、それぞれの区間で符号を調べます。f′ は x < 0 と x > 2 で正、0 < x < 2 で負です。よって増加、減少、増加の順に進みます。

一方、f″ は x < 1 で負、x > 1 で正です。図2のように、x = 1 の左右で負から正へ変化するので、この点で上に凸から下に凸へ切り替わります。f(1) = 1 − 3 + 2 = 0 より、変曲点は (1, 0) です。

概形に必要な値も元の式から求めます。f(0) = 2、f(2) = 8 − 12 + 2 = -2 です。したがって (0, 2) で極大、(2, -2) で極小となります。x が負の方向に限りなく大きくなると f(x) → -∞、正の方向に限りなく大きくなると f(x) → +∞ です。

描くときは、左下から増加して (0, 2) に達し、減少しながら (1, 0) を通り、(2, -2) から再び増加します。0 < x < 1 と 1 < x < 2 は両方とも減少中ですが、前半は傾きが減少し、後半は傾きが増加します。図の曲がり方を、増減だけで決めないことが要点です。

検算として f′(1) = 3 − 6 = -3 です。変曲点で接線が水平になるとは限らず、この例では傾き -3 のまま凹凸が入れ替わります。f″(0) = -6、f″(2) = 6 も左右の符号と一致し、点 (1, 0) は元の曲線上にあります。

基本例題の表を作るとき、0、1、2 を同じ行に並べる理由は、増減の境目と凹凸の境目を一度に見渡すためです。ただし、x = 1 では f′ は0ではなく、x = 0 と x = 2 では f″ は0ではありません。表の縦線を引いた位置が、すべての行における零点になるわけではありません。各行で該当する値を別々に書くと、極値と変曲点の取り違えを防げます。

例えば x = (1)/(2) では f′(x) = -(9)/(4) で、曲線は減少しています。f″(x) = -3 なので上に凸です。x = (3)/(2) でも f′(x) = -(9)/(4) で減少していますが、f″(x) = 3 なので下に凸です。2つの点では傾きが等しくても、その間に傾きが減少から増加へ転じています。この具体的な値は符号表の結果を点検する材料になりますが、区間全体の符号の根拠は因数の正負です。

また、変曲点の位置を答案に書くとき、x = 1 という値は横座標です。「変曲点は1」と書くだけでは縦座標が伝わりません。元の関数の値を計算し、順序を (横座標, 縦座標) にそろえます。描いた点が座標軸上にある場合も、軸との交点であることと凹凸が変わることは別々に確認します。

分母のある関数では枝を分ける

関数 g(x) = x + (1)/(x − 1) の定義域、増減、凹凸、変曲点と漸近線を求め、概形を説明してください。点の座標は整数で答えます。まず分母が0にならないことから x ≠ 1 です。

微分すると、

g′(x) = 1 − (1)/(x − 1)² = ((x − 1)² − 1)/(x − 1)² = (x(x − 2))/(x − 1)²

g″(x) = (2)/(x − 1)³

となります。g′ の分母は定義域で正なので、符号は x(x − 2) で決まります。x < 0 と x > 2 で正、0 < x < 1 と 1 < x < 2 で負です。g(0) = -1、g(2) = 3 ですから、左の枝は (0, -1) で極大、右の枝は (2, 3) で極小です。

g″ は x < 1 で負、x > 1 で正です。しかし x = 1 では元の関数が定義されず、曲線上に点がありません。符号が変わっても、その場所を変曲点にはできません。定義域の各枝では g″ は0にならないので、変曲点はありません。

x → 1 − 0 で g(x) → -∞、x → 1 + 0 で g(x) → +∞ です。よって x = 1 は垂直な漸近線です。また x → ±∞ で g(x) − x = (1)/(x − 1) → 0 なので、y = x は斜めの漸近線です。x < 1 では g(x) − x < 0、x > 1 では正ですから、左の枝は直線より下、右の枝は上にあります。

左右の極限が異なる場所に線を引いてつないではいけません。左側は上に凸のまま極大を通って下へ向かい、右側は下に凸のまま上方から極小を通って再び上がります。極値の座標を元の式へ戻すと、それぞれ -1 と 3 になり、導関数の分子も0になります。漸近線は差の極限で確かめたので、曲線が直線に近づく方向も判定できます。

誤答から符号の変化へ戻る

h(x) = x⁴ で h″(x) = 12x² = 0 より x = 0 だから、原点は変曲点である、という答えを考えます。計算の途中までは正しいのですが、結論が早すぎます。x < 0 と x > 0 の両方で 12x² > 0 なので、左右とも下に凸です。原点は曲線上にあり第二次導関数も0ですが、凹凸は変わりません。

図3のように、0の左右にそれぞれ正の符号を入れると、候補と結論の違いが見えます。修正後の答えは「変曲点なし」です。原点での傾きは0で、そこで減少から増加へ変わりますが、これは増減の話です。極小点であることと変曲点であることを混同しないようにします。

逆に、第二次導関数が存在しない場所をすべて除外するのも早すぎます。例えば p(x) = x|x| は実数全体で定義され、x < 0 では -x²、x > 0 では x² です。左右の第二次導関数は順に -2、2 で、原点を挟んで凹凸が変わります。p′(0) = 0 は差商で確認でき、p″(0) は存在しませんが、原点は曲線上の変曲点です。元の関数に点があるかと、左右の曲がり方を別々に確かめます。

自分で試す問題

次の各問では、指定がなければ定義域は実数全体です。変曲点は座標を整数または分数で正確に答え、区間は不等号で示してください。

1. f(x) = x³ + 6x² の凹凸と変曲点を求めてください。
2. f(x) = x⁴ − 6x² の凹凸と変曲点を求めてください。
3. f(x) = (1)/(x + 2) の定義域、凹凸、変曲点と垂直・水平の漸近線を求めてください。
4. f(x) = (1)/(4)x⁴ + (1)/(3)x³ の凹凸と変曲点を求めてください。

解答と確認

1. f′(x) = 3x² + 12x、f″(x) = 6x + 12 = 6(x + 2) です。x < -2 では負、x > -2 では正なので、前者で上に凸、後者で下に凸です。f(-2) = -8 + 24 = 16 より変曲点は (-2, 16) です。元の式に -2 を代入して座標を確かめ、左右の符号が変わることも確かめます。

2. f′(x) = 4x³ − 12x、f″(x) = 12x² − 12 = 12(x − 1)(x + 1) です。x < -1 と x > 1 では正、-1 < x < 1 では負です。したがって外側の2区間で下に凸、中央で上に凸です。両方の境目で符号が変わり、f(-1) = f(1) = 1 − 6 = -5 なので、変曲点は (-1, -5)、(1, -5) です。2点とも元の式を満たし、それぞれ左右で正負が入れ替わります。

3. 分母から x ≠ -2 です。f′(x) = -(1)/(x + 2)²、f″(x) = (2)/(x + 2)³ です。x < -2 で上に凸、x > -2 で下に凸ですが、x = -2 は定義域の外なので変曲点はありません。左右の極限は順に -∞、+∞ で、x = -2 が垂直な漸近線です。x → ±∞ では f(x) → 0 より、y = 0 が水平な漸近線です。左右の枝を結ばないことで、分母が0となる条件も保てます。

4. f′(x) = x³ + x²、f″(x) = 3x² + 2x = x(3x + 2) です。候補は x = -(2)/(3), 0 で、左から符号は正、負、正です。よって x < -(2)/(3) と x > 0 で下に凸、-(2)/(3) < x < 0 で上に凸です。f(-(2)/(3)) = (1)/(4) × (16)/(81) + (1)/(3) × (-(8)/(27)) = (4)/(81) − (8)/(81) = -(4)/(81)、f(0) = 0 です。変曲点は (-(2)/(3), -(4)/(81))、(0, 0) です。両候補を元の式に代入し、各境目で符号が反転することを確認できます。

覚えておきたいこと

• f′ の符号で増減、f″ の符号で凹凸を調べます。
• f″ > 0 は下に凸、f″ < 0 は上に凸です。
• 変曲点は曲線上の点で、左右の凹凸が変わるかを確認します。
• 定義されない点では枝を分け、漸近線と左右の極限を調べます。

つまずいた場所を見つける

式が合っているのに答えが違う場合、候補の数値ではなく、その左右の符号を書いたかを見直します。符号が同じなら変曲点にせず、元の関数が定義されないなら座標を作りません。候補において第二次導関数が存在しないときは、その点を飛ばさず左右の式を調べます。

個別指導で確かめるなら、生徒が書いた符号表の1区間を選び、因数ごとの正負と凹凸への対応を言葉で説明してもらいます。次に求めた点を元の式へ戻し、図に打った位置と照合します。増減の矢印と凹凸が食い違うときは、どちらの導関数を読んだかまで戻って修正できます。符号の切り替わりを曲線上の点へ結びつければ、変曲点の判断に根拠が残ります。