中3定期テスト 数学の二次方程式—範囲表の解法を照合し途中式と解の確認を残す｜武蔵野個別指導塾

解を一つ落とした二次方程式の答案を、因数を0と置く行から代入まで点検し、面積問題では辺の長さと条件も照合しましょう。

よくあるのは、ワークで解を一つ落としたまま提出しそうになる場面です。丸付けでは答えの一方が合っていても、もう一方が書かれていなければ、途中の分岐を見直す必要があります。範囲表の単元とページ、授業で習った解法、ワークの間違い、小テストの答案、提出条件を並べ、どの行で解が消えたかを探しましょう。

二次方程式では、式を変形する力と、変形後の式から解を拾う力の両方を使います。ここでは授業で学んだ因数分解、平方根、解の公式を使い、最後に元の条件へ戻るところまで残します。文章題は面積の条件に絞ります。

範囲表から解き直す順番を決める

まず範囲表のページとワークの対応を確かめます。次の表には、学校から示された内容を書き入れます。空欄を推測で埋めず、手元の範囲表やノートに戻ってください。二期制の場合は学期の欄を前期・後期に読み替えます。

出方は、まず左辺を整理して解く計算、次に指定された方法で途中式を書く計算、そして面積から方程式を作る問題の3つに分けて見ます。授業で解の公式をまだ扱っていなければ、その方法を無理に先取りせず、範囲表とノートにある方法を優先します。平方根を使う形も、授業で習った形に合わせて記録します。

ワークに丸が付いた問題も、答えを見ずに分岐を書けるか試します。間違えた問題には「式を0にしたか」「2つの可能性を書いたか」「元の式に戻したか」という点検欄を作ると、誤りの場所を区別できます。提出条件に途中式の指定があれば、その形式を確認してから書き直します。

小テストの答案から解の意味に戻る

二次方程式は、整理したときに文字の2乗の項が残る方程式です。解とは、文字に代入すると元の等式が成り立つ数のことです。解くとは、その条件を満たす数を求めることです。途中の計算がきれいでも、元の式を成り立たせなければ解とはいえません。

図1のように、積が0になる式では、どちらかの因数が0になる場合に分けます。たとえば (x − 2)(x + 5) = 0 なら、x − 2 = 0 または x + 5 = 0 です。前者から x = 2、後者から x = -5 と出ます。両方を元の積に入れると、それぞれ片方の因数が0になるので確かめられます。

図1の左右は、同時に両方を0にするという意味ではなく、どちらかが0になるという分かれ道です。一方を書いて筆記を止めた答案では、もう一方の因数の行があるかを見ます。符号が逆になった場合は、因数を0と置いた等式まで戻り、両辺に同じ数を加えて直します。

平方根を使うときも分岐があります。x² = 25 なら、2乗して25になる数は5と-5なので、x = 5、-5です。正の数だけを取り出す記号 √25 は5ですが、方程式の解を求める際は負の数も調べます。x² = 0 の場合は x = 0 です。同じ解を2回書く必要はありません。

解の公式は、ax² + bx + c = 0 の形で a が0でないときに使えます。x = (-b ± √(b² − 4ac)) / (2a) と書き、±の両方を計算します。根号の中が負になる場合、実数の範囲では解がありません。公式の分母は2a全体です。代入前に a、b、c を符号ごと書き出せば、引き算の符号を取り違えた場所を探せます。

基本例題：因数分解から元の式へ戻る

次の方程式を解き、解を整数で書きなさい。途中式と代入による確認も残します。

x² + 3x = 10

最初に右辺の10を左辺へ移し、右辺を0にします。両辺から10を引くので、式は x² + 3x − 10 = 0 です。右辺が0になってから積の形を探すのは、積が0という条件を使うためです。左辺が積の形でも右辺が0でなければ、どちらかの因数を0と置くことはできません。

次に、積が-10、和が3になる2数を探すと5と-2です。よって x² + 3x − 10 = (x + 5)(x − 2) です。実際に展開すると x² − 2x + 5x − 10 となり、真ん中が3xにまとまります。図2のように、積の形にしてから2本に分けます。

(x + 5)(x − 2) = 0 より、x + 5 = 0 または x − 2 = 0 です。それぞれ解くと x = -5 または x = 2 です。答えは x = -5、2 です。図2の2本の行を最後まで書けば、片方を落としたときに空欄が見えます。

元の式 x² + 3x = 10 に戻します。x = -5 のとき左辺は25 − 15 = 10、x = 2 のとき左辺は4 + 6 = 10です。どちらも右辺に一致します。変形後の因数だけで確かめず、元の式にも代入することで、最初に10を移すときの符号まで確認できます。

もし x = 5 と書いてしまったら、代入した左辺は25 + 15 = 40となり、10にはなりません。x + 5 = 0 の両辺から5を引くところに戻します。また、積が-10であることだけを見て和を確認しないと、因数分解の途中で誤った組を選ぶことがあります。展開して元の左辺に戻るか、積と和の両方を点検しましょう。

解法の指定と計算欄の使い方

計算欄が小さいときも、式を0に整理する行と、候補を分ける行は省かずに配置します。たとえば因数分解した後、左右の余白にそれぞれの因数を0と置いて計算すれば、どちらの因数から出た答えかを追えます。答えだけを並べると、符号を間違えた箇所がわからなくなるため、解き直しの際には途中の等式を手掛かりにします。

平方根を使う問題では、2乗されているものが文字そのものか、かっこ全体かを先に囲みます。かっこ全体であれば、そのまとまりが正と負のどちらになるかを書いてから、中の文字を求めます。かっこを外す前に正負を分ければ、後から片方にだけ数を足してしまう誤りも見つけやすくなります。2乗の値が0の場合は、正と負に分けても同じ0にたどり着くことを確認します。

公式を指定された場合は、まず右辺を0にし、2乗の係数、1次の係数、定数項をそれぞれ符号付きで控えます。1次の項がないときの係数は0です。負の係数を代入するときにはかっこを付け、特に b² と -b を別に計算します。根号内を整理したら、分子を正負の2通りにして、それぞれ分母全体で割ります。答えが分数になったときは、分子と分母を共通の数で割れるかも確かめます。

授業で複数の方法を習っている場合、指定のない問題は、式の形を見て扱いやすい方法を選べます。ただし、因数分解がすぐ見つからないことと、解がないことは別です。積と和を取り違えていないか確認し、授業で習った別の方法を試します。反対に、指定された方法がある問題では、その方法の途中式を残します。別の方法は答えの照合に使えますが、指定の計算欄を埋める代わりにはなりません。

元の式への代入は、答えを一つずつ別の行に書くと符号が追いやすくなります。負の数の2乗は、負の数全体にかっこを付けて計算します。代入結果が左右で一致しなければ、最後の符号だけを直すのではなく、式を移項した行、因数分解や公式への代入、分岐後の計算を順にたどります。両方が一致しても、もう一つの候補を調べ忘れていないか、分岐の行に戻って確かめます。

条件が増える例題：面積から辺の長さを決める

長方形の縦を x cm、横を縦より3 cm長いものとします。面積が40 cm²のとき、縦と横の長さを整数で求めなさい。長さは正とします。

横は x + 3 cmなので、縦と横の積が面積になることから x(x + 3) = 40 です。展開して右辺を移すと x² + 3x − 40 = 0 です。積が-40、和が3になる数は8と-5なので、(x + 8)(x − 5) = 0 と因数分解できます。ここから x = -8、5 を得ます。

方程式の解を出した後、問題の条件に戻ります。x は縦の長さなので正でなければなりません。-8 cmは長さの条件に合わず、x = 5を採用します。横は5 + 3 = 8 cmです。答えは縦5 cm、横8 cmです。

確認では、縦と横が正であること、横が縦より3 cm長いこと、面積が5 × 8 = 40 cm²であることを順に調べます。方程式への代入だけで終わらせず、文章に書かれた差と面積へ戻すと、横を x − 3 と置いた立式の誤りも見つけられます。負の解は計算の失敗ではなく、長さの条件で除く候補です。消す前に、なぜ除いたかを書き添えます。

誤答を途中から直す

小テストの答案に x² = 16 から x = 4 とだけ書かれていたとします。4を2乗すると16なので、書いた数自体は解です。しかし、-4も2乗すると16です。正の数を見つけた時点で止めたことが、解を落とした原因です。

図3のように、2乗の値から元の数を考える行に戻り、4と-4を並べます。答えは x = 4、-4 です。両方を代入して16に戻ることを確認します。√16 = 4 という計算と、x² = 16 の解が2つあることを別々に書くと混同しにくくなります。

別の誤りとして、(x − 3)(x + 1) = 0 から x = -3、1 と書く場合があります。因数の中に見える数をそのまま答えにせず、x − 3 = 0、x + 1 = 0 と分ければ、正しくは x = 3、-1 です。どちらも元の積に戻して確認できます。直しの余白には「分ける行がない」「0にする前に分けた」「代入を省いた」など原因を短く残すと、次の問題で見る場所が定まります。

練習問題

授業で習った方法を用い、指定の形で答えてください。計算問題では元の式に代入し、面積問題では文章の条件にも戻します。

1. x² − 7x + 12 = 0 を解き、解を整数で書きなさい。
2. (x − 1)² = 9 を解き、解を整数で書きなさい。
3. 2x² + x − 1 = 0 を解き、解を整数または分数で書きなさい。解の公式を習っていれば公式でも確かめなさい。
4. 長方形の縦を x cm、横を縦より2 cm長くすると、面積が24 cm²になります。縦と横の長さを整数で求めなさい。長さは正とします。

答えと解き方

1. (x − 3)(x − 4) = 0 より、x − 3 = 0 または x − 4 = 0 です。答えは x = 3、4 です。3を元の式に入れると9 − 21 + 12 = 0、4を入れると16 − 28 + 12 = 0です。2つの因数を0にする行をそれぞれ書き、どちらも代入して確かめます。

2. 2乗して9になる数は3と-3ですから、x − 1 = 3 または x − 1 = -3 です。両辺に1を加え、答えは x = 4、-2 です。元の式に戻すと、4では (4 − 1)² = 9、-2では (-2 − 1)² = 9 です。先に x² = 9 としてしまうと、かっこ内の-1が消えます。2乗されているまとまり全体を見てから分けます。

3. (2x − 1)(x + 1) = 0 ですから、2x − 1 = 0 または x + 1 = 0 です。答えは x = 1/2、-1 です。1/2を入れると 2 × 1/4 + 1/2 − 1 = 0、-1を入れると 2 − 1 − 1 = 0 です。公式では a = 2、b = 1、c = -1 と置き、根号の中は1 − 4 × 2 × (-1) = 9です。(-1 ± 3) / 4 から同じ2つの解が出ます。分母の4を片方の項にしかかけない誤りに注意します。

4. 横は x + 2 cmなので x(x + 2) = 24、整理して x² + 2x − 24 = 0 です。(x + 6)(x − 4) = 0 より x = -6、4 です。縦の長さは正なので-6を除き、縦4 cm、横6 cmです。差は6 − 4 = 2 cm、面積は4 × 6 = 24 cm²で、いずれも条件に戻ります。横を求める行と、負の候補を除いた理由を省かず書きます。

覚えておくこと

• 積が0の形にして、因数ごとに0となる場合を分けます。
• 2乗の式では正と負の可能性を調べます。
• 解を元の式に代入し、文章題では長さと面積の条件にも戻します。
• 習った解法と、問題で求められた答えの形を確認します。

提出前の答案を見比べる

提出前にワークの誤答を答えを隠して解き直し、小テストの途中式と見比べます。解が一つ足りないなら分岐の行、符号が違うなら因数を0と置いた行、両方とも合わないなら最初に0へ整理した行を調べます。面積の問題で式は合うのに答えが合わない場合は、正の長さの条件と横を求める行を見ます。

個別指導で確認する際も、答えの丸だけでなく、範囲表にある解法を使ったか、2つの候補をどう扱ったか、元の条件に戻した計算をどこに書いたかを答案で確かめます。保護者がお子さまのワークを見るときは、すぐに正解を示す前に、どの行から考えが分かれたかを一緒に探せます。二次方程式の解は、見つけた後の確認まで答案に残ります。