中3定期テスト 数学の平方根—小テストの根号計算を整理し答えの形までそろえる｜武蔵野個別指導塾

小数に直した答案を見直し、根号の簡単化から有理化まで、答えの指定と途中式から学ぶ平方根です。

よくあるのは、小テストで根号を含む答えを小数に直し、不正解になった答案を見返す場面です。計算の値が近くても、問題に「根号を使って表す」とあれば、近似した小数は指定された答えではありません。まず範囲表の平方根の単元とページを開き、授業で扱った型、ワークの間違い、小テストの答案、提出条件を並べます。どの行で値が変わったのか、最後の形だけが違うのかを分けてから解き直します。

範囲表とワークで出方を選ぶ

平方根の問題には、数の意味を問う型、根号を簡単にして計算する型、分母を有理化する型があります。範囲表と授業ノートを照合し、習った型に印を付けます。たとえば、平方根を求める問いでは正負の両方が必要かを読み、計算問題では根号の中を小さくできるかを見ます。有理化を授業で習っていれば、分母の根号を取り除く練習も加えます。

次の表は自分の範囲を書き込むためのものです。学校ごとに進度は異なります。二期制の場合は、学期の欄を前期・後期に読み替えてください。空欄に実際の範囲表の記載を移し、ワークの該当箇所と小テストで誤った箇所を結びます。

丸が付いた問題も途中式を見てください。答えが合っていても、根号の中の足し算を勝手に分けていれば、別の数では誤ります。反対に、正しい式の後で小数に直した答案なら、最後の指定を読む習慣から直せます。間違いの印だけで復習する順を決めず、どの操作をしたかを答案に残すことが手掛かりです。

小テストから平方根の意味へ戻る

平方根は、2乗すると元の数になる数です。たとえば 9 の平方根は 3 と -3 です。どちらも2乗すると 9 になります。一方、√9 は正の平方根を表すので 3 です。「9 の平方根」と「√9」の問いを同じものとして読むと、符号を落としたり余計な符号を付けたりします。0 の平方根は 0 です。負の数の平方根は、ここで扱う数の範囲にはありません。

図1のように、問いの言葉と記号を分けて見ます。√の中には、2乗した結果の数が入ります。√5 は正の数で、その2乗は 5 です。-√5 は負の数ですが、2乗すれば同じく 5 です。小テストで「平方根を求める」と書かれた欄には、求めた数をそれぞれ2乗して戻し、もう一方の符号を忘れていないか確かめます。

根号を簡単にするとは、2乗になっている因数を根号の外へ出すことです。√12 なら 12 = 4 × 3 なので、√12 = √(4 × 3) = 2√3 です。4 の平方根を両方書く場面ではなく、正の数を表す √4 を使っているので外へ出るのは 2 です。元の √12 も 2√3 も正で、2乗すると 12 になることから同じ値だと確かめられます。

足し算では、簡単にした後の根号の中が同じ項をまとめます。2√3 と 5√3 は、同じ √3 がそれぞれ2個と5個あるので 7√3 です。√2 と √3 は同じ種類ではなく、√5 にはなりません。掛け算や割り算で使う性質と、足し算の扱いを混ぜないことが大切です。授業ノートの途中式にも、どの操作を使ったかを鉛筆で書き添えてみてください。

基本例題：簡単にしてからまとめる

次を計算し、根号を使って最も簡単な形で答えます。

√12 + √27 − √3

まず、それぞれの根号の中に平方数の因数があるか調べます。12 は 4 × 3、27 は 9 × 3 と分けられます。平方数は 1 より大きい整数の2乗になっている数を探すと見つけやすくなります。12 を 2 × 6 と分けただけでは、まだ外に出せる因数が見えていません。

√12 = √(4 × 3) = 2√3

√27 = √(9 × 3) = 3√3

これを元の式に戻します。最後の項は引き算なので、符号も一緒に写します。

2√3 + 3√3 − √3

√3 の係数は、順に 2、3、-1 です。最後の √3 の前には 1 が省略されています。したがって係数を計算すると 2 + 3 − 1 = 4 です。答えは 4√3 です。

図2のように、それぞれを同じ根号に直してから係数をまとめると、途中で何を足したかが見えます。最初から根号の中の 12、27、3 を足し引きする方法は使えません。根号の中の数と、根号の外にある係数は役割が違うからです。

確かめるときは、2√3 と 3√3 がどちらも正で、それぞれを2乗した結果が 12 と 27 になることを使います。置き換えの前後で値は変わらず、まとめた係数も元の 2 + 3 − 1 に戻ります。近似値で偶然近くなるかだけに頼らず、各変形が元の項と等しいかを調べます。

答えの欄に 4√3 と書いたら、根号の中の 3 にさらに外へ出せる平方数の因数がないかを確認します。問題の条件が小数による近似なら指定された桁で丸めますが、根号を使う指定なら小数に直さずに残します。計算の途中に書いた数字だけでなく、何を答えるかという文も答案を見直す対象です。

少し難しい例題：割り算と有理化をつなぐ

次を計算し、分母に根号がない最も簡単な形で答えます。

√18 ÷ √6 + 2 / √3

割り算を先に行います。√18 ÷ √6 = √(18 / 6) = √3 です。割る数 √6 は 0 ではありません。右の項は分母に根号があるので、分子と分母の両方に √3 を掛けます。同じ 0 でない数を上下に掛けても分数の値は変わりません。

2 / √3 = (2 × √3) / (√3 × √3) = 2√3 / 3

分母の √3 × √3 は 3 です。左の √3 は 3√3 / 3 と表せるので、分母をそろえます。

√3 + 2√3 / 3 = 3√3 / 3 + 2√3 / 3 = 5√3 / 3

答えは 5√3 / 3 です。分母が整数になり、分子の係数と分母に共通の整数の因数もありません。分母だけに √3 を掛けると値が変わってしまうため、上下に掛けた行を省かずに残します。

元の条件へ戻して確かめましょう。最初の割り算については √3 × √6 = √18 です。右の項については、変形後の 2√3 / 3 に元の分母 √3 を掛けると 2 になります。最後に 5√3 / 3 から左の √3 を引けば 2√3 / 3 が残ります。それぞれ元の割り算と足し算の条件に戻るので、途中の有理化と合計を別々に確認できます。

問題によっては分母に根号がない形を求めず、根号を含む値をそのまま表す場合もあります。授業で習った書き方と設問の指定を照合し、分母だけでなく分子と約分まで見ることが仕上げです。分数の横線を手書きするときは、どこまでが分子か読み取れる長さにします。

誤答の原因を行ごとに直す

基本例題で、√12 + √27 − √3 = √36 = 6 とした答案を考えます。根号の中の数を足し引きしてから根号を付けていますが、足し算にはその操作を使えません。途中の √36 は元の式と等しいと示されていないため、そこから先の計算が合っていても答えは直りません。

図3のように、誤った行の直前に戻り、各項を別々に簡単にします。√12 を 2√3、√27 を 3√3 と書き、最後の -√3 も残してから係数を計算します。赤い丸や正解の数字を書き写すだけでなく、元の各項がどの項に変わったかを線で結ぶと、抜けた符号を見つけやすくなります。

別の失敗は、√9 を ±3 とすることです。√9 は 3 ですが、9 の平方根を問われたら 3 と -3 です。問いの名詞と記号を囲み、答えを2乗して元に戻すとともに、必要な符号の個数を点検します。また、有理化で分母だけに √3 を掛けた場合は、元の分数と値が等しい理由がありません。分子にも同じ数を掛ける行を加え、元の分母を掛けて元の分子に戻るか確かめます。

最後に小数で書いて不正解だった場合は、途中式まで正しいかも調べます。途中が正しく、答えの形だけが違えば、根号の答えを消さずに残す練習をします。途中で根号の計算を間違えていれば、形を整える前に等式を直します。原因によって戻る場所を変えると、同じ誤りを繰り返しにくくなります。

確かめ問題

答えを見る前に、途中式と答えの形をノートに書いてください。各問の数はここでの練習用の条件です。

1. 49 の平方根をすべて求め、整数で答えてください。
2. √75 − 2√3 を計算し、根号を使って最も簡単な形で答えてください。
3. √8 × √10 を計算し、根号を使って最も簡単な形で答えてください。
4. 3 / √5 を有理化し、分母に根号がない形で答えてください。

答えと解き方

1. 答えは 7 と -7 です。7 × 7 = 49、(-7) × (-7) = 49 なので、どちらも元の数に戻ります。正の数の平方根を問われているため、負の側も書きます。√49 の値だけを問う場合とは読み方が違います。

2. 答えは 3√3 です。75 = 25 × 3 なので、√75 = 5√3 です。5√3 − 2√3 = 3√3 と、同じ根号の係数を引きます。戻して確かめると、5√3 は正で2乗が 75、答えに引いた 2√3 を足すと 5√3 です。元の差の条件を満たします。

3. 答えは 4√5 です。√8 × √10 = √80 で、80 = 16 × 5 だから √80 = 4√5 です。両方とも正で、積の2乗は 8 × 10 = 80、答えの2乗も 16 × 5 = 80 です。掛ける前に √8 を 2√2 と簡単にしても同じ答えになります。足し算とは違い、正の根号どうしの積では中の数を掛けられます。

4. 答えは 3√5 / 5 です。分子と分母に √5 を掛けると、(3 × √5) / (√5 × √5) となり、分母は 5 です。答えに元の分母 √5 を掛けると 3 になり、元の割り算に戻ります。分母だけを変えた答案では、この戻し方で 3 になりません。

丸付けの後は、間違った番号の答えだけを覚えないでください。平方根の符号、根号の簡単化、積、有理化のどこで操作が変わったかを問題文と途中式に書きます。正解した場合も、指定された形と戻し検算を確認してから次に進みます。

覚えておくこと

平方根を求める問いと √ の値を区別します。
根号の中を簡単にしてから同じ項をまとめます。
有理化は分子と分母に同じ数を掛けます。
答えの指定を読み、元の条件へ戻して確かめます。

解き直す順番を決める

間違えた問題が複数あるときは、まず平方根の意味を確かめる問題を選びます。正負の両方を求めるのか、記号 √ の値を求めるのかに印を付け、2乗して元の数へ戻します。ここで符号を取り違えたまま計算問題へ進むと、根号を外すときの理由もあいまいになります。意味を言葉で説明してから、根号を簡単にする問題へ移ります。

次に、根号の中を平方数と残りの因数に分けた行を見ます。外に出した係数を2乗し、残りの因数を掛けて元の数になるかを確かめます。元の数に戻らない場合は、係数をまとめる前に分解をやり直します。根号の中が一致しない項を無理にまとめていないかも点検します。分解が正しいのに結果が違う場合は、引き算の符号や省略された係数の 1 に戻ります。

最後に分数を含む問題を見ます。有理化の行では、分子と分母のそれぞれに何を掛けたかを確認します。分母が整数になった後も、約分できるか、根号の中を簡単にできるかを調べます。答えを元の分母に掛けて元の分子に戻す確認は、分母の見た目だけを整えた誤りを見つける手掛かりになります。

解き直した日には、元の答案を消さずに別の場所へ書き直します。元の行と新しい行を比べれば、計算が変わった箇所を説明できます。次に同じ問題を解くときは、訂正を隠して問題文から始め、指定された形まで自力でたどれるかを試します。解答を見て理解したつもりになるだけでは、どの行で迷うのかが見えません。

提出前の解き直し

ワークを提出する前に、範囲表の該当ページと提出条件をもう一度見比べます。小テストで小数に直した問題と、ワークで根号を残す問題を並べ、指定に線を引いて解き直します。係数をまとめる前に誤ったのか、計算後の表記で誤ったのかを、最初に等号が成り立たなくなった行で見分けます。

個別指導で答案を確認するときは、正解の数字だけでなく、平方数への分解、符号、分子と分母に掛けた数、最後の指定まで見ます。お子さまが自分の言葉で各行の理由を説明できれば、似た形の問題でも戻る場所を選べます。根号を残した答えは、途中の等式と問いの条件に支えられています。